1 сложение в-ров

Пусть даны в-ры: а и в

от т. О отложим в-р ОА=а, от полученной т. А отложим в-р АВ=в. Полученный в

результате в-р ОВ называется суммой векторов а и в и обозн: а+в. Сложение в-

ров коммутативно: а+в=в+а. Существует два правила построения суммы: правило

треугольник и правило параллелограмма.

Сложение в-ров ассоциативно, т. е. для любых в-ров а, в, с вып рав-во:

(а+в)+с=а+(в+с),

2 Умножение в-ра на число

Свободные в-ра а и в наз коллинеарными, если определяющие их связанные в-ры

лежат на параллельных или совпадающих прямых. Если отложить коллинеарные в-ры

а и в от общей т. О: ОА=а, ОВ=в, то т. О, А, В будут лежать на одной прямой.

Возможны 2 случая: т. А и В располагаются по одну сторону от т. О или по

разные стороны. В первом случае в-ры а и в наз одинаково направленными, во

втором – противоположно направленными. если в-ры имеют равные длины и

одинаково направлены, то они равны.

Произведением в-ра а на число С наз в-р в, такой, что

1 длина его |b|=|C|×|a|

2в-ры а и в одинаково (противоположно) направлены, если С>0 (C<0). – М.:

Обозн в=С×а. При С=0 положим, что Са=0.

Св-ва умножения

1 (С+Д)×а=С×а+Д×а

2 С×(Д×а)=(С×Д)×а

3 С×(а+в)=С×а+С×в (Си Д любые дейст. числа, а и в – в-ры)

В-р, длина которого = 1 называется единичным в-ром или ортом и обоз а0, его

длина |a0|=1

Если а ¹ 0, то а0 = 1/|a|, есть единичный в-р (орт) направления в-ра а.

Противоположный в-р (-а) –а || а, противоположно направлен в-ру а

а+(-а)=0; -а= (-1)×а

3 вычитание в-ров

разностью в-ров а и в наз в-р с, такой, что в+с =а

а- уменьшаемый, в- вычитаемый, с- разность.

1 разность в-ров а и в явл диагональю параллелограмма, построенного на в-рах

а и в, направленная в сторону уменьшаемого в-ра.

Пусть а и в ненулевые в-ры. отложим их от т. О, а=ОА, в=ОВ. Углом между в-

рами а и в наз. наименьший угол между в-рами ОА и ОВ

Если угол между а и в = П/2 эти в-ры наз ортогональными.

17. Координаты и компоненты в-ра

Обозначаем в прямоугольной декартовой системе координат положительные

направления осей OX,OY,OZ единичными в-рами : i, j, k, попарно ортогональными

и равными единице.

Найдутся числа x,y,z, для которых:

а = xi+yj+zk (2) Эта ф-ла наз. разложением в-ра по орто-базису

Эти в-ры называются ортонормированным базисом. Для каждого в-ра а разложение

по орто-базису единственно, т. е. коэффициенты x,y,z в разложении в-ра а по

векторам i,j,k определены однозначно. Эти коэффициенты наз координатами в-ра

а, они совпадают с координатами z,y,x т. А

a={x,y,z} это означает, что в-р однозначно задается упорядоченной тройкой

своих коэффициентов

В-ры xi, yj, zk, сумма которых = а, называются компонентами в-ры а. Два в-ра

а и в равны тогда и только тогда, когда равны все их компоненты.

Радиус-вектором в т. М(x,y,z) называется вектор r=xi+yj+zk, идущий из начала

коорд т. О в т. М

Линейные операции над в-рами в координатах.

Имеем 2 в-ра а={x1,y1,z1} b={x2,y2,z2}, таких, что а=x1i+y1j+z1k, b=x2i+y2j+xz2k

сумма будет:

a+b=(x1+x2)I+(y1+y2)j+(z1+z2)k

a+b={x1+x2, y1+y2, z1+z2}

при сложении в-ров их координаты попарно складываются. Для вычитания так же.

С×а={Cx1,Cy1,Cz1}

при умножении на число, все его координаты умножаются на это число.

В-ры а и в коллинеарны тогла и только тогда, когда их координаты

пропорциональны.

18. Проекция в-ра на ось

Прямая l, с заданным на ней направлением называется осью.

Величиной направленного отрезка Ав на оси l наз. число, обозначаемое: (АВ) и

равное длине отрезка АВ, взятом со знаком +, если напр АВ совп с напр. прямой

и со знаком – если не совп.

Проекцией в-ра АВ на ось l наз величина, направленного отрезка СД, построенного

опусканием перпендикуляров из в-ра АВ на ось l, обозн: PrlAB=(СД)

Свойства проекции:

1 Проекция в-ра АВ на какую-либо ось l = произведению длины в-ра на косинус

угла между осью и этим в-ром.

PrlAB=|AB|×cosa

2 Проекция на ось l в-ра С×а =С× Prlа, С- произв. число.

3 Проекция суммы в-ров на какую либо ось = сумме проекции в-ров на эту же ось

19. Скалярное пр-е в-ра

20. Векторное пр-е в-ра

21. Смешанное пр-е в-ров

22. Деление отрезка в данном отношении

т М ¹ В делит отрезок [АВ] в отношении l, если АМ = l× АВ

. Т. М расположена на Ав при этом, если

1 М внутренняя точка АВ, то l >0 (случайц внутреннего деления)

2 М=А, l = 0

3 М лежит вне Ав, l <0 (случай внешнего деления)

Других вариантов расположения т. М быть не может, и ни водном из вариантов l

¹ -1

Если А(r1), B(r2), M(r) – точки пространства и М – делит АВ в отн l, тогда:

это соотношение в координатной

форме имеет вид: для А(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) и M(x,y,z)

Если М – середина АВ, то l =1Коорд x,y,z середины отрезка АВ выглядят так:

Если т А В принадлежат плоскости ОХУ, то аппликата т А и В и М = 0 и задачу

решают первые 2 ф-лы ,а если А и В М лежат на плоскости ОХ, тор первой ф-лой.

23. Нормальное уравнение прямой. Общее уравнение прямой

Если взять на плоскости фиксированную точку О и какую-либо прямую L, то

положение этой прямой относительно плоскости будет определено если задать

расстояние от нее до т. О, т. е. длину р отрезка ОТ, перпендикуляра из т. О

на эту прямую; и единичный вектор n0=1 – перпендикулярный прямой L и

направленный из начальной т. О к этой прямой.

Когда текущая т. М движется по прямой L, радиус вектор-r меняется так, что

проекция на направление n0 будет постоянной и равной р:

это соотношение

выполняется для каждой точки прямой L и нарушается когда т. М лежит вне ее.

Заметив, что: это можно записать так:

(2) полученное ур-е

наз. нормальным (нормированным) уравнением прямой в векторной форме. Радиус в-р

r – произвольной точки прямой наз. текущим радиус в-ром прямой.

Выбрав на плоскости Декартову систему координат и поместив ее начало в т. О,

в-ры r, n0 можно записать так:

n0={cosj, sinj}; r={x,y}

уравнение (2) примет вид:

(3) это нормальное

уравнение прямой в координатной форме, относительно прямых х и у; оно явл ур-ем

1 степени, тем самым в Декартовой прямоугольной системе всякое положение прямой

определяется ур-ем 1 степени относительно переменных х и у верно и обратное.

Уравнение Ax+By+C=0 (4) называется общим уравнением прямой А2+В2 ¹ 0

если домножить его на постоянный множитель m, положа:

m×А= cosj, m×В= sinj, m×С = -р, где:

называется нормирующим множителем.

И уравнение получается нормальным .Общее уравнение (4) определяет прямую как

множество точек М плоскости декартовы координаты которых удовлетворяют этому

уравнению.

Нормальный в-р прямой - всякий

ненулевой (не обязательно- единичный) в-р перпендикулярный этой прямой. Вектор

n = {A,B} будет нормальным вектором прямой, заданной ур-ем (4), таким оборазом

коэффициенты А и В при текущих координатах х и у являются координатами

нормального в-ра этой прямой. Все отсальный нормальные в-ры прямой можно

получить умножая в-р n на произвольное ¹ 0 число.

24. Уравнение прямой на плоскости , проходящей через заданную точку

перпендикулярно заданному направлению.

Для того, чтобы найти ур-е прЯмой L, проходящей через т. М0, заданную радиус-

вектором r0={x0,y0}, перпендикулярную вектору n={A,B}, проведем радиус-

вектор r={x,y} в произвольной т. М этой прямой

в-р М0М = r-r0 лежит на прямой L, а значит перпендикулярен в-ру n, поэтому их

скалярное пр-е = 0

(r-r0)× n = 0 (8) равенство справедливо для всех т. М принадлежащих прямой

и нарушается, если точка на прямой не лежит. Ур-е (8) явл в-рным уравнением

исходной прямой выражая это произв, через коорд в-ров получим ур-е прямой в

коорд форме:

A(x-x0)+B(y-y0)=0 (9)

25. Исследование уравнения прямой неполные ур-я прямой..

Если хотя бы один из коэффициентов А, В, С ур-я Ах+Ву+С=0 равен 0, ур-е наз.

неполным. По виду уравнения прямой можно судить о ее положении на плоксоти

ОХУ. Возможны случаи:

1 С=0 L: Ax+By=0 т. О(0,0) удовлетворяет этому уравнению значит прямая

проходит через начало координат

2 А=0 L: Ву+С=0 - нормальный

в-р n={0,B} перпендикулярен оси ОХ отсюда следует, что прямая параллельна ось

ОХ

3 В = 0 L: Ay+C=0 0 -

номральный в-р n={А,0} перпендикулярен оси ОY отсюда следует, что прямая

параллельна ось ОУ

4 А=0, С=0 L: By=0Ûy=0ÛL=OX

5 B=0, C=0 L: Ax=0Ûx=0ÛL=OY

6 A ¹ 0, В ¹ 0, С ¹ 0 L; - не проходит через начало координат

и пересекает обе оси.

26. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если общее уравнение прямой, при В ¹ 0 переписать в виде:

и приравняв:

и получим ур-е с угловым коэффициентом

у=кх+b (10), где число к = tga, a - величина угла наклона прямой к оси ОХ,

угол, отсчитываемый в направлении противоположном движению часовой стрелки от

положительного направления оси ОХ до данной прямой.

В случае L||ОХ, или L=OX, a=0

В случае L||ОY, или L=OY, a=П/2 и угловой коэффициент не существует.

27. Ур-е прямой, проход через данную т., с данным угловым коэфф. Ур-е

прямой проход через две данные точки.

Если прямая задана т М0(х0, у0) и угловым коэффициентом к, тогда на основании

ур-я (10) можно получить ур-е искомой прямой:

у-у0=к(х-х0) (11)

Ур-е прямой проходящей через две заданных точки

Страницы: 1, 2, 3