|
|
| Методические указания: Метод наименьших квадратов |
Методические указания: Метод наименьших квадратов
10 МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
10.1 Постановка задачи
Рассмотрим один из методов, позволяющих проанализировать и обработать данные,
полученные в результате эксперимента (таблица 10.1). Пусть в результате
измерений получена таблица зависимости одной величины 
от другой 
Таблица 10.1
Необходимо найти формулу 
, выражающую таблично заданную зависимость аналитически. Применение интерполяции
в данном случае нецелесообразно, т.к. значения 
в узлах получены экспериментально и поэтому являются сомнительными (в ходе
эксперимента возникает неустранимая погрешность, обусловленная неточностью
измерений). Кроме того, совпадение значений в узлах не означает совпадения
характеров поведения исходной и интерполирующей функции. Поэтому необходимо
найти такой метод подбора эмпирической формулы, который не только позволяет
найти саму формулу, но и оценить погрешность подгонки.
Постановка задачи. Найдем функцию заданного вида
 (10.1)
которая в точках 
принимает значения как можно более близкие к табличным значениям 
.
Практически вид приближающей функции можно определить визуально: по таблице
10.1 строится точечный график функции, а затем проводится кривая, по
возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек
(рис.10.1).
Рис.10.1
По полученной кривой устанавливается вид приближающей функции (обычно из
числа простых по виду аналитических функций: линейная, степенная,
экспоненциальная или показательная, логарифмическая, гипербола, дробно-
рациональная и т.д.).
Заметим, что формула (10.1), называемая эмпирической формулой или уравнением
регрессии  на 
, позволяет находить значения функции 
для нетабличных значений 
, «сглаживая» результаты измерений величины 
.
Из рисунка 10.1 видно, что для каждого значения 
экспериментальное  и
расчетное  значения
различаются на некоторую величину 
, называемую абсолютной разностью. Потребовав, чтобы сумма квадратов абсолютных
разностей для всех точек была минимальной, найдем оптимальные параметры функции 
: если выполняется условие
 (10.2)
где  , то считается, что функция  подобрана наилучшим образом.
Рассмотрим все изложенное выше на примере линейной регрессии.
10.2 Линейная регрессия
Будем искать приближающую функцию в виде:
Абсолютная разность  для  определяется следующим образом:
 
формулу (10.2) перепишем в виде:
Рассматриваемая сумма является функцией с двумя параметрами 
Задача сводится к отысканию минимума этой функции. Используем необходимое
условие экстремума:
т.е. 
(10.3)
Решив систему двух уравнений с двумя неизвестными относительно параметров 
и  , получим
конкретный вид искомой функции 
Опуская математические выкладки, запишем выражения для искомых параметров:
(10.4)
Рассчитав значение  ,
получим величину среднеквадратичной ошибки рассматриваемого приближения.
Замечание: найденные значения 
и  определяют точку
экстремума  .
Используя неравенство Коши-Буняковского можно доказать, что в этой точке
функция принимает минимальное значение (см. [2]).
Как видно из рассмотренного примера, изменение количества параметров не приведет
к искажению сущности самого подхода, изменится лишь количество уравнений в
системе (10.3) (для 
параметров соответственно будет записано 
уравнений).
10.3 Подбор эмпирических формул
Чтобы подобрать формулу, выражающую зависимость между двумя величинами, если
это зависимость найдена опытным путем, строят график этой зависимости.
Полученный график сравнивают по внешнему виду с графиками, построенными при
помощи известных формул. Формулы содержат небольшое число параметров
(коэффициенты, показатели степеней и т.д.), изменением которых можно в той
или иной степени менять вид кривой. Чтобы формула не оказалась слишком
сложной, число параметров не должно быть велико. Обычно берут два-три
параметра. При сравнении обращают внимание на наличие максимумов и минимумов,
поведение функции при больших и малых значениях аргумента, выпуклость кривой
вверх или вниз на отдельных участках и т.д. Выбрав среди известных графиков
подходящий, следует подобрать такие значения параметров в формуле, чтобы
разница между опытными значениями величины и значениями, найденными по
формуле, не превышала ошибок эксперимента. Если эта разница получается
слишком большой, берут другой подходящий график и повторяют попытку.
Ниже приведены наиболее употребимые формулы и соответствующие им графики.
10.3.1 Степенная зависимость (геометрическая регрессия)
Степенная зависимость имеет вид
 
(10.5)
Во всех случаях  при 
При  в точке 
кривая касается оси абсцисс. В этом случае, чем больше 
, тем ближе подходит кривая к оси абсцисс при 
и тем быстрее она возрастает при 
При  в точке 
кривая касается оси ординат. При 
кривая ближе подходит к оси ординат, чем к оси абсцисс, при 
наоборот.
Рис. 10.2
График степенной зависимости
Покажем, как нахождение приближающей функции в виде геометрической регрессии
может быть сведено к нахождению параметров линейной функции. Предполагая, что в
исходной таблице 10.1 значения аргумента и функции положительны,
прологарифмируем равенство (10.5) при условии 
 (10.6)
Введем новую переменную 
тогда  будет
функцией от  .
Обозначим  тогда
равенство (10.6) примет вид:
т.е. задача свелась к отысканию приближающей функции в виде линейной.
Практически для нахождения приближающей функции в виде степенной (при
сделанных выше предположениях) необходимо проделать следующие операции:
1) по данной таблице 10.1 составить новую таблицу 10.2, прологарифмировав
значения  и 
в исходной таблице;
Таблица 10.1 | Таблица 10.2 | 
| 
|
Страницы: 1, 2, 3
|
|
|
|
© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент. |
|
|
