| Методические указания: Метод наименьших квадратов |
Используя формулы, полученные для линейной регрессии (10.4), а также подстановку 
, окончательно получим:
(10.15)
10.3.4 Дробно-рациональная функция
Приближающая функция имеет вид
 (10.16)
Преобразуем ее к виду
если в исходной таблице 10.1 заменить значения 
и  обратными
величинами по формулам 
и искать для новой таблицы 10.5 приближующую функцию в виде линейной 
, то найденные значения 
и  будут искомыми
для формулы 10.16.
Рис. 10.5 Графики дробно-рациональной функции
Таблица 10.1 | Таблица 10.5 | 
| 
|
Выполнив все подстановки, получим
(10.17)
10.3.5 Логарифмическая функция
Будем искать приближающую функцию в виде
 (10.18)
Для перехода к линейной функции достаточно выполнить подстановку 
Отсюда следует, что для нахождения значений a и b нужно
прологарифмировать значения аргумента в исходной таблице 10.1 и для новой
таблицы 10.6 найти приближающую функцию в виде линейной y=at+b.
Коэффициенты a и b найденной функции подставить в формулу 10.14.
Таблица 10.4 | Таблица 10.6 | 
| 
|
Окончательно получим:
(10.19)
Рис.10.6 График логарифмической функции
10.3.6 Гиперболическая зависимость
Приближающая функция имеет вид
 (10.20)
Для перехода к линейной функции сделаем подстановку  . Получим 
Перед нахождением приближающей функции вида 10.20 значения аргумента в
исходной таблице 10.1 необходимо заменить обратными числами и найти для новой
таблицы 10.7 приближающую функцию в виде линейной регрессии (10.4).
Рис. 10.7 График гиперболической функции
Таблица 10.1 | Таблица 10.7 | 
| 
|
Окончательно получим
(10.21)
10.4 Пример поиска приближающей функции методом наименьших квадратов
Построим приближающую функцию методом наименьших квадратов для зависимости,
заданной таблицей.
x | 1,1 | 1,7 | 2,4 | 3,0 | 3,7 | 4,5 | 5,1 | 5,8 | f(x) | 0,3 | 0,6 | 1,1 | 1,7 | 2,3 | 3,0 | 3,8 | 4,6 |
Точечный график изображен на рисунке 10.8. Вид приближающей кривой не очевиден,
поэтому рассмотрим два способа приближения заданной функции: в виде прямой 
и в виде степенной функции 
После нахождения значений параметров 
и m найдем суммы квадратов уклонений (10.2) и по их значениям установим
какое из двух приближений лучше.
Рис. 10.8
ввод данных 
да нет 
печать Рис.10.9 | Значения параметров k, b линейной функции находятся из системы вида 10.4. Блок-схема расчета параметров линейной регрессии приведена на рисунке 10.9. В блок-схеме используются следующие обозначения: 
Замечание: приведенная блок-схема позволяет рассчитать лишь значения параметров линейной регрессии, но не дает величины средней квадратичной ошибки (блок-схему для расчета величины  читателю предлагаем составить самостоятельно). |
Проделав необходимые вычисления, получаем:
Т.е. приближающее линейное уравнение запишется в виде
Для нахождения параметров c и m степенной функции воспользуемся
формулой (10.7). Составив соответствующую программу для ЭВМ, получим:
Таким образом, уравнение степенной регрессии имеет вид
Как видно, сумма квадратов абсолютных погрешностей для линейной функции
составляет  , для
степенной функции — 
Видно, что приближение в виде степенной функции в данном случае
предпочтительнее.
Для решения задачи приближения функции методом наименьших квадратов
сформулируем основные шаги алгоритма.
1. Ввод исходных данных.
2. Выбор вида уравнения регрессии.
3. Преобразование данных к линейному типу зависимости.
4. Получение параметров уравнения регрессии.
5. Обратное преобразование данных и вычисление суммы квадратов
отклонений вычисленных значений функции от заданных.
1. Вывод результатов.
10.5 Контрольные вопросы
1. В чем суть приближения таблично заданной функции по методу
наименьших квадратов? Чем отличается этот метод от метода интерполяции?
2. Каким образом сводится задача построения приближающих функций в виде
различных элементарных функций к случаю линейной функции?
3. В чем состоит основная идея метода наименьших квадратов?
4. Почему используется принцип минимума суммы квадратов абсолютных величин, а
не суммы самих абсолютных величин? Ответ обосновать и подтвердить примерами.
5. Почему метод наименьших квадратов наиболее эффективен, если функция f(x)
линейна относительно искомых параметров?
10.6 Задания к лабораторной работе № 10
1. Методом наименьших квадратов вывести формулы для параметров 
и  и 
приближающей квадратичной функции: 
2. Построить точечный график по заданной таблице 
варианты заданий указаны в таблице 10.8). Подобрать наиболее подходящие по
внешнему виду приближающие функции. После нахождения значений параметров каждой
из приближающих функций найти суммы квадратов абсолютных значений по формуле
(10.2) и по их значениям установить, какое из приближений лучше. На том же
чертеже построить графики рассчитанных приближающих функций.
В оформленной работе должны быть приведены все графики, составленные
алгоритмы или блок-схемы, тексты программ и результаты расчетов, ответы на
контрольные вопросы.
Таблица 10.8
| Вариант | Результаты опыта | | 1 | x | 0,0 | 0,5 | 1,0 | 11,5 | 2,0 | 2,5 | | y | -13,65 | -5,77 | -0,07 | 6,95 | 12,05 | 18,97 | | x | 3,0 | 3,5 | 4,0 | 4,5 | 5,0 | 5,5 | | y | 25,67 | 31,57 | 38,44 | 46,20 | 51,33 | 58,83 | | 2 | x | 0,0 | 0,5 | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | | y | 15,65 | 183,47 | 2226,27 | 27121,09 | 330398 | 4025059 | | 3 | x | 0,0 | 0,5 | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | | y | 10,652 | 10,730 | 10,074 | 10,455 | 10,951 | 10,532 | | x | 3,0 | 3,5 | 4,0 | 4,5 | 5,0 | 5,5 | | y | 10,310 | 10,934 | 10,564 | 10,703 | 10,667 | 10,334 | | 4 | x | -4,0 | -3,5 | -3,0 | -2,5 | -2,0 | -1,5 | | y | 7,49 | 6,95 | 5,95 | 5,93 | 5,42 | 4,99 | | x | -1,0 | -0,5 | 0,0 | 0,5 | 1,0 | 1,5 | | y | 4,45 | 3,90 | 3,85 | 2,91 | 2,41 | 1,40 | | 5 | x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | y | 0,129 | 
| 
| 
| 
| 
| | x | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | | | y | 
| 
| 
| 
| 
| | | 6 | x | -5,0 | -4,5 | -4,0 | -3,5 | -3,0 | -2,5 | | y | 54,98 | 45,52 | 37,00 | 29,53 | 23,00 | 17,53 | | x | -2,0 | -1,5 | -1,0 | -0,5 | 0 | 0,5 | | y | 12,97 | 9,49 | 7,034 | 5,50 | 4,98 | 5,32 | | 7 | x | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | | y | 29,5885 | 29,5880 | 29,6747 | 29,6869 | 29,7484 | 29,7223 | | x | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 | 32 | | y | 29,7710 | 29,8260 | 29,8100 | 29,8038 | 29,8554 | 29,8885 | | 8 | x | 1,0 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 1,8 | 2,0 | | y | 3,875 | 3,640 | 3,475 | 3,363 | 3,260 | 3,195 | | x | 2,2 | 2,4 | | | | | | y | 3,125 | 3,072 | | | | | | 9 | x | 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1,0 | 1,2 | | y | 2,617 | 1,893 | 1,659 | 1,347 | 1,888 | 1,698 | | x | 1,4 | 1,6 | | | | | | y | 1,323 | 1,127 | | | | | | 10 | x | -5,0 | -4,1 | -3,2 | -2,3 | -1,4 | -0,5 | | y | -45,03 | -35,99 | -27,04 | -18,00 | -8,99 | -0,01 | | x | 0,4 | | | | | | | y | 8,98 | | | | | | | 11 | x | 1,0 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 1,8 | 2,0 | | y | 9,35 | 8,48 | 7,74 | 7,30 | 6,84 | 6,61 | | x | 2,2 | 2,4 | | | | | | y | 6,28 | 6,13 | | | | | | 12 | x | 0,9 | 1,1 | 1,3 | 1,5 | 1,7 | 1,9 | | y | 8,48 | 7,23 | 6,35 | 5,71 | 5,22 | 4,84 | | x | 2,1 | 2,3 | | | | | | y | 4,52 | 4,26 | | | | | | 13 | x | 0,4 | 0,7 | 1,0 | 1,3 | 1,6 | 1,9 | | y | 8,481 | 5,382 | 4,153 | 3,480 | 3,069 | 2,777 | | x | 2,2 | 2,5 | | | | | | y | 2,571 | 2,418 | | | | | | 14 | x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | | y | 8,15 | 13,45 | 22,17 | 36,55 | 60,26 | 99,35 | | x | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | | | y | 163,79 | 270,05 | 445,24 | 734,08 | 1210,286 | | | 15 | x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | | y | 0,967 | 1,346 | 1,872 | 2,604 | 3,621 | 5,037 | | x | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | | | y | 7,010 | 9,75 | 13,56 | 18,86 | 26,24 | | | 16 | x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | | y | 37,52 | 22,76 | 13,80 | 8,37 | 5,08 | 3,08 | | x | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | | | y | 1,87 | 1,13 | 0,68 | 0,41 | 0,25 | | | 17 | x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | | y | 12,21 | 13,498 | 14,918 | 16,487 | 18,220 | 20,137 | | x | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | | | y | 22,255 | 24,596 | 27,183 | 30,040 | 33,200 | | | 18 | x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | | y | 0,967 | 1,346 | 1,872 | 2,604 | 3,621 | 5,037 | | x | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | | | y | 7,010 | 9,75 | 13,56 | 18,86 | 26 | 24 | | 19 | x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | y | 0 | 2,0 | 2,297 | 2,491 | 2,639 | 2,759 | | x | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | | y | 2,861 | 2,95511 | 3,031 | 3,104 | 3,169 | 3,231 | | 20 | x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | y | 0 | 10,00 | 14,114 | 17,32 | 20,00 | 22,36 | | x | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | | y | 24,49 | 26,45 | 28,28 | 30,00 | 31,62 | 33,16 | | 21 | x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | y | 1,0 | 0,707 | 0,577 | 0,500 | 0,447 | 0,408 | | x | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | | y | 0,377 | 0,353 | 0,333 | 0,316 | 0,301 | 0,288 | | 22 | x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | y | 10 | 9,33 | 8,95 | 8,70 | 8,51 | 8,36 | | x | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | | y | 8,23 | 8,12 | 8,03 | 7,94 | 7,86 | 7,80 | | 23 | x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | y | -2,00 | -3,38 | -4,19 | -4,77 | -5,22 | -5,58 | | x | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 112 | | y | -5,89 | -6,16 | -6,39 | -6,60 | -6,79 | -6,96 | | 24 | x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | y | 5,50 | 5,25 | 5,16 | 5,112 | 5,10 | 5,08 | | x | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | | y | 5,07 | 5,07 | 5,05 | 5,05 | 5,04 | 5,04 | | 25 | x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | y | 0,17 | 0,25 | 0,30 | 0,33 | 0,36 | 0,37 | | x | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | | y | 0,39 | 0,40 | 0,41 | 0,42 | 0,42 | 0,43 |
Страницы: 1, 2, 3
|
|
