|
|
| Реферат: Геометрия в пространстве |
|
/td> |
Наклонная a к плоскости перпендикулярна к прямой l в этой плоскости тогда,
когда её проекция а¹ на плоскость перпендикулярна l.
Наклонной к плоскости называют любую пересекающую её, но не перпендикулярную
ей прямую. Оба условия в этой теореме равносильны тому, что плоскость,
содержащая а и а', перпендикулярна прямой /.
Применим обе теоремы к кубу (рис. 11). Проекция АС его диагонали АC¹ на
основание перпендикулярна диагонали основания BD; по теореме о трёх
перпендикулярах, и сама диагональ АС¹ перпендикулярна BD. По такой же
причине перпендикулярны АС¹ и А¹В. Отсюда следует, что диагональ
перпендикулярна «треугольному сечению» A¹BD.
В стереометрии помимо обычных плоских
 
     
     
углов приходится иметь дело ещё с тремя видами углов. Угол между
скрещи-вающимися прямыми, по определению, равен углу между пересекающимися
прямыми, которые им параллельны. Угол между прямой а и плоскостью о. равен
углу между прямой а и её проекцией а' на плоскость (рис. 10), а если прямая и
плоскость перпендикулярны, его принимают равным 90°. Это наименьший из углов
между прямой а и любой прямой в плоскости а. Угол между пересекающимися
плоскостями измеряется углом между перпендикулярами, проведёнными в этих
плоскостях к линии их пересечения (рис. 13). Все названные углы принимают
значения в промежутке от 0                   
 до 90°.
Найдём, например, угол между диагоналями А¹В и В¹С граней нашего
куба (рис. 14). Заменим прямую В¹С на параллельную ей диагональ A¹D
противоположной грани; искомый угол равен углу BA¹D, т. е. 60°
(треугольник BA¹D равносторонний). Угол между диагональю АС¹ и
основанием куба равен углу САС¹ между прл* мой ас¹ и её проекцией АС
на основание, т.е. arctg (C¹C/AC) = arctg (1/√2]. А угол между
плоскостями BDA¹ и BDC¹ (рис. 14) равен углу А¹МС¹, где М
— середина BD, так как прямые МА¹ и МС¹ лежат в этих плоскостях и
перпендикулярны их линии пересечения BD (несложное вычисление даёт arccos
(1/3)).
Расстоянием между двумя любыми фигурами называют наименьшую длину отрезка,
концы которого принадлежат данным фигурам. Значит, расстояние от точки до
плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, — он
короче любой наклонной, так как гипотенуза прямоугольного треугольника короче
катета. Расстояние между параллельными плоскостями, очевидно, равно расстоянию
от любой точки в одной из них до другой плоскости (рис. 15, а).
 Более интересен вопрос
о расстоянии между двумя скрещивающимися прямыми а и b. Проведём через прямую а
плоскость α, параллельную прямой b (рис. 15, б), найдем точку пересечения
А ортогональной проекции b¹ прямой b на α и точку В прямой b, которая
проектируется в точку А. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости а и потому
является общим перпендикуляром к прямым а и b. Его длина и
равна расстоянию между нашими скрещивающимися прямыми.
            
Вместо того чтобы вычислять расстояния и углы в пространстве, часто можно
находить соответствующие величины на ортогональной проекции данной фигуры. На
рис. 15 показаны .те интересные ортогональные проекции куба '„' ребром длины и:
прямоугольник размером
 а * а√2 (проекция на
диагональную плоскость АСС¹А¹ или, что то же, вдоль диагонали BD
основания): и правильный шестиугольник со стороной а√2/3 (проекция
вдоль диагонали куба АС¹; мы видели, что прямая АС¹ перпендикулярна
плоскости BDA¹, а потому правильный треугольник BDA, со стороной а√2
в такой проекции не искажается). С помощью первой проекции можно найти,
например, угол между плоскостями BDA¹ и BDC¹ — он равен углу между
красными прямыми, в которые проектируются эти плоскости. А расстояние r между
двумя скрещивающимися диагоналями граней BD и В¹С равно расстоянию на рис.
16, а от точки В до прямой В¹С (В и B¹C — изображения первой и второй
диагоналей соответственно). Подумайте почему. (Здесь важно, что общий
перпендикуляр диагоналей параллелен плоскости проекции.) Легко найти, что r=
а/√3. Нетрудно вычислить на той же проекции и расстояние между прямыми BD
и АС¹ Ещё проще найти его с помощью рис. 16, б, на котором АС¹
превращается в точку: расстояние от последней — центра шестиугольника — до BD
равно половине стороны шестиугольника, т. е. а/√6.
|
|
|
© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент. |
|
|
