Лаплас развивал метод решения линейных уравнений, разностных и

дифференциальных, известный под названием преобразования Лапласа: неизвестная

функция

заменяется интегралом вида

, или , где

- новая неизвестная функция. Это преобразование переводит, как мы теперь

говорим, функцию-оригинал

,, в функцию

комплексного переменного

Необходимые преобразования (замена переменной при интегрировании, интегрирование

по направлениям, отличным от действительной оси) Лаплас ещё рассматривает как

«орудия открытия», удобный метод, подобный своеобразной индукции. Его

действительное значение, конечно, больше: с помощью преобразования Лапласа и

аналогичных методов эффективно решаются многие задачи электротехники,

гидродинамики, механики, теплопроводности, так как при этом в соответствующих

линейных дифференциальных уравнениях с частными производными число переменных

сокращается. Особенно широко оно применяется в операционном исчислении.

В 1779-1784 годах Лаплас занимался физикой вместе с Лавуазье, в частности

вопросами о теплоте плавления тел и работами с созданным ими ледяным

калориметром. Изучали горение водорода в кислороде. В 1809 году занимался

вопросами акустики. Вывел формулу для скорости распространения звука в воздухе:

где – среднее

давление в среде, -

универсальная газовая постоянная,

– абсолютная температура,

- молекулярный вес газа,

- плотность.

Помимо этого Лапласу принадлежит барометрическая формула для вычисления

изменения плотности воздуха с высотой над поверхностью земли, учитывающую

влияние влажности воздуха и изменения давления.

Лаплас оставил свой след и в теории вероятностей. Он является автором простейшей

из теорем теории вероятности. В общем виде она доказывалась им в книге

«Аналитическая теория вероятности»(1812). Один частный случай этой теоремы был

известен Муавру, в связи с чем теорему Лапласа иногда называют теоремой

Муавра-Лапласа. Формулировка теоремы Лапласа такова: пусть для любого

из независимых испытаний вероятность некоторого события

равна

(0<<1) и пусть

означает число испытаний, в которых событие

фактически наступило; тогда вероятность неравенства

при достаточно большом числе испытаний сколь угодно мало отличается от

Кроме того, Лаплас имеет отношение к формулам Байеса, ныне входящим во все

учебные курсы теории вероятностей. Эти формулы получаются из теоремы об

умножении вероятностей при условии использования понятия полной вероятности. В

действительности таких формул у Байеса нет. Его формулировка теоремы умножения

воспроизводит формулировку Муавра, появившуюся в печати гораздо ранее, в 1718

г. Кроме того, у Байеса нет формулы полной вероятности. Результат,

приписываемый исторической традицией Байесу, по-видимому, впервые получил

привычную нам формулировку в «Опыте философии теории вероятностей» Лапласа. В

главе «Общие принципы» сформулирован принцип 6, который относится к

вероятностям гипотез, или вероятностям причин. Пусть некоторое событие

может происходить с одним из

несовместимых событий

и только с ними. Эти события названы причинами. Если известно, что событие

наступило, чему равна вероятность того, что осуществилась в то же время причина

? Лаплас дал такой ответ: «Вероятность существования какой-либо из этих причин

равна. дроби, числитель которой есть вероятность события, вытекающего из этой

причины, а знаменатель есть сумма подобных вероятностей, отнесённых ко всем

причинам; если эти различные причины, рассматриваемые a priori, не одинаково

вероятны, то вместо вероятности события, вытекающего из каждой причины, следует

взять произведение этой вероятности на вероятность самой причины». Это и есть

«правило Байеса»:

Кроме того, этот принцип Лапласа содержит и формулу полной вероятности.

Однако хотя его эпохальный труд по теории вероятностей, на первый взгляд и

уводил в сторону от главных интере­сов, Лаплас вдохновлялся тем, что он был

нужен математической астроно­мии. Познакомившись с этой теорией, он увидел,

что она необхо­дима для всех точных наук, и посчитал оправданным развивать ее

в пределах своих сил.

«Небесная механика», которая увязала все астрономические труды Лапласа в

продуманное целое, публиковалась частями в те­чение 26 лет. Два тома

появились в 1799 г. и касались движения планет, их формы [как вращающихся

тел], приливов и отливов. Два следующие тома, вышедшие в 1802 и 1805 гг.,

продолжали исследование, которое было, наконец, завершено в 1823—1825 гг.

пятым томом. Математическое изложение было иногда крайне сжато, а иногда

громоздко. Лапласа интересовали результаты, а не то, как он их получил.

Избегая сложных математических рассуж­дений, он часто опускал все, кроме

заключения с оптимистиче­ским замечанием «как легко видеть». Он сам часто мог

восстановить рассуждение, с помощью которого «видел» эти легкие вещи лишь

после нескольких часов, а иногда и дней тяжелого труда. Даже очень сильные в

математике читатели скоро приобретали привычку вздыхать во всяком месте, где

появлялась знаменитая фраза, зная, что «увидеть» что-то здесь можно только

после недели отчаянной работы.

Более приспособленный для чтения обзор главных результатов «Небесной

механики» появился в 1796 г. в виде (ставшей класси­ческой) работы «Изложение

системы мира», в которой содержалось описание лапласовского шедевра, а вся

математика была опущена. В этой работе, как и в большом (153 страницы)

нематематическом введении в трактат по теории вероятностей (третье издание

1820 г.), Лаплас показал себя почти таким же великим писателем, каким он был

математиком. Каждый, кто хочет бегло ознакомиться с тео­рией вероятностей, не

вдаваясь в технические детали, понятные только математикам, не может сделать

ничего лучшего, как про­честь лапласово введение. С той поры очень много было

сделано, особенно в последние годы, и главным образом в основаниях теории

вероятностей, но изложение Лапласа все еще является классиче­ским,

совершенным выражением, по крайней мере, одной философии всего предмета.

Теория, о которой едва ли нужно здесь рассказы­вать, до сих пор еще не

завершена. Более того, возникает впечатле­ние, что она еще не начиналась;

следующее поколение, возможно, начнет строить ее заново.

Об одной интересной детали астрономического труда Лапласа стоит упомянуть, а

именно о знаменитой гипотезе происхождения Солнечной системы из туманности.

По-видимому, не зная, что его предвосхитил Кант, Лаплас (лишь полусерьезно)

предложил эту гипотезу в примечании.

Речь в гипотезе идёт об образовании Солнечной системы – Солнца, планет и их

спутников из вращающейся газовой туманности. Согласно гипотезе, в результате

ускорения вращения при сжатии разряженная часть туманности становится всё

более сплюснутой, а когда центробежная сила на экваторе стала равной по

величине силе тяготения, принимает чечевицеобразную форму. Вещество на

остром ребре чечевицы перестаёт участвовать в дальнейшем сжатии и остаётся на

месте, образуя газовый диск. Затем он разделился на отдельные кольца, и

вещество каждого кольца собралось в сгусток, превратившийся затем в планету.

При сжатии этих сгустков процесс зачастую повторялся, приводя к образованию

спутников планет. Центр сгущающейся туманности превратился в Солнце.

Гипотеза Лапласа не смогла объяснить медленное вращение Солнца, наличие

спутников с обратным вращением и спутников, период обращения которых меньше

периода вращения планет. Математика, которой он располагал, не подходила для

систематического исследования вопроса, к которому не приступали, пока Джине в

прошедшем столетии не резюмировал обсуждение гипотезы заявлением, что она

имеет определенное на­учное значение.

Не вызывает сомнений тот факт, что Лаплас относится к числу величайших

математиков, оказавших огромное влияние на развитие науки, к числу тех людей,

вклад которых мало кто сегодня возьмётся сравнивать. А какое место в научном

мире отводили ему современники? Этот вопрос вызывает интерес потому, что жил

и работал Лаплас в эпоху расцвета математической науки, и в одно время с ним

трудилось немало замечательных учёных. Однако единственным человеком,

достигшем столь же значительных высот был Жозеф Луи Лежандр. Лагранж и

Лаплас, два ведущих французских ученых XVIII столетия, были во многом

противоположны друг другу, и одно типичное различие между ними становилось

все более острым по мере развития математики: Лаплас принадлежал к племени

мате­матических физиков, Лагранж — чистых математиков. Пуассон, сам являясь

представителем математической физики, кажется, отдавал предпочтение Лапласу

как ученому более желательного типа: «Имеется глубокое различие между

Лагранжем и Лапласом во всей их деятельности, касалась ли она изучения чисел

или либ­рации Луны. Лагранж часто, казалось, видел в рассматриваемых вопросах

только математику, для которой сами вопросы были слу­чайностью,

следовательно, высшую ценность он придавал изящест­ву и общности

рассмотрения. Лаплас усматривал в математике главным образом орудие, которое

он хитроумно приспосабливал, чтобы оно подходило к каждой специальной задаче,

как только она возникала. Один был великим математиком, другой — великим

философом, пытавшимся познать природу, заставляя высшую мате­матику служить

этому». Фурье также поражался коренному разли­чию между Лагранжем и Лапласом.

Будучи сам скорее узким «прак­тиком» по своим математическим данным, Фурье

смог все же оценить истинное достоинство Лагранжа: «Лагранж был не менее

великим философом, чем великим математиком. Всей своей жизнью, скром­ными

желаниями он доказал свою неизменную преданность об­щим интересам

человечества, — благородной простотой манер, возвышенным характером и,

наконец, точностью и глубиной своих научных трудов».

Весьма знаменательно, что это высказывание исходит от Фурье. Оно верно, по

крайней мере, теперь. Величайшее влияние Лагранжа на современную математику

обязано именно «точности и глубине его научных трудов» — качествам, которые

Страницы: 1, 2, 3