часто отсутствуют в шедеврах Лапласа.

Для большинства современников и непосредственных последова­телей Лаплас

выглядел крупнее Лагранжа. Отчасти этому способ­ствовала значительность

проблемы, которой занимался Лаплас, — грандиозный замысел доказательства, что

Солнечная система яв­ляется гигантским вечным двигателем. Замысел сам по себе

был, несомненно, величественным, но, по существу, иллюзорным. Во время

Лапласа, и даже в наше время, того, что известно о физиче­ской вселенной,

недостаточно, чтобы придать проблеме определен­ное реальное значение, и,

вероятно, пройдет еще много лет, прежде чем математика достаточно продвинется

вперед, чтобы обработать усложненную массу имеющихся теперь данных.

Астрономы-теоре­тики будут, несомненно, продолжать возиться с

идеализированными моделями «Вселенной» или даже со значительно менее

впечатляю­щими моделями Солнечной системы и будут продолжать наводнять нас

вселяющими бодрость или отчаяние сообщениями о судьбе человечества, но, в

конечном счете, только побочный продукт их ис­следований (совершенствование

чисто математических средств, придуманных ими) останется перманентным вкладом

в развитие науки точно так же, как это случилось с Лапласом.

К числу практически полезных результатов, полученных им можно отнести следующее.

Изучая устройство Солнечной системы, Лаплас пришёл к выводу, что кольцо

Сатурна не может быть сплошным, так как в этом случае оно было бы

неустойчивым, и предсказал открытие сильного сжатия Сатурна у полюсов.

В 1789 году Лаплас рассматривал теорию движения спутников Юпитера под

действием взаимного возмущения и притяжения к Солнцу. Он получил полное

согласие теории с наблюдениями и установил ряд закономерностей этих движений.

Одной же из главных его заслуг является открытие причин ускорения в движении

Луны. В 1787 году Лаплас показал, что скорость движения Луны зависит от

эксцентриситета земной орбиты, а последняя меняется под действием притяжения

планет. Так же им было установлено, что это возмущение не вековое, а

долгопериодическое, и что в последствии Луна будет двигаться замедленно. По

неравенствам в движении Луны Лаплас определил величину сжатия Земли у

полюсов. И именно ему принадлежит разработка динамических законов приливов.

Если оценка труда Лапласа кажется слишком сильной, да­вайте познакомимся с

судьбой «Небесной механики». Верит ли дей­ствительно сейчас кто-нибудь, кроме

ортодоксальных математиков, что заключение Лапласа об устойчивости Солнечной

системы явля­ется надежным суждением о бесконечно усложненной ситуации,

которую Лаплас заменил идеализированной схемой? Возможно, многие верят, но ни

один работающий в математической физике не сомневается в мощи и полезности

математических методов, развитых Лапласом, когда он занимался своей идеальной

мечтой.

Приведем только один пример. Теория потенциала стала сейчас значительно более

важной, чем когда-либо мог мечтать Лаплас. Без содержащейся в этой теории

математики мы должны были бы остановиться почти у самых начал наших попыток

постичь электро­магнетизм. Из этой теории выросла мощная область математики

граничных задач, сегодня значительно более важная для физической науки, чем

вся ньютоновская теория тяготения. Понятие потенциала было вдохновляющей

математической идеей высшего класса — оно позволило атаковать физические

проблемы, к которым другим путем невозможно было бы подступиться.

Потенциал — это просто функция

, описанная в связи с рас­смотрением движения жидкости и уравнения Лапласа в

главе о Ньютоне. Там эта функция

является «потенциалом скорости». Если рассматривается сила ньютоновского

притяжения, то

яв­ляется «потенциалом тяготения». Введение потенциала в теории движения

жидкостей, тяготения, электромагнетизма и во всевоз­можные другие области

является одним из крупнейших шагов вперед, когда-либо сделанных в

математической физике. Он позво­лил заменять дифференциальное уравнение в

частных производных с двумя или тремя переменными обыкновенными

дифференциаль­ными уравнениями.

Теперь, после беглого экскурса по деятельности Лапласа, возникает вопрос: в

какой мере мы сейчас (то есть к концу первого курса) знакомы с его научным

наследим? Оказывается, что затронуто оно в очень незначительной степени.

Так, в физике мы встречали оператор Лапласа – лапласиан. Это дифференциальный

оператор в

, определяемый формулой

(где - координаты

в ).

В курсе алгебры использовали теорему Лапласа об алгебраических дополнениях: для

любых фиксированных натуральных чисел

<,

определитель квадратной матрицы

над кольцом равен

сумме произведений всех её миноров порядка

, содержащихся в строках с номерами

на их алгебраические дополнения, то есть

. (1)

1.Рассмотрим сначала

случай, когда .

Обозначим в этом случае правую часть равенства (1) через

и будем вычислять её, пользуясь определениями миноров и их алгебраических

дополнений:

.

Перемножая в скобках 1-ую сумму на 2-ую почленно и пользуясь свойствами операций

в кольце , получим

. (2)

Запишем полученную сумму сумм в виде одной суммы. Заметим, что число слагаемых

во внутренней сумме равно

, а во внешней - .

Значит общее число слагаемых в сумме будет равно

, то есть числу всех перестановок из

. Заметим теперь, что наборы индексов

, соответствующие слагаемым суммы (2), являются перестановками множества

и любая перестановка из

может быть представлена в виде такого набора индексов при подходящем выборе

множества и

перестановок

.

Следовательно, в результате суммирование будет производиться по всем

перестановкам из

. Отсюда, с учётом утверждения 1, получим

,

и равенство (1) в рассматриваемом случае доказано.

2. Пусть теперь -

любые числа из множества

, удовлетворяющие условию

. Сведём этот случай к первому. Для этого осуществим в матрице

следующую перестановку строк. Переставляя

-ую строку поочерёдно со всеми предыдущими, поставим её на первое место, затем

-ую строку таким же образом поставим на второе место, и т.д., и, наконец,

поставим -ую строку

на -ое место. В

итоге получим некоторую матрицу

. Так как для перехода от

мы произвели

перестановок строк, то по свойствам определителей:

. (3)

По доказанному в случае 1 имеем:

. (4)

Непосредственно из построения матрицы следует, что

.

Из последнего равенства, используя определение алгебраического дополнения,

получим:

Из найденных соотношений между минорами и алгебраическими дополнениями матриц А,

В и равенств (3), (4) легко следует равенство (1).

В 1785 г., в возрасте 36 лет, Лаплас стал действительным членом академии.

Этот же год, знаменующий такой почет в научной дея­тельности, выделяется как

веха еще большего значения в общест­венном положении Лапласа — в этом году он

экзаменовал одного из 16 кандидатов в Военную школу. Этому юноше предстояло

играть важную роль в последующем отходе Лапласа от математики и по­гружении в

мутные воды политики. Имя юноши было Наполеон Бо­напарт (1769—1821).

Лаплас прошел через революционные годы сравнительно спо­койно. Но все же ни

один человек с его известностью и беспокойным честолюбием не мог в то время

избежать опасности полностью. Лап­лас и Лагранж не питались лебедой, как

многие другие менее нуж­ные ученые, и не были столь беспечны, чтобы выдать

себя, как это случилось с их несчастным другом Кондорсе: его не то отравили в

тюрьме, не то не препятствовали ему покончить с собой.

После революции Лаплас активно занялся политикой, возмож­но надеясь побить в

этом рекорд Ньютона. Французы вежливо говорят о «разносторонности» Лапласа в

политике. Это выражение чересчур мягко. Пресловутые недостатки Лапласа как

политика были не чем иным, как блестящими способностями в азартной игре.

Лаплас всегда получал лучшие посты при каждом падении прави­тельства. Ему

ничего не стоило за ночь переметнуться от неистовых республиканцев к

ревностным монархистам.

Наполеон подсовывал Лапласу все, включая портфель министра внутренних дел (об

этом скажем позже). Все наполеоновские орде­на украшали грудь гибкого

математика, включая Большой Крест Почетного легиона. Он был пожалован также

титулом графа им­перии. Как же он поступил, когда Наполеон пал? Подписался

под декретом об изгнании своего благодетеля.

Во времена реставрации Лаплас не сталкивался ни с какими трудностями в

выражении верноподданнических чувств Людовику XVIII, тем более что он сидел

теперь в палате пэров как маркиз де Лаплас. Людовик признал его заслуги в

оказанной ему поддерж­ке и в 1816 г. назначил председателем комиссии по

реорганизации Политехнической школы.

Одной своей чертой Лаплас превосходил всех придворных, имен­но моральным

мужеством, когда вопрос касался его истинных убеж­дений. Рассказ о размолвке

Лапласа с Наполеоном в связи с «Не­бесной механикой» показывает Лапласа

таким, каким он был в действительности. Лаплас преподнес Наполеону экземпляр

своей книги. Желая подзадорить Лапласа, Наполеон упрекнул его в оче­видном,

по его мнению, просмотре. «Вы написали такую огромную книгу о системе мира,

ни разу не упомянув о творце вселенной». — «Сир, — ответил Лаплас, — я не

нуждался в этой гипотезе». Нуж­ны были крепкие нервы, чтобы говорить

Наполеону правду.

Искреннее благородство Лаплас проявил по отношению к начи­нающим. Био

рассказывает, что молодым человеком он докладывал свою статью в академии в

присутствии Лапласа. После доклада Лаплас отвел его в сторону и показал ему

такой же результат, содержавшийся в пожелтевшей рукописи его статьи, еще не

опубли­кованной. Побудив Био держать увиденное в секрете, Лаплас посо­ветовал

ему идти дальше и опубликовать свою работу. Так посту­пал он не один раз.

Начинающие в математических исследованиях, как любил говорить Лаплас, были

его приемными сыновьями, но относился он к ним как к родным сыновьям.

Поскольку одна цитата часто приводится как пример, убеждающий в

непрактичности математиков, мы тоже поместим ее здесь. Это знаменитая оценка

Лапласа Наполеоном, сделанная бывшим императором, когда он был в заключении

на острове Святой Еле­ны. «Первоклассный математик Лаплас быстро проявил себя

адми­нистратором лишь средней руки; после первых же его действий мы поняли,

что обманулись. Лаплас не видел в вопросах их сущности, он во всем искал

второстепенные детали, высказывал только весьма сомнительные идеи и, наконец,

вносил дух бесконечно малого в управление».

Это саркастическое свидетельство было вызвано непродолжи­тельным (6-

недельным) пребыванием Лапласа на посту министра внутренних дел. Сви-

детельство Лапласа, характеризующее Наполеона, не со­хранилось.

Кто же после всего оказался более искусным администратором? Человек, который

не мог удержать успех и умер заключенным своими врагами, или тот, кто

продолжал пользоваться богатством и уважением до самой своей смерти?

Лаплас провел последние дни жизни в своем имении Аркуэйль близ Парижа в

удобном уединении. После непродолжительной бо­лезни он умер 5 марта 1827 г.,

на 78-м году жизни.

Как теоретик-астроном Лаплас справедливо назывался «Ньюто­ном Франции»; как

математик он провозвестник современного пе­риода в теории вероятностей. Как

человек он может считаться наи­более ярким опровержением предубеждения

педагогики, будто благородные занятия неизбежно облагораживают характер

людей. Но, несмотря на все слабости своей натуры — стремление к титулам,

политическое приспособленчество, желание блистать в постоянно переменчивом

свете общественного уважения,

Лаплас по своему характеру обладал элементами истинного величия. Мы можем не

верить всему, что он говорил о своей бескорыстной преданности правде ради

самой правды, и мы вправе улыбаться, отмечая ту озабоченность, с которой он

пытался превратить в изящную эпи­грамму слова своего последнего изречения:

«То, что мы знаем, — не велико, то, чего мы не знаем, — огромно». Это попытка

усилить высказывание Ньютона о мальчике, играющем на морском берегу. Но мы не

можем отрицать, что Лаплас при его благородном отноше­нии к неизвестным

начинающим ученым был кем угодно, только не ловким и неблагородным

политиканом.

АКАДЕМИЯ ФСБ РФ

«Пьер Симон Лаплас»

Список литературы:

1) Э.Т.Белл «Творцы математики», Москва, «Просвещение», 1979;

2) «Большая советская энциклопедия», т.14,20, «Советская энциклопедия»,

1973;

3) Рыбников К.А. «История математики», Москва, 1994.

Страницы: 1, 2, 3