квадратрисой для кривой АВ. Термин квадратриса был тогда достаточно

распространен: если рассматривалась квадратура

и удавалось подобрать кривую z=F(x) так, что

то вторая прямая была квадротисой для первой. Своеобразие результата Лейбница

состояло, как было указано, в разбиении площади ОАВО на элементы

прямыми, исходящими из одной и той же точки О. В общем же виде переход

от кривой АВ к кривой KLM таков: если уравнение первой кривой в

прямоугольных координатах есть y = f(x), где f(x) непрерывно

дифференцируемая функция, то уравнение второй кривой будет

z(x)= f(x) -x f(x)'.

Лейбниц применил это преобразование к циклоиде и пришел к уже известным

результатам. Новое он нашел, применяя свой прием к окружности. В соответствии

с расположением осей, указанным на рис.2,

рис 2

Имеем уравнение окружности в виде y2=2ax-x2. И далее:

Квадратриса ОКМ в данном случае кривая, именуемая версиерой. Она

показана на чертеже, на котором видны также ее точка перегиба (х =

а/2, z = а/√З) и асимптота х = 2а. Площадь

кругового сегмента а отсюда получается у Лейбница по следующей схеме (в записи

которой использованы современные обозначения):

Далее Лейбниц преобразовывает подынтегральное выражение путем деления в

степенной ряд и почленному интегрированию. Так для искомой площади получилось

выражение:

Отсюда при z= a (квадрант) получается то, что Лейбниц назвал

арифметической квадратурой круга и что привело в восхищение Гюйгенса, - очень

простого строения (правда, и очень плохой сходимости) ряд для π:

Лейбниц тут же получает с помощью этого выражения различные другие новые

тогда соотношения. В частности, ряд для π/4 сразу дает при попарном

объединении слагаемых:

В период с 1674 по 1675 год Лейбниц активно занимается алгеброй. Возможно

ревность к занятиям алгебраическими вопросами, возникла после того как

Лейбниц узнал о предложенном Ньютоном методе решения алгебраических уравнений

с помощью логарифмических шкал. И здесь, конечно, он начинает размышлять об

основной проблеме – получить формулы для решения алгебраических уравнений

любой степени в радикалах, аналогичные тем, которые в XVI в. математикам

итальянской школы удалось открыть для решения уравнений 3-й и 4-й степени.

Попутно Лейбниц начинает заниматься частным вопросом, тогда тоже

злободневным: было выяснено, что формула Тартальи - Кардано для уравнений

третьей степени приводит к мнимым выражениям, когда корни уравнения

вещественны («неприводимый случай»), но оставался неясным, так сказать,

механизм этого странного явления, и общность формулы Тартальи - Кардано

ставилась под сомнение. Об итоге алгебраических занятий Лейбница в 1674-1675

гг. можно судить по письму к Гюйгенсу написанному Лейбницем осенью 1675г.

Лейбниц утверждает в письме, что им впервые доказаны следующие результаты:

1) формулы Кардано вполне хороши и общи, извлекаются ли входящие в них корни

или не извлекаются, получаются ли правильные значения (т. е. положительные)

для корней уравнения или ложные (т. е. отрицательные);

2) радикалы четной степени, дающие решение уравнения, могут давать мнимости,

и все-таки то обстоятельство, что они выражают действительные корни, может

быть сделано, как выражается Лейбниц, осязательным без извлечения корней,

чему пример формула:

3) всякое приводимое кубическое уравнение с рациональными коэффициентами

имеет рациональный корень, что, конечно, дает возможность установить

приводимость или неприводимость уравнения, не решая его. Эти результаты,

продолжает Лейбниц, показывают, что можно безбоязненно применять

иррациональные выражения в поисках решения уравнений высших степеней.

Все три основные положения, высказанные Лейбницем, верны, но доказательства

подтверждающие их истинность отсутствовали а были только примеры, делающие

правдоподобными сформулированные Лейбницем общие утверждения.

Но всё же основной вклад Лейбница в математическую науку был зделан в области

математического анализа. И в этом свете хотелось бы рассмотреть статью

Лейбница дотированную 25 октября 1675г. «Analysis Tetragonistica ex

Centrobaricis» - «Анализ квадратур с помощью центров тяжестей». Эта статья

выражала сравнительно давние размышления и Лейбница. В частности, в статье

записано, что знание двух (статических) моментов фигуры относительно двух

параллельных осей позволяет определить положение прямой, проходящей через

центр тяжести фигуры, а по трем моментам относительно трех непараллельных

осей можно определить и площадь фигуры и ее центр тяжести. Записывая в разных

видах статические моменты, Лейбниц, в частности, приходит к следующему

соотношению, которое приводится в его обозначениях:

omn. xω = ult. x∙omn. ω – omn. omn.ω.

Здесь omn. - начальные буквы латинского слова omnia, т. е. все, -

обозначает объединение, суммирование «всех» бесконечно малых элементов, стоящих

под этим знаком, х обозначает абсциссу точки на кривой, исходящей из

начала координат, ω в этих выкладках Лейбница обозначает то

элемент дуги (ds), то дифференциал ординаты (dy), ult.—

начальные буквы латинского слова ultima (т. е. последняя) - относится к

абсциссе. Итак, перед нами преобразование с помощью интегрирования по частям в

такой примерно записи:

(преобразование 1)

Первое слагаемое справа записано правильно. Во втором слагаемом справа опущен

множитель, который соответствовал бы х, в этом отношении запись не

вполне последовательна. Существенно же здесь то обстоятельство, что для

Лейбница в данном случае его omn. ω выступает в роли новой

функции, которая сама становится объектом операции, обозначенной omn.

Как это обстоятельство, так и то, что он рассматривает результат многократного

применения преобразования вида (1) и получает выражения, в которых операция

omn. наслаивается несколько раз, заставило его искать более удобное

обозначение, и в записи от 29 октября мы читаем:

полезно писать ∫ вместо omn., так что ∫l

будет вместо omn.l. И для нового исчисления, как в той же записи

выражается Лейбниц, имеем

Первое из этих соотношений соответствует преобразованию (1), а, b -

постоянные. Лейбниц далее записывает: «Это достаточно ново и примечательно,

поскольку указывает на новый вид исчисления», и переходит к обратному

исчислению (contrario calculo), вводя символ d, который «уменьшает

измерение так, как увеличивает ∫», но пишет его в знаменателе (не

dy, a у/d). Тут же читаем: ∫ обозначает сумму,

d - разность. Несколькими днями позже, в рукописи, помеченной 10 нояобря,

Лейбниц записывает: «dx - то же самое, что x/d, то есть

разность между двумя ближайшими».

Замечательно то, что Лейбниц сразу, введя новое обозначение, начинает с ним

обращаться как с символом операции, отделяя его от объекта операций: он сразу

отметил, что его «сумма» от (двух) слагаемых равна сумме «сумм» слагаемых и что

постоянный множитель или делитель можно выносить за знак «суммы». В записях

последующих дней (от 1, 10, 11 ноября) он отмечает такие же свойства операции,

обозначенной через d. За эти дни Лейбниц убедился, что d(xy) не

то же самое, что dx∙dy, и что d(x/y) ≠ dx/dy, но не

вывел еще соответствующих формул. Отметил он и что ∫xy, конечно,

не то же самое, что ∫x∙∫y. Он уже систематически

использует обратность действий ∫ и d, например, после

равенства ∫ωz = y2/2 он ишет: или wz = y

2/2d (тут d еще в знаменателе). Отмечены им уже формулы для

производной степенной функции при целых показателях степени, например, «из

квадратуры треугольника ясно, что y2/2d = у;

∫у2/b =y3/3ba из квадратуры параболы».

А в том, что он открывает здесь нечто весьма существенное, Лейбниц, вероятно,

окончательно убедился, когда смог использовать пока как бы нащупываемый им

алгоритм при решении задач на обратный метод касательных. Мы располагаем его

записью от 11 ноября 1675 г., озаглавленной: «Примеры обратного метода

касательных». Вот ее начало: «Еще в прошлом году я поставил перед собой

вопрос, который можно отнести к труднейшим во всей геометрии, поскольку

распространенные до сих пор методы здесь почти ничего не дают. Сегодня я

нашел его решение и я приведу его анализ».

Свою задачу Лейбниц формулирует как определение кривой, у которой поднормали

обратно пропорциональны ординатам. Такая задача сводится, в современных

обозначениях, к решению дифференциального уравнения ydy/dx = k/y, где

k - постоянная. Решение Лейбница состоит по сути в составлении такого

уравнения и последующем его интегрировании с помощью разделения переменных. Он

получил, таким образом, уравнение искомой кривой, и она оказалась кубической

параболой. Успех в таких задачах был достаточным основанием для высокой оценки

нового метода, который Лейбниц быстро совершенствовал.

В 1684 г. в «Лейпцигских ученых записках» появилась одна из самых знаменитых

математических работ: «Новый метод максимумов и минимумов, а также

касательных, для которого не являются препятствием ни дроб­ные, ни

иррациональные величины, и особый для этого род исчисления». В этой

небольшой статье даны основы дифференциального исчисления. Правила

дифференцирования приводятся без доказательств, хотя есть указание на то,

что здесь все можно обосновать, рассматривая дифференциалы как бесконечно

малые разности. Определение дифференциала функции дано как

произведение производной (но производная задается геометрически как отношение

ординаты к подкасательной) на дифференциал аргумента. Последний можно

задавать произвольно. Еще не вводится определенное соглашение относительно

выбора знака для длин отрезков, которыми оперирует Лейбниц, поэтому он

приводит некоторые формулы с двумя знаками. В статье были опечатки,

затруднявшие чтение, были и ошибочные утверждения (относительно определе­ния

точек перегиба). Но в ней были и эффектные примеры применения нового

алгоритма, и автор, приведя их, имел право заявить: «Во всех таких и

много более сложных случаях наш метод обладает одной и той же

поразительной и прямо беспримерной легкостью. Но это лишь начала некой много

более высокой Геометрии, которая распространяется на труднейшие и

прекраснейшие задачи прикладной математики и едва ли кому-нибудь удастся

заняться с той же легкостью такими вещами, но пользуясь нашим

дифференциальным исчислением или ему подобным» .

До конца 80-х годов Лейбниц немного добавил к ра­боте 1684 г. В статье 1686

г. «Новые соображения от­носительно природы угла касания и соприкосновения»

символизм дифференциального исчисления применен при введении круга кривизны

(или соприкасающегося круга). Правда, Лейбниц при этом сделал ошибочное

заключе­ние, что соприкасающийся круг определяется слиянием не трех, а

четырех точек кривой. Поводом для статьи того же года «О скрытой геометрии и

анализе недели­мых, а также бесконечных» было появление в Лондоне книги Джона

Страницы: 1, 2, 3, 4