|
|
| Реферат: Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике |
|
/td> |
Доказательство от противного. Пусть для определенности f '(c)>0, т. е.
Предположим, что при стремлении ∆x к нулю приращения ∆y
и ∆x имеют разные знаки. Тогда отношение ∆y/∆x
отрицательно и его предел
f '(c) ≤ 0,
что противоречит условию.
Так же доказывается и вторая часть леммы.
2°. Теорема. Если при х = с первая производная функции f(x) равна
нулю, f '(c)=0, а вторая производная положительна, f "(c)>0, то в точке х =
с функция f(x) имеет минимум;
если же вторая производная отрицательна, f "(с) < 0, то в точке х
= с функция f(x) имеет максимум.
f ’’(c) = lim ((f’(c + ∆x)-f ’(c))/∆x)>0. ∆x→0 |
|
Доказательство. Вторая производная по отношению к первой производной является
тем же, чем первая производная по отношению к данной функции, т. е.
Согласно лемме, если при х = с производная (в данном случае вторая)
положительна, то в достаточно малой окрестности 2δ точки с
приращение функции (в данном случае первой производной) имеет тот же знак, что и
приращение аргумента. Слева от точки с приращение аргумента
отрицательно, значит, и приращение функции отрицательно, т.е.
f '(c — ∆x)—f(c)<0, (0 < ∆x < δ).
Отсюда:
f '(c-∆x)<f '(c) = 0. (1).
Справа от точки с приращение аргумента положительно, т. е.
f '(c +∆x)-f '(c)>0.
Отсюда:
f '(c + ∆x)>f '(c) = 0. (2)
Получили: первая производная функции f(x) слева от точки с
отрицательна (1), а справа положительна (2). Значит, в точке х = с
функция f(x) имеет минимум, как это и требовалось доказать.
Так же доказывается теорема и в случае f "(с)<0.
3°. Доказанная теорема определяет второй способ нахождения экстремума. Он
отличается от первого тем, что третья и четвертая операции первого способа
заменяются: а) нахождением второй производной и б) определением ее знака в
стационарной точке. Результат исследования можно выразить так:
Если знак числа f "(с), | то при х = с f(x) имеет | плюс минус | минимум максимум |
Если f '(с) = 0, то исследование функции на максимум и минимум надо
провести первым способом.
4°. Пример 1. Исследовать вторым способом на максимум и минимум функцию:
у = 5 — х2 — х3 — x4/4.
Решение. 1. Находим первую производную:
y ' = - 2х - Зx2 — x3
2. Приравниваем первую производную нулю и решаем полученное уравнение:
— 2x — Зx2 — x3 = 0, или x(x2+3х+2) = 0,
отсюда x = 0 или x2+ 3х + 2 = 0.
Решая квадратное уравнение x2 + 3х + 2 = 0, получаем:
x = (-3 + 1)/2.
Стационарных точек три: x1 = — 2, x2 = — 1 и х3 = 0.
3. Находим вторую производную:
у" = — 2 - бx — Зx2.
4. Определяем знак второй производной, заменяя х его значением сначала в
первой, затем во второй и потом в третьей стационарной
точке:
при х = — 2 у'' = — 2 — 6(— 2) — 3(— 2)2 = — 2, при х = —
1 у" = — 2 — 6(— 1) — 3(— l)2 = + 1, при x = 0 у" = — 2
.
Следовательно, данная функция имеет минимум при х = —1 и максимум при
х = — 2 и при х =0,
Пример 2, Исследовать на максимум и минимум функцию: у = х4.
Решение: 1) y' = 4x3;
2) 4х3 = 0; х = 0;
3) y" = 12x2;
4) при х = 0 y" = 0.
Так как оказалось, что вторая производная равна нулю, то исследование ведем
первым способом: при х < 0 у' = 4x3 < 0, а при х
> 0 у' = 4x3 > 0. Следовательно, функция у = х
4 имеет минимум в точке x = 0.
5°. Второй способ нахождения экстремума имеет смысл применять в том
случае, когда вторая производная отыскивается просто; если же дифференцирование
сопровождается трудными преобразованиями и не упрощает выражение первой
производной, то первый способ может быстрее привести к цели.
Направление вогнутости кривой
Пусть две точки M1 и M2 имеют одну и ту же
абсциссу. Если при этом ордината точки M1 более (менее)
ординаты точки M2, то говорят, что точка M1
лежит выше (ниже) точки M2. Говорят также, что в промежутке
а<х<b линия y = f(x) лежит выше (ниже) линии
у=φ(х), если в этом промежутке каждая точка первой линии лежит выше
(ниже) соответствующей ей точки второй линии, т. е. если
f(x)> φ(x) [или f(x)< φ(x)].
Определение. В промежутке а < х < b кривая— график
дифференцируемой функции y=f(x) — называется вогнутой вверх (вниз), если она
лежит выше (ниже) касательной в любой точке данного промежутка.
Кривая, изображенная на черт., является вогнутой, вверх в промежутке а <
х < b и вогнутой вниз в промежутке b < х < с.
2°. В более подробных курсах анализа доказывается, что если
производная f '(х) — возрастающая (убывающая) функция в промежутке а < х
< b, то кривая y=f(х) является вогнутой вверх (вниз) в этом промежутке.
Чтобы уяснить эту теорему, наметим на оси Ох (черт.)
произвольно ряд точек и проведем через каждую из них
прямую так, чтоб и угловом коэффициент прямой возрастал с возрастанием абсциссы
намеченных точек; затем, приняв эти прямые за касательные к некоторой кривой
линии [tgφ = f '(x)], построим эту кривую линию. Мы видим,
что она может лежать только выше каждой из проведенных касательных.
3°. Достаточный признак вогнутости вверх (вниз). Если в промежутке
а<х<b вторая производная f ''(x) положительна (отрицательна), за
исключением отдельных точек, в которых она равна нулю, то кривая у=f(х) в этом
промежутке вогнута вверх (вниз).
Действительно, если в промежутке а<х<b вторая производная f
"(x), например, положительна, за исключением отдельных точек, в которых она
равна нулю, то первая производная f '(х)—возрастающая функция, а кривая
y = f(x), согласно предыдущему, является вогнутой вверх.
Если f "(x) = 0 не в отдельных точках, а в некотором промежутке, то в
этом промежутке f '(x) — постоянная функция, a f(x) — линейная
функция, график ее — прямая линия, и говорить о вогнутости не имеет смысла.
Точки перегиба
1°. Определение, Если в некоторой окрестности точки х = с кривая
—график дифференцируемой функции y = f(x) — имеет слева и справа от
точки х = с вогнутости противоположного направления, то значение х = с
называется точкой перегиба.
 Точку М кривой
(черт.), абсцисса которой х = с, называют также точкой перегиба, она
отделяет дугу кривой, вогнутую вверх, от дуги, вогнутой вниз. Точкой перегиба
может быть только та точка, в которой к кривой имеется касательная. В
окрестности точки перегиба кривая лежит по обе стороны от касательной: выше и
ниже ее. Заметим, что она расположена также по обе стороны от нормали. Но такая
точка, как Р (черт.), в которой единственной касательной не имеется,
точкой перегиба не является.
2°. Так как слева и справа от точки перегиба х = с вогнутости
кривой y=f(x) разного направления, то вторая производная f "(x)
имеет слева и справа от точки х = с разные знаки или равна нулю. Полагая
вторую производную непрерывной и окрестности точки х = с, заключаем,
что в точке перегиба она равна нулю, т. е.
f(c) = 0.
3°. Отсюда следует правило нахождения точек перегиба:
1) найти вторую производную данной функции;
2) приравнять ее нулю и решить полученное уравнение (или найти те значения
х, при которых производная теряет числовой смысл), из полученных корней
отобрать действительные и расположить их no величине от меньшего к большему;
3) определить знак второй производной в каждом, из промежутков,
отграниченных полученными корнями;
4) если при этом в двух промежутках, отграниченных исследуемой точкой, знаки
второй производной окажутся разными, то имеется точка перегиба, если
одинаковыми, то точки перегиба нет.
4°. Примеры. Найти точки перегиба и определить промежутки вогнутости вверх и
вниз кривых:
1) у = lп х.
Р е ш е н и е. Находим вторую производную:
y '=1/x; y ''= -1/x2.
При всяком значении x = (0 < х <+∞) у"
отрицательна. Значит, логарифмика точек перегиба не имеет и обращена вогнутостью
вниз.
2) у = sin x.
Решение. Находим вторую производную:
y' =cos x, y'' = -sin x.
Полагая - sin x = 0, находим, что x = kπ, где k - целое число.
Если 0 < x< π, то sin x положителен и y ''
отрицательна, если же π < x< 2π, то sin x
отрицателен и y'' положительна и т. д. Значит, синусоида имеет точки
перегиба 0, π, 2π,...
В первом промежутке 0 < x< π она обращена вогнутостью вниз,
во втором - вогнутостью вверх и т. д.
Механическое значение второй производной
Предположим, что точка движется прямолинейно и пройденный ею путь определяется
уравнением s = f(t), где t время. Скорость v в момент
времени t есть производная от пути по времени, т. е.
v=ds/dt.
Скорость изменения скорости в момент времени t есть ускорение а,
a=(v)' = (ds/dt)' = (d2s/dt2).
Вторая производная от пути по времени есть ускорение прямолинейного движения
в данный момент времени.
Пример. Прямолинейное движение точки совершается по закону:
s = (t3 — 2) м.
Определить ускорение в момент t = 10 сек.
Решение. Ускорение а = d2s/dt2.
Дифференцируя функцию s=t3 — 2, находим d2s/dt2 =6t
Следовательно,
a = 6t = 6*10 = 60; a = 60 м\сек2.
2°. Если движение неравномерное, то сила F, производящая его,
непостоянна, каждому моменту времени t соответствует определенное
значение действующей силы F, и сила, таким образом, есть функция
времени t, F=f(t).
По закону Ньютона, в каждый момент времени действующая сила F равна
произведению массы т на ускорение а, т. е.
F=ma, или f(t) = ma.
При прямолинейном движении a =d2s/dt2, поэтому
f(t) = m*d2s/dt2.
Зная уравнение прямолинейного движения, можно дифференцированием найти
значение действующей силы в каждый момент времени.
Пример. Определить силу, под действием которой материальная точка совершает
прямолинейные колебания по закону
s = А*sin(ωt + ω0).
Решение. f(f) = m*d2s/dt2, поэтому находим вторую производную функции:
s = А*sin(ωt + ω0), ds/dt = А*cos(ωt+ω0)* ω,
d2s/dt2=— А*sin (ωt + ω0)* ω
2 = — s*ω2 = — ω2s; f(t) = — mω2
s,
т. е. рассматриваемые колебания совершаются под действием силы, пропорциональной
перемещению s и направленной в противоположную сторону.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Сравнение бесконечно малых
1°. Составим отношение бесконечно малых, приближающихся к
нулю по различным законам, так что каждому рассматриваемому моменту приближения
к нулю одной из бесконечно малых отвечает определенное значение каждой из
рассматриваемых бесконечно малых. Например, пусть в те моменты приближения к
нулю, когда значения α = 10;1; 0.1; 0,01 и т.д.;
значения β =1000; 1; 0,001; 0,000001 и т.д.
Отношение β/α =100; 1; 0, 01; 0, 0001 и т.д., т.е.
значение отношения бесконечно малых не остается неизменным в процессе
приближения их к нулю. Отношение бесконечно малых, таким образом,—величина
переменная, и у нее может существовать предел, конечный (равный нулю, как в
примере, или отличный от нуля) или бесконечный, а может предела и не
существовать.
2°. Определения: 1) β называется бесконечно малой высшего
порядка малости, чем α, если предел отношения β/α равен нулю, т.
е. если
limβ/α =0;
2) β называется бесконечно малой низшего порядка малости, чем α, если
limβ/α = ∞;
3) β и α называются бесконечно малыми одинакового порядка малости,
если предел их отношения есть число k, отличное от нуля, т. е. если
limβ/α = k, где k ≠ 0 и k ≠ ∞
4) β и α называются несравнимыми бесконечно малыми, если предела
их отношения не существует.
3°. Примеры. 1. В рассмотренном выше примере limβ/α = 0
, β высшего порядка малости, чем α, a
limα/β = ∞ и α низшего порядка, чем β
.
lim (β/α) = lim (1+x) =2. х→1 |
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6
|
|
|
|
© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент. |
|
|
