|
|
| Реферат: Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике |
NF = √R2 – R2/5 – 2x(√5)2/5 – x2 ,
Sосн = 2NF2. _
Vпр = Sосн*x = 2(R2 – R2/5 – 2x√5 R/5 - x2)*x;
Vпр = 2(4R2x/5 – 2x2√5 R/5 - x3);
V’пр(x) = 2(4R2/5 – 2x√5 R/5 - 3x2) = 0; _
x 1,2 = (2R√5/5 + √4R2
/5 + 12R2/5)/(-3) = (2R√5/5 + 4R/√5
)/(-3);
x = 2√5 R/15 _ _
Vпр.max = 2(4R2*2√5R/(5*15)
– 2√5R*4R2/(45*5) - _ 40√5R3/(225
*15)) = 16R3√5(1 – 1/3 – 5/45)/75 = 16√5R
3/135.
Ответ: 16√5R3/135 м3 при H = 2√5R/15.
Задача 9. В конус вписан цилиндр, одно из оснований которого лежит в
плоскости основания конуса, а окружность другого основания принадлежит боковой
поверхности конуса. Правильная четырехугольная призма расположена так, что ее
нижнее основание лежит в плоскости верхнего основания цилиндра, вершины
верхнего основания принадлежат боковой поверхности конуса. Отношение длины
диагонали основания призмы к ее высоте равно отношению длины диаметра цилиндра
к его высоте. При какой высоте цилиндра объем призмы будет наибольшим? Найти
этот объем призмы, если высота конуса – H и радиус основания – R
.
Дано. ASO – конус;
SO = H;
AO = R;
CL/CM = BK/BN;
Найти. BN, чтобы Vпр = max
Решение. BN = x, CM = h, Vпр = Sосн CM = CL2h/2.
∆CSD подобен ∆ASO: CD/AO = SD/SO;
CD/R = (H – x - h)/H;
CD = R(H – x -h)/H.
∆BSE подобен ∆ASO: BE/AO = SE/SO;
BE/R = (H - h)/H;
BE = R(H - h)/H.
Находим отношение CD/BE = (H – x - h)/(H - x).
Исходя из условия (CL/CM = BK/BN) задачи делаем вывод,
что CD/BE = h/x, т. е. (H – x - h)/(H - x) = h/x => h = (Hx – x2)/H
Тогда CD = R(H – x – (Hx – x2)/H)/H = R(H2 – Hx – Hx +x2)/H2 = R(H - x)2/H2,
CL = 2CD = 2R(H - x)2/H2.
V = 4R2(H - x)4(H - x)x/(2H*H4) = 2R2(H - x)5x/H5;
 V’(x) = 2R2((H - x)5 – 5(H - x)4 x)/H5 = 0,
(H – x) – 5x = 0, x = H/6.
V = 2HR2(5H/6)5/(6H5) = 2R2H*55/66.
Ответ: при H/6, Vmax = 2R2H*55/66.
В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или
наименьших значений для каких-либо величин.
Задача 1.Потенциальная энергия U поля частицы, в котором
находится другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r2 –
b/r, где a и b — положительные постоянные, r —
расстояние между частицами.
Найти:
а) значение r0 соответствующее равновесному положению частицы;
б) выяснить устойчиво ли это положение;
в) Fmax значение силы притяжения;
г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r).
U = a/r2 – b/r; Решение:
a и b — counts; Для определения r0 соответствующего равновесному
r0 — ? положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум.
Fmax — ? Используя связь между
потенциальной энергией поля
U и F, тогда F = -dU/dr, получим F = -dU/dr = - (-2a/r3+b/r2) = 0;
при этом r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b;
Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной:
d2U/dr02= dF/dr0=-6a/r04 + 2b/r03 = -6a/(2a/b)4+2b/(2a/b)3=(-b4/8a3)<0;
равновесие устойчивое.
Для определения Fmax притяжения исследую на экстремумы функцию:
F = 2a/r3— b/r2;
dF/dr = -6a/r4 + 2b/ r3 = 0;
при r = r1 = 3a/b;
подставляя, получу Fmax = 2a/r31 — b/r31 = - b3/27a2;
U(r) = 0; при r = a/b; U(r)min при r = 2, a/b = r0;
F = 0; F(r)max при r = r1 = 3a/b;
Задача 2. Три резистора сопротивлениями R1, R2,
R3 соединены параллельно. Сопротивление R1 в
9 раз больше сопротивления R2. Если все три резистора
соединить последовательно, то сопротивление цепи равно R.
Определить сопротивления резисторов при которых сопротивление исходной цепи
будет наибольшим.
R1 = 9 R2
Решение:
При параллельном соединении резисторов эквивалентное
R1, R2, R3 сопротивление по формуле:
1/Rэкв = 1/R1+1/R2+1/R3;
Rэкв max— ? выражу R3 через R2:
R3 = R— R1—R2=R—10R2;
тогда 1/Rэкв = (10R—91R2)/(9R2(R—10R2));
Задача сведена к определению наименьшего значения функции в интервале [0;R/10].
Возьмем производную от f(1/Rэкв) по R2 и преобразуем ее:
(1/Rэкв)’ = -910(R2—R/7)(R2—R/13)/(9R22 (R-10R2)2);
В интересующем нас интервале только одна точка R2 = R/13 в
которой эта производная меняет знак с “—” слева на ”+”справа. Поэтому в точке
R2 = R/13 достигается минимум функции 1/Rэкв
и максимум функции Rэкв, при этом
R1 = 9R/13; R2 = 1R/13; R3 = 3R/13;
Rэкв max = 9R/169;
Задача 4. В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее
диаметр d и сопротивление R. Плоскость кольца все время
горизонтальна. Найти установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная
составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой H по
закону B = B0(1 + αH), где α = const
(черт.).
Решение. Пусть n – нормаль к плоскости кольца, тогда магнитный поток,
созданный вертикальной составляющей магнитного поля.,
Ф = BS = B0(1 + αH)S, где S = πd2/4 – площадь контура.
ЭДС индукции, возникающая в кольце,
E = - Ф’(t) = - (B0(1 + αH)S)’ = - B0SαH’(t).
 Производная H’(t) = ν
н – это проекция скорости кольца на ось H. Таким образом,
Ei = - B0Sα( - νн).
Так как скорость кольца направлена против оси H, то νн
= - ν, где ν – модуль скорости кольца и Ei
= B0Sαν.
По кольцу протекает индукционный ток
J = Ei /R = B0Sαν/R.
В результате в кольце за промежуток времени Δt выделяется
количество теплоты
Q = J2RΔt.
На высоте H1 кольцо обладает механической энергией
W1 = mgH1 + mν2/2,
на высоте H2
W2 = mgH2 = mgH2 + mν2/2
(ν = const, т. е. скорость кольца не меняется). По закону сохранения
энергии
W1 = W2 + Q => mgH1 = mgH2
+ J2RΔt => mg(H1 - H2) = (B
0Sαν/R)2RΔt =>
mg(H1 - H2) = (B0Sαν)2
Δt/R (*)
Разность (H1 - H2) есть расстояние, пройденное
кольцом при равномерном движении, поэтому H1 - H2 =
νΔt, и уравнение (*) примет вид:
mgνΔt = (B0Sαν)2Δt/R => mg = (B0Sα)2ν/R =>
ν = mgR/(B0Sα)2 = 16mgR/(B0πd2α)2.
Ответ: ν = mgR/(B0Sα)2 = 16mgR/(B0πd2α)2.
Задача 6. Цепь с внешним сопротивлением R = 0,9 Ом питается от
батареи из k=36 одинаковых источников, каждый из которых имеет ЭДС
E=2 В и внутреннее сопротивление r0 = 0,4 Ом. Батарея
включает n групп, соединенных параллельно, а в каждой из них содержится
m последовательно соединенных аккумуляторов. При каких значениях m,
n будет получена максимальная J во внешнем R(см. рис.).
Решение:
При последовательном соединении аккумуляторов Eгр = m*E; rгр = r0*m;
а при параллельном соединении одинаковых rбат = r0m/n; Eбат = m*E,
По закону Ома J = mE/(R+ r0m/n) = mEn/(nR + r0m)
Т.к. k – общее число аккумуляторов, то k = mn;
J = kE/(nR + r0m) = kE/(nR + kr0/n);
Для нахождения условия при котором J тока в цепи максимальная исследую
функцию J = J(n) на экстремум взяв производную по n и приравняв ее к
нулю.
J’n-(kE(R—kr0/n2))/ (nR + kr0/n)2 = 0;
n2 = kr/R; .
n = √kr/R = √3,6*0,4/0,9 = 4;
m = k/n = 36/4 = 9;
при этом Jmax = kE/(nR + mr0) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А;
Ответ: n = 4, m = 9.
Задача 7. Платформа массой М начинает двигаться вправо под
действием постоянной силы F. Из неподвижного бункера на нее высыпается
песок. Скорость погрузки постоянна и равна m кг/с. Пренебрегая трением,
найти зависимость от времени ускорения а платформы в процессе погрузки.
Определить ускорение а1 платформы в случае, если песок не
насыпается на платформу, а из наполненной высыпается через отверстие в ее дне с
постоянной скоростью m кг/с.
Решение.
Рассмотрим сначала случай, когда песок насыпается на платформу
 Движение системы платформа-песок можно описать с помощью второго закона Ньютона:
dP/dt = FS
P – импульс системы платформа-песок, FS – сила,
действующая на систему платформа-песок.
Если через p обозначить импульс платформы, то можно написать:
dp/dt = F
Найдем изменение импульса платформы за бесконечно малый промежуток времени Dt:
Dp = (M+m(t+Dt))(u+Du) – (M+mt)u =FDt
где u – скорость платформы
Раскрыв скобки и, проведя сокращения получаем:
Dp = muDt + MDu+mDut+ mDuDt =FDt
Разделим на Dt и перейдем к пределу Dt ®0
Mdu/dt+mtdu/dt+mu=F
или
d[(M+mt)u]/dt = F
Это уравнение можно проинтегрировать, считая начальную скорость платформы
равной нулю:
(M+mt)u = Ft
Следовательно:
u = Ft/(M+mt)
Тогда, ускорение платформы:
a = du/dt = (F(M+mt)-Ftm)/(M+mt)2 = FM / (M+mt)2
Рассмотрим случай, когда песок высыпается из наполненной платформы.
Изменение импульса за малый промежуток времени:
Dp = (M-m(t+Dt))(u+Du) +mDtu – (M-mt)u = FDt
Слагаемое mDtu есть импульс количества песка, которое высыпалось из
платформы за время Dt
Тогда:
Dp = MDu - mtDu - mDtDu = FDt
Разделим на Dt и перейдем к пределу Dt ®0
(M-mt)du/dt = F
или
a1=du/dt= F/(M-mt)
Ответ: a = FM / (M+mt)2 , a1= F/(M-mt)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. М64 И. Ф. Суворов “Курс высшей математики для техникумов”. М.:
Просвещение, 1964.
2. М 71 В. В. Ткачук “Математика—абитуриенту”. М.: Просвещение, 1980.
3. P60 Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов “Стереометрия в задачах”. М.:
Учебный центр “Ориентир” – “Светоч”, 1998.
4. P60 В. А. Колесников. “Физика. Теория и методы решения конкурсных
задач. Часть II”. М.: Учебный центр “Ориентир” – “Светоч”, 2000.
5. Л77 Л. М. Лоповок “1000 проблемных задач по математике”. М.:
Просвещение, 1995.
6. М89 Д. Т. Письменный “Математика для старшеклассников.
Теория\задачи”. М.: “Айрис”, “Рольф”, 1996.
7. С 82 М. Я. Выгодский “Справочник по элементарной математике”. Спб.:
Союз, 1997.
8. В20 В. И. Васюков, И. С. Григорьян, А. Б. Зимин, В. П. Карасева “Три
подсказки – и любая задача решена! Часть III”. М.: Учебный центр “Ориентир”
при МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.
9. Э 61 В. А. Чуянов “Энциклопедический словарь юного физика”. М.:
Педагогическа-Пресс, 1999.
10. Б 27 А. Б. Басков, О. Б. Баскова, Н. В. Мирошин “Математика. Часть 2.
Алгебра и начала анализа”. М.: МИФИ, 1997.
РЕЦЕНЗИЯ НА РАБОТУ
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6
|
|
|
|
© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент. |
|
|
