Реферат: Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром
Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.
(алгебра и начала анализа)
Исполнитель: Зырянов Р.Б.
Руководитель: Попова Н.Б.
Екатеринбург 1998
Оглавление
I. Введение
II. Уравнения с параметрами.
§1. Определения.
§2. Алгоритм решения.
§3. Примеры.
III. Неравенства с параметрами.
§1. Определения.
§2. Алгоритм решения.
§3. Примеры.
IV. Список литературы.
V. Приложения.
Введение
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто
приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в
экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто
бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе
же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики
рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.
Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы,
выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой
взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений
и неравенств с параметрами.
В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и
их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут
мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.
§1. Основные определения
Рассмотрим уравнение
¦(a, b, c, ., k, x)=j(a, b, c, ., k, x), (1)
где a, b, c, ., k, x -переменные величины.
Любая система значений переменных
а = а0, b = b0, c = c0, ., k = k0, x = x0,
при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные
значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, ., k,
x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех
допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е.
аÎА, bÎB, ., xÎX. Если у каждого из множеств A, B, C, ., K
выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, ., k и
подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е.
уравнение с одним неизвестным.
Переменные a, b, c, ., k, которые при решении уравнения считаются
постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением,
содержащим параметры.
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, ., k,
l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.
Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях
параметров существуют решения и каковы они.
Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными,
если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.
§2. Алгоритм решения.
1.Находим область определения уравнения.
2. Выражаем a как функцию от х.
3. В системе координат хОа строим график функции а=¦(х) для тех
значений х, которые входят в область определения данного уравнения.
Находим точки пересечения прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком
функции а=¦(х).Если прямая а=с пересекает график а=¦(х), то
определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=
¦(х) относительно х.
4. Записываем ответ.
§3. Примеры
I. Решить уравнение
 (1)
Решение.
Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение
относительно а :
 или 
График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного
уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой
у=а.
Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È
, то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой
точки найдем при решении уравнения 
относительно х.
Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение  .
Если а Î  ,
то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих
точек можно найти из уравнений 
и  , получаем
  и  .
Если а Î  ,
то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.
Ответ:
Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È , то  ;
Если а Î  , то   ,  ;
Если а Î  , то решений нет.
II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение 
имеет три различных корня.
Решение.
Переписав уравнение в виде 
и рассмотрев пару функций 
, можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут
соответствовать тем положениям графика функции 
, при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции 
.
В системе координат хОу построим график функции 
). Для этого можно представить её в виде 
и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде
Поскольку график функции 
– это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный 
, и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три
указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая
касается графика функции 
. Поэтому находим производную
Ответ:  .
III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
имеет решения.
Решение.
Из первого уравнения системы получим 
Страницы: 1, 2, 3, 4
| 
