при Следовательно,

это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы

“скользят” вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на

множители

Множеством точек плоскости

, удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые

и

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол”

имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.

Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В

соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается

прямой ), то

рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы”

совпадает с точкой А, то

.

Случай касания “полупараболы” с прямой

определим из условия существования единственного решения системы

В этом случае уравнение

имеет один корень, откуда находим :

Следовательно, исходная система не имеет решений при

, а при или

имеет хотя бы одно решение.

Ответ: а Î (-¥;-3] È(;+¥).

IV. Решить уравнение

Решение.

Использовав равенство , заданное уравнение перепишем в виде

Это уравнение равносильно системе

Уравнение перепишем в виде

. (*)

Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения.

Построим графики функций

и Из графика

следует, что при

графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если , то при

графики функций совпадают и, следовательно, все значения

являются решениями уравнения (*).

При графики

пересекаются в одной точке, абсцисса которой

. Таким образом, при

уравнение (*) имеет единственное решение -

.

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*)

будут удовлетворять условиям

Пусть , тогда . Система примет вид

Её решением будет промежуток хÎ (1;5). Учитывая, что

, можно заключить, что при

исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5).

Рассмотрим случай, когда . Система неравенств примет вид

Решив эту систему, найдем аÎ (-1;7). Но

, поэтому при аÎ (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение

.

Ответ:

если аÎ (-¥;3), то решений нет;

если а=3, то хÎ [3;5);

если aÎ (3;7), то ;

если aÎ [7;+¥), то решений нет.

V. Решить уравнение

, где а - параметр. (5)

Решение.

1. При любом а :

2. Если , то ;

если , то .

3. Строим график функции

, выделяем ту его часть , которая соответствует

. Затем отметим ту часть графика функции

, которая соответствует

.

4. По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет

решение и при каких – не имеет решения.

Ответ:

если , то

Страницы: 1, 2, 3, 4