|
контуре, запишем уравнение колебания пружинного маятника:
[pic]; [pic]; [pic]
получим
[pic], (7)
Отклоним теперь математический маятник длиной l (рис. 3) от положения
равновесия на длину дуги sm<<l и отпустим. Мгновенная высота подъема
маятника
рис.3
[pic]
[pic]
так как при (<<1 можно считать [pic], а s=la. По закону сохранения
энергии имеем:
[pic], где [pic]
[pic]
или
[pic]=const (8)
По аналогии с формулами (4) и (7) x(q(s; [pic] ; [pic] получаем:
S``= - [pic] (9)
Различие уравнений (1), (6) и (9) состоит только в обозначениях и
физическом смысле входящих в них величин.
Если не предполагать sm<<l (соответственно (m=[pic]<<1 рад.), то
получится сложное уравнение, решить которое в рамках школьного курса
невозможно. Оно будет описывать колебания, период которых зависит от
амплитуды. Строго говоря, период колебаний маятника всегда зависит от (m,
однако при sm<<l рад. этой зависимостью можно пренебречь.
Процессы в колебательном контуре станут понятнее учащимся при
рассмотрении преобразований энергий, которые происходят при колебаниях,
используя таблицу 2.
|Время |Колебательный контур |Пружинный маятник |
|[pic] |На конденсаторе |Смешение X0 тела от |
| |находится заряд q0; |положения равновесия — |
| |энергия |наибольшее; его |
| |электрического поля |потенциальная энергия Wп|
| |Wэ максимальна. |максимальна, |
| |Энергия магнитного |кинетическая Wк равна |
| |поля Wм равна нулю |нулю |
| |[pic]; [pic] |[pic];[pic] |
|[pic] |При замыкании цепи |Тело приходит в |
| |конденсатор начинает |движение, его скорость |
| |разряжаться через |возрастает постепенно. |
| |катушку: возникает |Потенциальная энергия |
| |ток и связанное с ним|преобразуется в |
| |магнитное поле. |кинетическую |
| |Вследствие | |
| |самоиндукции сила |[pic] |
| |тока нарастает | |
| |постепенно; энергия | |
| |электрического поля | |
| |преобразуется в | |
| |энергию магнитного | |
| |поля | |
| |[pic] | |
|[pic] |Конденсатор |При прохождении |
| |разрядился, сила тока|положения равновесия |
| |I0 максимальна, |скорость v0, тела и его |
| |энергия |кинетическая энергия |
| |электрического поля |максимальны, |
| |равна нулю, энергия |потенциальная энергия |
| |магнитного поля |равна нулю |
| |максимальна |Wп=0; [pic] |
| |Wэ=0; [pic] | |
|[pic] |Вследствие |Тело, достигнув |
| |самоиндукции сила |положения равновесия, |
| |тока уменьшается |продолжает движение по |
| |постепенно; на |инерции с постепенно |
| |конденсаторе начинает|уменьшающейся скоростью |
| |накапливаться заряд и|и |
| | |[pic] |
| |[pic] | |
|[pic] |Конденсатор |Пружина максимально |
| |перезарядился; сила |растянута: скорость тела|
| |тока в цепи равна |равна нулю |
| |нулю |[pic]; Wk=0 |
| |[pic]; Wм=0 | |
|[pic] |Разрядка конденсатора|Тело начинает движение в|
| |возобновляется; ток |противоположном |
| |течет в |направлении с постепенно|
| |противоположном |увеличивающейся |
| |направлении; сила |скоростью |
| |тока постепенно |[pic] |
| |возрастает | |
| |[pic] | |
|[pic] |Конденсатор полностью|Тело проходит положение |
| |разрядился; сила тока|равновесия, его скорость|
| |I0 в цепи максимальна|максимальна |
| | |Wп=0; [pic] |
| |Wэ=0; [pic] | |
|[pic] |Вследствие |По инерции тело движется|
| |самоиндукции ток |к крайнему положению |
| |продолжает течь в том|[pic] |
| |же направлении, | |
| |конденсатор начинает | |
| |заряжаться [pic] | |
|[pic] |Конденсатор снова |Смещение тела |
| |заряжен, ток в цепи |максимально, его |
| |отсутствует, |скорость равна нулю и |
| |состояние контура |состояние аналогично |
| |аналогично |первоначальному |
| |первоначальному |[pic]; Wk=0 |
| |[pic]; Wм=0 | |
§ 2. Решение уравнений, описывающих колебания в пружинном и
математическом маятниках.
Найдем решение уравнения:
[pic] (1)
Нельзя считать, что [pic] или [pic], так как вместо [pic]
получилось бы равенство
[pic]
Чтобы в выражении второй производной [pic]был множитель [pic] запишем
уравнение (1) в виде:
[pic] (2)
Найдем первую и вторую производные:
[pic]
[pic][pic][pic]
Функция (2) есть решение исходного уравнения (1). Функция
[pic] есть также решение исходного уравнения.
Обозначим постоянную величину [pic], зависящую от свойств системы, через
[pic][pic]: [pic]
Тогда решение уравнения (2) можно записать:
[pic] (3)
Тогда уравнение (1), описывающее свободные электромагнитные колебания
примет вид:
[pic](4)
Из курса математики известно, что наименьший период косинуса равен 2?.
Следовательно, ?0=2?,
[pic]. Так как [pic][pic], тогда период колебаний равен
[pic] - формула Томсона.
Аналогично этим рассуждениям решим уравнение для колебаний вертикального
пружинного маятника:
[pic] (5)
Запишем уравнение (5) в виде:
[pic] (6)
Найдем первую и вторую производные:
[pic]
[pic]
Функция (6) есть решение исходного уравнения. Функция [pic] есть также
решение исходного уравнения. Обозначим постоянную величину
[pic] через (0 получим
[pic] (7)
Тогда уравнение (5) будет иметь вид:
[pic] (8)
Период колебаний для пружинного маятника по аналогии с формулой
Томсона
[pic]
где [pic]; [pic] получим
[pic] (9)
Аналогично выше изложенным рассуждениям решим уравнение для колебаний
математического маятника:
[pic] (10)
Запишем уравнение (10) в виде:
[pic] (11)
Найдем первую и вторую производные уравнения (11):
[pic]
[pic]
Функция (11) есть решение уравнения (10). Обозначим постоянную величину
[pic] ,зависящую от свойств системы, через (0 получим:
[pic](12)
Тогда уравнение (10) примет вид:
[pic] (13)
По аналогии с формулой(8) и формулой Томсона, для математического
маятника период колебаний равен:
[pic]; [pic] ; [pic]
[pic] (14)
Уравнения (4), (8) и (13) являются решениями уравнений, описывающих
колебания в пружинном и математическом маятникам.
§ 3 Решение физических задач.
Рассмотрим несколько задач, решение которых методом аналогии возможно на
уроках и факультативных занятиях в 11 классах (после изучения раздела
"Электрические колебания) и при повторении материала.
Задача1. Изобразите механические системы, аналогичные электрическим цепям,
схематически изображенными на рис.1,а,б
[pic][pic]
Решение. Аналогичная механическая система соответствующая рис.1,а,б должна
содержать тело массой m и две пружины с разными жестокостями [pic]и [pic]
а) Общая емкость системы конденсаторов (рис.1,а) равна
[pic]
Используя аналогию механических и электрических величин, найдем что общая
жесткость пружин искомой механической системы находится из соотношения
[pic]
Это соответствует последовательному соединению двух пружин. Учитывая, что
один конденсатор заряжен, искомую механическую систему можно представить в
виде одной сжатой пружины жесткость [pic]и одной недеформированной пружины
жесткостью [pic](рис.2,а).
б) Аналогично рассмотрим вторую схему.
Общая емкость системы конденсаторов (рис.1,б) равна
[pic]
Используя аналогию механических и электрических величин, найдем что общая
жесткость пружин искомой механической системы находится из соотношения
[pic]
Это соответствует параллельному соединению двух пружин(рис.2,б).
[pic]рис.2.
Задача2На рис.3,а,б изображены колебательные контуры. Придумайте
механические аналоги им.
[pic]
рис.3,а
О т в е т. Аналогичная механическая система соответствующая рис.3,а,б
должна содержать два тела массами [pic]и [pic], и пружину жесткостью k.
а) Общая индуктивность системы при последовательном соединении катушек
равна
[pic]
Используя аналогию механических и электрических величин найдем, что
общая масса
[pic]
А это соответствует рис.4,а
[pic]
Рис. 4.а
б) Аналогично рассматриваем вторую схему.
Общая индуктивность параллельно соединенных катушек находится из
соотношения
[pic]
Используя аналогию механических и электрических величин, найдем что
общая масса катушек равна
[pic]
Это соответствует рис.4,б
Задача3. Придумайте механическую систему, которая была бы аналогична
электрической цепи, состоящей из конденсатора емкостью С и резистора
сопротивлением R (рис. 5). Первоначальный заряд конденсатора равен qм. Ключ
К замыкается в некоторый момент времени принимаемый за начальный.
[pic]
Рис. 5.
О т в е т. Электрическую цепь, состоящую из емкости и сопротивления,
можно представить как предельный случай электрического колебательного
контура, в котором индуктивность настолько мала, что ею можно пренебречь.
Поэтому аналогичная механическая система будет представлять собой
прикрепленное к пружине (жесткость К) тело с очень малой массой, но с
значительным объемом, находящееся в поле действия силы вязкого трения с
коэффициентом Я.
Задача4. Придумайте механическую динамическую аналогию электрической
цепи, представленной на рис. 6. В начальный момент катушка индуктивностью L
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
| 
