Численные методы расчетов в Exel
- 13 - Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Северо-Западный государственный заочный технический университет Институт управления производственными и инновационными программами Кафедра информатики Контрольная работа по дисциплине «Математика. Часть 2.» Тема: “ Численные методы и расчеты в EXCEL.” Задача 1. Интерполяция функции с равноотстоящими узлами. Анализ и прогнозирование в EXCEL. Задача 2. Решение систем уравнений в EXCEL. Задача 3. Комплексные числа. Выполнила студентка: Шестакова Мария Дмитриевна ИУПиИП Курс: II Специальность: 80502.65 Шифр: 578030493 Преподаватель: Ходоровская Валентина Сергеевна Подпись преподавателя: Санкт-Петербург 2007 Тема . Численные методы и расчеты в EXCEL. Задача 1. Интерполяция функции с равноотстоящими узлами. Анализ и прогнозирование в EXCEL. I. Написать выражение для интерполяционного полинома Ньютона. II. Составить программу для вычисления значения функции в заданных точках x1 ; x2 ; x3 ; x4 : 1) при помощи полинома Ньютона для реализации ее в EXCEL ; 2) при помощи функций, осуществляющих прогноз вычислений (ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ). Функция задана таблицей с равноотстоящими узлами: |
x | 0.15 | 0.20 | 0.25 | 0.30 | 0.35 | 0.40 | 0.45 | 0.50 | 0.55 | 0.60 | | y | 0.860 | 0.819 | 0.779 | 0.741 | 0.705 | 0.670 | 0.638 | 0.606 | 0.577 | 0.549 | | Значения | x1 = 0.149 | x2 = 0.240 | x3 = 0.430 | x4 = 0.560 | | |
Основные понятия. Цель работы: научиться пользоваться программой EXCEL для получения аналитической зависимости по экспериментальным данным и изучение режимов экстраполяции данных в EXCEL. Задача интерполяции сводится к требованию точного совпадения в узловых точках функции и ее приближения, где число определяемых параметров аппроксимирующей зависимости равно числу точек. При выборе данного критерия задача сводится к построению интерполяционных многочленов (полиномов). По определению интерполяция -- это отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям. Само слово интерполяция происходит от латинского “interpolation”, что в переводе значит “изменение, переделка”. Экстраполяция -- это процедура аналогичная интерполяции, но при условии, что x лежит вне интервала (x0 , xn) . Происходит от “экстра…” и латинского “polio”, что значит “приглаживаю, изменяю”. Аппроксимация -- это замена одних математических объектов (например, чисел или функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным(например, кривых линий близкими к ним ломаными). Слово происходит от латинского “approximo”, что значит “приближаюсь”. Графически задача интерполяции заключается в том, чтобы построить такую интерполирующую функцию, которая бы проходила через все узлы интерполяции. Чаще всего в качестве интерполирующей функции F (x) используются многочлены Pn (x). Задача состоит в том, чтобы подобрать многочлен Pn (x), обеспечивающий требуемую интерполяцию е. Наиболее успешно для интерполяции используется полином Ньютона, для записи которого в случае интерполяции функции с равноотстоящими узлами используются конечные разности. Термин “полином” имеет то же значение, что и слово “многочлен” и происходит от “поли…” -- часть сложных слов, указывающая на множество, всесторонний охват или разнообразный состав чего-либо (от греческого “polys” - многий, многочисленный, обширный) и латинского “nomen”, т.е. имя. Конечной разностью первого порядка называется разность: Дyi = yi + 1 - yi , i = 0,1, .... , n - 1 Аналогично определяются конечные разности второго и более высоких порядков. Интерполяционный полином Ньютона. Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде: Pn (x) = y0 + (x-x0) · Дy0 /1!h + (x-x0)(x-x1) · ДІy0 /2!hІ+....+ (x-x0)(x-x1)…..(x-xn-1) · Дny0 / n!hn Решение. Выполнение задания I. Напишем выражение для интерполяционного полинома Ньютона для экспериментальных данных, приведенных в вышеуказанной таблице. Конечные разности указаны в “Приложение 2”. Из таблицы видно, что значения x являются равноотстоящими узлами, так как возрастают равномерно с шагом h = 0,05. Степень полинома определяется числом (порядком) конечных разностей ( в данном случае их девять ). Pn(x) = P9(x)= y0 + (x-x0) Дy0 / 1!h + (x-x0) (x-x1) ДІy0 /2!h2+.. ..+ (x-x0)(x-x1) (x-x2) (x-x3) (x-x4) (x-x5) (x-x6) (x-x7) (x-x8) (x-x9) Д9y0 / 9!h9 = 0,860 + (x- 0,15) (-0,041) / 1! · 0,05 + (x- 0,15) (x- 0,20) · 0,001 / 2! · 0,05 2 + (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) · 0,001 / 3! · 0,05 3 +(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) · (-0,001) / 4! · 0,05 4 + (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0,35) · 0 / 5! · 0,05 5 + (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0.35)(x- 0,40) · 0,004 / 6! · 0,05 6 + (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ·(-0,016) / 7! 0,05 + (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ( x- 0,50) · 0,047 / 8! · 0,05 8 + (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) (x- 0,50) (x- 0,55) · (-0,119) / 9! · 0,05 9. Выполнение задания II. 1)Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи полинома Ньютона. Шаг первый: Подготовка исходных данных электронной таблицы в EXCEL: а) Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1 : N4). б) Введем номера по порядку в ячейки A5 : A14. в) Введем исходные данные в ячейки B5 : C14. Таким образом подготовлена таблица для выполнения работы. Шаг второй: Ввод формул: а) Ввод формул для вычисления конечных разностей первого порядка: а.1) в ячейку D5 введем формулу для вычисления Дy0 = y1 - y0, которая примет вид: =C6-C5; a.2) копируем эту формулу в ячейки D6 : D13. В результате в ячейке D6 получаем формулу =C7-C6 (т.е.Дy1 =y2 - y1 = 0,779 - 0,819 = -0,040),в ячейке D7 получаем формулу =C8-C7 (т.е. Дy2 = y3 - y2 = 0,741 - 0,779= -0,038) и т.д. до ячейки D13, где получаем формулу =C14-C13 (т.е. Дy8 = y9 - y8 = 0,549 - 0,577= -0,028) б) Ввод формул для вычисления конечных разностей второго порядка: б.1) в ячейку E5 копируем формулу из ячейки D5. В ячейке E5 появится формула =D6-D5 (т.е. ДІy0 = Дy1 - Дy0 = -0,040 - ( -0,041) = 0,001). Копируем эту формулу в ячейки E6 : E12. В ячейке E12 получаем формулу =D13 - D1 (т.е. ДІy7 = Дy8 - Дy7= - 0,028 - ( -0,029) = 0,001).
Страницы: 1, 2, 3, 4
|