Вывод: значение функции в заданных четырех точках мы получили тремя разными способами. Для наглядности все полученные данные мы свели в итоговую сравнительную таблицу. Видно, что результаты получились не совсем одинаковые. Но однако в целом, отклонения в значениях в пределах 0,01 , что вполне допустимо для наших данных. Для того, чтобы получить более точные значения функции в определенной точке, необходимо, чтобы исходные данные были представлены более широким спектром узлов.

Задача 2.

Решение систем уравнений в EXCEL.

Решить заданную систему уравнений:

1) методом обратной матрицы;

2) методом простых итераций.

0,1 x1 + 4,6 x2 + 7,8 x3 = 9,8

2,8 x1 + 6,1 x2 + 2,8 x3 = 6,7

4,5 x1 + 5,7 x2 + 1,2 x3 = 5,8

Цель работы: научиться решать в EXCEL системы конечных уравнений методом обратной матрицы и простых итераций.

Основные понятия.

Уравнение -- это математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения данных функций равны. Аргументы, от которых зависят функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, называются решениями (корнями).

Матрица -- это прямоугольная таблица каких-либо элементов aik (чисел, математических выражений), состоящая из m строк и n столбцов. Если m = n , то матрица называется квадратной.

Детерминант (определитель) -- это число detA, которое можно сопоставить квадратной матрице А.

Минором некоторого элемента аij определителя n-го порядка называется определитель n первого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента аij определителя называется его минор, взятый со знаком “+”, если сумма “ i+j” четное число, и со знаком “-“ , если эта сумма нечетная.

Итерация -- это повторное применение каких-либо математических операций. Происходит от латинского “iteratio” ,что в переводе значит “повторение”.

Решение.

1). Математический расчет решения системы уравнений методом обратной матрицы.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

а). Рассмотрим матрицы:

-- матрица системы (составлена из коэффициентов при неизвестных):

0,1 4,6 7,8

А = 2,8 6,1 2,8

4,5 5,7 1,2

-- матрица неизвестных:

x1

X = x2

x3

-- матрица свободных членов:

9,8

B = 6,7

5,8

б). Найдем детерминант (определитель) матрицы А.

По определению: det A = a11 · A11 + a12 · A12 + a13 · A13 ,

где a11 , a12 , a13 -- элементы первой строки матрицы A,

A11 , A12 , A13 -- их алгебраические дополнения.

- если detA = 0, то обратной матрицы не существует;

- если detA ? 0, то обратная матрица существует.

Для того, чтобы найти детерминант необходимо сосчитать алгебраические дополнения.

По определению: Aik = (-1)i+k · Mik ,

где i - номер строки матрицы,

k - номер столбца матрицы,

M - минор.

- если сумма i+k четная, то Aik = 1 · Mik

A11 = 6,1 · 1,2 - 5,7 · 2,8 = 7,32 - 15,96 = - 8,64

A12 = 2,8 · 1,2 - 4,5 · 2,8 = 3,36 - 12,6 = 9,24

A13 = 2,8 · 5,7 - 4,5 · 6,1 = 15,96 - 27,45 = -11,49

Теперь мы можем сосчитать детерминант.

detA = 0,1 · (-8,64) + 4,6 · 9,24 + 7,8 · (-11,49) = -0,864 + 42,504 - 89,622 = - 47,982

detA ? 0 => обратная матрица существует и можно продолжать вычисления.

в). Найдем обратную матрицу А-1.

По определению:

A11 A21 A31

A-1 = A12 A22 A32 · 1/ detA ,

A13 A23 A33

где А11 , …, А33 - алгебраические дополнения матрицы А.

Для нахождения обратной матрицы А-1, сначала сосчитаем все алгебраические дополнения матрицы А:

A21 = 4,6 7,8 = 4,6 · 1,2 - 7,8 · 5,7 = 5,52 - 44,46 = + 38,94

5,7 1,2

A22 = 0,1 7,8 = 0,1 · 1,2 - 7,8 · 4,5 = 0,12 - 35,1 = - 34,98

4,5 1,2

A23 = 0,1 4,6 = 0,1 · 5,7 - 4,6 · 4,5 = 0,57 - 20,7 = + 20,13

4,5 5,7

A31 = 4,6 7,8 = 4,6 · 2,8 - 7,8 · 6,1 = 12,88 - 47,58 = - 34,7

6,1 2,8

A32 = 0,1 7,8 = 0,1 · 2,8 - 2,8 · 7,8 = 0,28 - 21,84 = + 21,56

2,8 2,8

A33 = 0,1 4,6 = 0,1 · 6.1 - 4,6 · 2,8 = 0,61 - 12,88 = - 12,24

2,8 6,1

Теперь мы можем сосчитать обратную матрицу А-1, подставив в формулу полученные данные:

1/detA = 1 / - 47,982 = - 0,0208411

- 8,64 38,94 - 34,7 0,1800675 - 0,8115543 0,72318786 A-1 = - 0,0208411 · 9,24 - 34,98 21,56 = - 0,1925722 0,7290234 0,44933516

- 11,49 20,13 - 12,27 0,2394647 - 0,4195323 0,25572089

Чтобы узнать правильно ли мы нашли обратную матрицу, необходимо сделать проверку. Если выполняется равенство:

A-1 · A = E, где E - единичная матрица, то обратная матрица найдена верно.

0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 0,1 4,6 7,8

A-1 · A = - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 · 2,8 6,1 2,8

0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 4,5 5,7 1,2

Произведем промежуточные вычисления:

С11 = 0,1800675 · 0,1 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 4,5 = 1

C12 = 0,1800675 · 4,6 + (-0,8115543) · 6,1 + 0,7231879 · 5,7 = 0

C13 = 0,1800675 · 7,8 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 1,2 = 0

C21 = (-0,1925722) · 0,1 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 4,5 = 0

C22 = (-0,1925722) · 4,6 + 0,7290234 · 6,1 + (-0,4493352) · 5,7 = 1

C23 = (-0,1925722) · 7,8 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 1,2 = 0

C31 = 0,2394647 · 0,1 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 4,5 = 0

C32 = 0,2394647 · 4,6 + (-0,4195323) · 6,1 + 0,2557209 · 5,7 = 0

С33 = 0,2394647 · 7,8 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 1,2 = 1

1 0 0

A-1 · A = 0 1 0 = E

0 0 1

Обратную матрицу нашли верно.

г). Найдем матрицу X (матрицу неизвестных).

По определению: X = A-1 · B ,

где B -- исходная матрица B (матрица свободных членов).

0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 9,8 0,521737

X = - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 · 6,7 = 0,391105

0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 5,8 1,019069

Матрицу X нашли, соответственно корни уравнений:

x1 = 0,521737

x2 = 0,391105

x3 = 1,019069

д). Проверка. Подставим в исходную систему уравнений полученные значения:

0,1 · 0,521737 + 4,6 · 0,391105 + 7,8 · 1,019069 = 0,0521737 + 1,799083 + 7,9487382 = 9,7999949 = 9,8

2,8 · 0,521737 + 6,1 · 0,391105 + 2,8 · 1,019069 = 1,4608636 + 2,385745 + 2,8533932 = 6,6999742 = 6,7

4,5 · 0,521737 + 5,7 · 0,391105 + 1,2 · 1,019069 = 2,3478165 + 2,229298 + 1,2229152 = 5,8000252 = 5,8

Система уравнений методом обратной матрицы решена верно.

1.1). Составление программы для решения системы уравнений методом обратной матрицы в EXCEL.

Шаг первый:

Для решения системы уравнений в EXCEL необходимо подготовить таблицу с исходными данными:

а). Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1:E10).

Шаг второй:

Необходимо обратить матрицу А. Применяемая для обращения матрицы функция МОБР возвращает массив значений, который вставляется сразу в целый столбец ячеек.

а). Выделим ячейки А11:С13, куда будет помещена обратная матрица.

б). При помощи Мастера функций вызовем функцию МОБР, категория Математические.

Страницы: 1, 2, 3, 4