Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

2

Министерство образования РФ

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра Автоматики и управления

Реферат

по математическим основам теории систем

на тему

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Выполнил:

Группа: ПС-263

Проверил: Разнополов О. А.

Челябинск

2003

Содержание:

Содержание 2

1. Появление дифференциальных уравнений при описании систем управления 3

2. Элементы теории дифференциальных уравнений 4

2.1. Понятие дифференциального уравнения 4

2.2. Нормальная система дифференциальных уравнений 4

2.3. Задача Коши 5

2.4. Свойства дифференциальных уравнений 6

2.5. Ломаная Эйлера и -приближенное решение 6

2.6. Непрерывная зависимость решений от начальных условий и параметров 7

2.7. Линейные дифференциальные уравнения 8

2.7.1. Нормальная линейная система дифференциальных уравнений 8

2.7.2. Общее решение линейной однородной системы 9

2.7.3. Определитель Вронского. Формула Лиувилля 9

2.7.4. Линейная неоднородная система. Метод вариации произвольных постоянных 10

2.7.5. Формула Коши 12

2.7.6. Линейное уравнение n-го порядка 13

2.7.7. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 14

2.7.8. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 15

3. Дифференциальные уравнения при описании непрерывных систем 16

3.1. Составление и линеаризация дифференциальных уравнений элементов системы 16

3.2. Понятие пространства состояний 18

3.3. Описание непрерывных систем с помощью системы дифференциальных уравнений 18

3.4. Описание систем переменными состояния 19

3.5. Понятие наблюдаемости системы 19

3.6. Понятие управляемости системы 20

3.7. Описание непрерывных систем с помощью одного дифференциального уравнения 21

3.8. Переход от системы дифференциальных уравнений к одному уравнению 22

3.9. Переход от одного уравнения к системе дифференциальных уравнений 22

Список литературы 24

1. Появление дифференциальных уравнений при описании систем управления

Любая система автоматического регулирования представляет совокупность отдельных взаимодействующих друг с другом элементов, соединенных между собой связями. Первым этапом при составлении дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования является разделение системы на отдельные элементы и составление уравнений этих элементов. Эти уравнения могут быть интегральными, линейными, трансцендентными, но чаще всего это оказываются дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения элементов и уравнения связей между отдельными элементами описывают процесс в системе, то есть изменение по времени всех координат системы.

Состояние системы, а также каждого входящего в нее элемента характеризуется некоторым числом независимых переменных. Этими переменными могут быть как электрические величины (ток, напряжение и т. д.), так и механические (скорость, угол поворота и т. д.). Обычно, чтобы характеризовать состояние системы или ее элемента, выбирают одну обобщенную координату на входе системы или элемента и одну - на выходе. Будем обозначать входную величину g(t), а выходную x(t). В ряде случаев такое представление невозможно, так как система или ее элемент могут иметь несколько входных и выходных величин. В многомерных системах можно рассматривать векторные входную и выходную величины с размерностями, совпадающими соответственно с числом входных и выходных элементов системы.

Рассмотрим пример: управление самолетом по углу рыскания. Предположим, что осевая линия самолета под действием порывов ветра отклонилась от заданного направления y на угол (рис.1). Возвращение самолета на заданный курс осуществляется с помощью руля, отклонение которого равно . Предполагается, что относительно оси, проходящей через центр тяжести ЦТ, самолет имеет момент инерции J. Восстанавливающая сила руля пропорциональна , трением в воздухе пренебрегаем.

Уравнение движения запишется по второму закону Ньютона:

где k(t) - восстанавливающая сила; m(t) - момент, вызванный порывами ветра. Разделив это уравнение на J и обозначив b=-k/J, (t)=m(t)/J, а также принимая (t) за управляющее воздействие u(t), получаем

Вводя в рассмотрение переменные состояния

к двум дифференциальным уравнениям первого порядка

которые в векторной форме запишутся так

Вводя векторно-матричные обозначения

приходим к дифференциальному уравнению:

2. Элементы теории дифференциальных уравнений

2.1. Понятие дифференциального уравнения

Уравнения, которые, кроме неизвестных функций одного или нескольких переменных, содержат также их производные, называются дифференциальными. Дифференциальные уравнения называются обыкновенными, если неизвестные функции являются функциями одного переменного, в противном случае дифференциальные уравнения называются уравнениями в частных производных.

Соотношение вида

называется дифференциальным уравнением n-го порядка. Решением дифференциального уравнения называется функция x=x(t), определенная на некотором интервале t, которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество на всем интервале . Это уравнение можно рассматривать как функцию, определяющую неявно производную n-го порядка x(n). При определенных условиях его можно решить относительно x(n):

Пусть x=x(t) - решение данного дифференциального уравнения. Тогда x(t) является непрерывной и непрерывно дифференцируемой функцией t. На плоскости (t,x) решению x=x(t) будет соответствовать непрерывная кривая, называемая интегральной кривой.

Функция x=x(t,C) называется общим решением дифференциального уравнения, если путем соответствующего выбора постоянной можно любую интегральную кривую.

2.2. Нормальная система дифференциальных уравнений

В дифференциальные уравнения вида

может входить n неизвестных функций x1,…, xn . Тогда системой дифференциальных уравнений будет совокупность соотношений

Предположим, что эту систему можно разрешить относительно старших производных. В этом случае получим систему уравнений:

Такая система называется канонической системой дифференциальных уравнений. Вводя новые неизвестные функции, можно привести эту систему к системе первого порядка. Пусть

Тогда наша система перепишется в виде

В дальнейшем будем рассматривать систему из n уравнений первого порядка в виде

Эта система называется нормальной (канонической) системой дифференциальных уравнений. Эту систему будем записывать в векторной форме:

Тогда данная система будет представлена в виде:

Решением этой системы на интервале G называется совокупность n функций xi=xi(t), определенных на интервале G и таких, что подстановка их в эту систему обращает каждое ее уравнение в тождество на всем интервале G.

Если вектор-функция не зависит явно от времени t, то эта система называется автономной (стационарной).

2.3. Задача Коши

Начальной задачей или задачей Коши для системы

называется следующая задача. Найти решение системы дифференциальных уравнений, определенное на некотором интервале G, содержащем точку t0, и удовлетворяющее условиям:

причем t0, xi0 (i=1, 2,…, n) называются начальными значениями для решения x1(t), …, xn(t), а эти условия - начальными условиями. Если ввести в рассмотрение (n+1)-мерное пространство с координатами t, x1,…, xn, то совокупность n функций xi=xi(t) будет представлять линию в n-мерном пространстве. Начальные значения t0, x10,…, xn0 представляют собой точку в этом пространстве.

2.4. Свойства дифференциальных уравнений

Пусть имеется нормальная система дифференциальных уравнений в векторной форме

(1)

Общим решением системы (1) в области G называется совокупность n функций xi=xi(t,c1,…,cn), i=1,2,…,n. Будем говорить, что функция f(t,x1,…,xn) удовлетворяет условию Липшица в области G по переменным x1,…,xn, если существует такое постоянное число L>0, что для любой пары точек (t,x1,…,xn) и (t, xs1,…,xsn), принадлежащих G, выполняется неравенство

Пусть в системе (1) функции fi(t, x) непрерывны по t и удовлетворяют условию Липшица по x1,…,xn в некоторой области G. Тогда существует и притом единственное решение xi=xi(t), I=1,2,…n системы (1), удовлетворяющее начальным условиям xi(t0)=xi0, определенное на отрезке K, содержащем точку t0.

Теорема утверждает существование единственного решения на отрезке K, содержащем точку t0. Однако, это решение может быть продолжено за пределы отрезка K вплоть до границы области G.

Если функция f(t, x1, ..., хn) имеет ограниченные частные производные по xi в выпуклой области G, то эта функция удовлетворяет условию Липшица.

2.5. Ломаная Эйлера и -приближенное решение

Рассмотрим систему уравнений

(2)

причем будем полагать, что эта система удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Совокупность n функций z1(t), ..., zn(t) называется -приближенным решением системы (2) на отрезке А, если каждая из этих функций непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и

во всех точках tK, кроме точек разрыва непрерывности этой производной.

Пусть задана начальная точка (t0, x10, …, хn0) и пусть функции fi(t, xi,...,хn) непрерывны по t в области G и удовлетворяют в этой области условию Липшица по переменным t, x1, х2, ..., хn. Можно показать, что в этом случае функции fi(t, x1,..., хn) будут непрерывны по совокупности переменных t, x1,..., хn в области G. Из непрерывности функций fi (t, x1,..., хn) в замкнутой области G сле-дует их равномерная непрерывность. Таким образом, для любого >0 найдется такое >0, зависящее только от , что при

будет справедливо неравенство

Построим -приближенное решение системы (2). Для этого разобьем область G на кубы со сторонами, меньшими (для случая n=1 построение проведено на рис. 2, в этом случае область разбивается на квадраты). Из точки (t, xlo, ..., хn0) проведем прямую

Эту прямую продолжим до пересечения с одной из сторон соответствующего куба. Обозначим точку пересечения (t1, x11,..., xn1). Из этой точки проведем прямую

которую продолжим до пересечения с одной из сторон куба; обозначим точку пересечения (t2, x12,..., xn2), через эту точку проводим новую прямую

и так далее.

В результате указанных действий получим ломаную xi=xi(t) (i=l, 2, ..., n), называемую ломаной Эйлера. Эта ломаная представляет собой непрерывную кусочно-линейную функцию. Ломаную Эйлера мы можем продолжить до границы области G.

Пусть xi(t) (i=l, 2, ..., n) -- точное решение системы (2), удовлетво-ряющее начальным условиям. Обозначим через si(t) (i=1, 2, ..., n) -приближенное решение системы (1) для тех же начальных условий. Тогда

Отсюда следует, что если |t-t0|<h, то

Таким образом, при 0 решение xi(t) (i=1, 2, ..., n) равномерно сходится к решению si(t) (i=l, 2, ..., n) и ломаная Эйлера, исходящая из точки (t0, xi(t0)), равномерно сходится к точному решению. Это неравенство дает оценку погрешности при замене точного решения -приближенным.

Полученные неравенства мы используем для выяснения важной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных условий и параметров уравнений.

2.6. Непрерывная зависимость решений от начальных условий и параметров

Пусть задана нормальная система дифференциальных уравнений (2), причем функции fi(t, xl ,..., хn) непрерывны по t и удовлетворяют условию Липшица по х1, ..., хn в некоторой области G.

Пусть далее x=x(t, t0, x0) -- решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям. Положим, что это решение определено на отрезке |t-t0|?h. Тогда для любого >0 существует такое (, h)>0, что другое решение x=s(t, t0, z0), удовлетворяющее начальным условиям

где ||x0-z0||<, будет определено на том же отрезке |t-t0|?h и удовлетворяет неравенству

Рассмотрим теперь непрерывную зависимость решения системы дифференциальных уравнений от параметров. Пусть имеется система уравнений

Здесь (м1,…, мs)=м - вещественные параметры, а функции fi(t, x, м) определены и непрерывны по совокупности переменных t, x1, …, xn, м1, …, мs в некоторой области G n+s+1-мерного пространства и удовлетворяют условию Липшица по переменным x1, …, xn с постоянной L. Пусть далее x=x(t, м') - решение этой системы при значении параметров м=м', удовлетворяющее начальным условиям x(t0, м')=x0 и определенное на отрезке.

Страницы: 1, 2, 3