В установившемся состоянии зависимость выходной величины элемента системы от входной задается статической характеристикой элемента. Как правило, статические характеристики элементов нелинейны. Статические характеристики могут быть получены из дифференциальных уравнений элементов системы.

Пусть дифференциальное уравнение, описывающее поведение элемента, имеет вид

(1)

Тогда статическая характеристика этого элемента задается уравнением в неявной форме

(2)

то есть для ее получения в уравнении (1) следует положить x=const и g=const.

Если динамика элемента описывается линейным дифференциальным уравнением, то этот элемент называется линейным, если дифференциальное уравнение нелинейно, то элемент называется нелинейным. Из-за нелинейности статических характеристик уравнения элементов системы в большинстве случаев являются нелинейными.

Для упрощения анализа, когда это возможно, приближенно заменяют нелинейные дифференциальные уравнения такими линейными уравнениями, решения которых с достаточной степенью точности совпадают с решениями нелинейных уравнений. Этот процесс замены нелинейного дифференциального уравнения линейным называется линеаризацией. Обычно линеаризация нелинейного уравнения производится относительно некоторого установившегося состояния элемента системы.

Если дифференциальное уравнение элемента нелинейно из-за нелинейности его статической характеристики, то линеаризация уравнения сводится к замене нелинейной характеристики элемента x=ф(g) некоторой линейной функцией x=ag+b. Аналитически эта замена производится с помощью разложения в ряд Тейлора функции x=y(g) в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию и отбрасывания всех членов, содержащих отклонение g входной величины элемента в степени выше первой. Геометрически это означает замену кривой x=ф(g) касательной, проведенной к кривой в точке (х0, g0), соответствующей установившемуся состоянию работы элемента (рис. 3).

В других случаях линеаризация производится путем проведения секущей, мало отклоняющейся от функции x=ф(g) в требуемом диапазоне измене-ния входной величины элемента.

Назовем нелинейные статические характеристики, линеаризуемые в требуе-мом диапазоне изменения входной величины указанным выше способом, не-существенно нелинейными характеристиками. Наряду с линеаризуемыми характеристиками имеются такие характеристики, которые не поддаются такой линеаризации. К ним относятся, например, характеристики, не разлагаемые в ряд Тейлора в окрестности точки установившегося состояния. Такие характеристики будем называть существенно нелинейными.

Рассмотрим подробнее процесс линеаризации нелинейного уравнения элемента с помощью ряда Тейлора. Пусть поведение элемента описывается нелинейным дифференциальным уравнением (1). Тогда установившееся состояние элемента характеризуется уравнением (2). Пусть g0 и х0 -- значения установившегося состояния. Тогда координаты g и х можно записать в виде х=х0+x, g=g0+g, где g и x -- отклонения координат g и x от установившегося состояния. Уравнение (1) в отклонениях имеет вид

Разложим левую часть этого уравнения в ряд Тейлора относительно точки (0, 0, х0, g0):

В левой части этого равенства не выписаны члены, содержащие отклонения g и x и их производные в степени выше первой. Частные производные в левой части этого уравнения представляют собой некоторые числа, величины которых зависят от вида функ-ции F(x", x', x, g) и значений координат g0 и х0.

Считая отклонения g, х от установившегося состояния, а также их производные по времени малыми и полагая, что функция F(x", x', x, g) достаточно гладкая по всем аргументам в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию, отбросим в этом уравнении все члены, которые содержат отклонения g и х, а также их производные в степени выше первой. Полученное уравнение

является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

Очевидно, что необходимым условием линеаризации является возможность разложения в ряд Тейлора функции F(x", x', x, g) в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию. Линеаризованное уравнение приближенно заменяет нелинейное уравнение (1) лишь в некоторой малой окрестности точки (0, 0, х0, g0). Величина этой окрестности зависит от гладкости функции F(x", x', x, g) в этой точке, т. е. от величин производных порядка выше первого этой функции в точке (0, 0, х0, g0). Как правило, с помощью линеаризованного уравнения можно исследовать поведение элемента системы лишь при малых отклонениях входной и выходной координаты от установившегося состояния. Очевидно, что необходимым условием линеаризации является возможность разложения в ряд Тейлора функции F(x", x', x, g) в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию. Линеаризованное уравнение приближенно заменяет нелинейное уравнение (1) лишь в некоторой малой окрестности точки (0, 0, х0, g0). Величина этой окрестности зависит от гладкости функции F(x", x', x, g) в этой точке, т. е. от величин производных порядка выше первого этой функции в точке (0, 0, х0, g0). Как правило, с помощью линеаризованного уравнения можно исследовать поведение элемента системы лишь при малых отклонениях входной и выходной координаты от установившегося состояния.

3.2. Понятие пространства состояний

С точки зрения анализа и синтеза систем представляется целесообразным разделить все переменные, характеризующие систему, на три группы:

1) входные переменные или входные воздействия mi, представляющие сигналы, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой, и влияющие на поведение системы;

2) выходные переменные или переменные, характеризующие реакцию системы yj, позволяющие описать некоторые аспекты поведения системы, представляющие интерес для исследователя;

3) переменные (координаты) состояния или промежуточные переменные xk, характеризующие динамическое поведение исследуемой системы.

Величины mi, yj и xk предполагаются функциями времени. Для удобства оперирования с многомерными величинами совокупность входных переменных представим в виде вектора входа, совокупность выходных переменных - в виде вектора выхода, и совокупность переменных состояния - в виде вектора состояния:

.

Множество всех значений, которые может принять вектор входа m в момент t, образует пространство входа системы. Множество всех значений, которые может принять вектор выхода y в момент t, образует пространство выхода системы. Множество всех значений, которые может принять вектор состояния x в момент t, образует пространство состояний системы.

3.3. Описание непрерывных систем с помощью системы дифференциальных уравнений

В любой момент времени t состояние системы является функцией начального состояния x(t0) и вектора входа m(t0, t), то есть

x(t)=F[x(t0); m(t0; t)],

где F - однозначная функция своих аргументов. Вектор выхода в момент t является также функцией x(t0) и m(t0; t) и может быть записан как

y(t)=z[x(t0); m(t0; t)].

Эти два уравнения часто называют уравнениями состояния системы. Для систем, описываемых дифференциальными уравнениями, эти уравнения могут быть записаны в следующей общей форме:

x(t)=F[x(t); m(t)],

y(t)=z[x(t); m(t)].

Такое описание системы носит название «вход-состояние-выход».

Если система описывается линейными дифференциальными уравнениями, то уравнения состояния системы сводятся к следующим:

dx(t)/dt=A(t)x(t)+D(t)m(t);

y(t)=B(t)x(t)+G(t)m(t),

где A(t) - матрица коэффициентов; D(t) - матрица управления; B(t) - матрица выхода; G(t) - матрица обхода системы.

Решение этой системы будем искать в форме

x(t)=p(t-t0)C1(t), (7)

где p(t-t0)=exp A(t-t0) - матрица перехода процесса, а С1(t) - вектор, зависящий от времени, заменяющий вектор начального состояния x0 в уравнении движения при отсутствии внешних воздействий. Дифференцируя это выражение по t, получаем

dx(t)/dt=Ax(t)+p(t-t0)dC1(t)/dt.

Если формула (7) является решением однородного уравнения, то величины в правых частях однородного уравнения и полученной формулы должны быть одинаковы. Отсюда

Dm(t)=p(t-t0)dC1(t)/dt.

Решая это уравнение относительно С1(t), получаем

Учитывая это выражение и определение матрицы перехода уравнение (7) приведем к виду

При t=t0, p(t-t0)=I и С2=x(t0). Отсюда находим

3.4. Описание систем переменными состояния

Линейная стационарная система может быть описана совокупностью линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, которую можно представить в следующей векторно-матричной форме:

dv(t)/dt=Av(t),

где A - матрица коэффициентов; v(t) - вектор-столбец, представляющий собой входные переменные mi и координаты xk системы

Если входные переменные рассматривать совместно с переменными состояния системы, то есть включить их в число координат системы, то вектор v можно считать вектором состояния системы увеличенной размерности.

3.5. Понятие наблюдаемости системы

Перепишем еще раз выражение для вектора выхода линейного многомерного процесса:

y(t)=Bx(t)+Gm(t), (8)

где y - p-мерный вектор, представляющий выходные переменные; B - матрица выхода размером pxn; G - матрица обхода системы размера pxr.

Пусть матрица B имеет вид

а матрица обхода G задана в виде

Тогда, развертывая формулу (8), получаем p выражений

(9)

Координату состояния принято называть наблюдаемой, если она может быть определена или для нее может быть получена оценка по измеримым выходным переменным. Анализ уравнений (9) показывает, что координата xk может быть определена или для нее может быть получена оценка по измеримым выходным переменным y1, y2, …, yi, …, yp, если коэффициенты bik для i=1, 2, …, p не все равны нулю. Другими словами, xk является наблюдаемой координатой, если элементы k-го столбца матрицы выхода не все равны нулю. Если это условие не соблюдается, то координату xk называют ненаблюдаемой. Таким образом, линейный процесс является наблюдаемым, если матрица выхода B не содержит столбцов, элементы которых равны нулю.

3.6. Понятие управляемости системы

Пусть линейный многомерный процесс описывается векторным дифференциальным уравнением

dx(t)/dt=Ax(t)+Dm(t), (10)

где x - n-мерный вектор состояния; m - r-мерный вектор, представляющий управляющие воздействия; A - квадратная матрица коэффициентов n-го порядка; D - матрица управления размера nxr.

Матрица A может быть приведена к диагональной матрице (или в общем случае к жордановой форме)

где ш - собственные значения матрицы A, которые предполагаются все различными.

Применяя подстановку x=Tz, исходное уравнение запишется в канонической форме

dz(t)/dt=z(t)+m(t),

где =T-1D=[ij]nxr.

Вектор z в полученной формуле будем называть каноническим вектором состояния. Будем считать, что в предыдущих матричных выражениях собственные значения i расположены в порядке возрастания их модулей, комплексные i - в порядке возрастания их аргументов, векторы-столбцы матрицы T - нормализованы, то есть выбраны так, что евклидова длина их равна единице.

Запишем полученное выражение в развернутой форме, то есть в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:

Эти уравнения показывают, что управляющее воздействие mk не будет оказывать какого-нибудь влияния на движение по координате zj, если

то есть когда jk=0 для k=1, 2, …, r. Запись в такой форме означает, что все элементы j-й строки матрицы все равны нулю. Отсюда следует вывод, что неуправляемыми координатами системы являются все те канонические координаты, которые соответствуют нулевым строкам матрицы . Равенство нулю всех элементов этих строк матрицы делает невозможным управление по соответствующим координатам. Это означает также, что изменение координат происходит независимо от управляющих воздействий и, следовательно, целиком определяется начальными условиями и возмущениями. Можно сказать, что эти координаты развязаны от управления.

Приведенное рассмотрение позволяет дать следующее определение управляемости: процесс, описываемый уравнением (10), является полностью управляемым, если матрица не содержит строк, элементы которых равны нулю; координаты, соответствующие ненулевым строкам , считаются управляемыми.

3.7. Описание непрерывных систем с помощью одного дифференциального уравнения

Непрерывную систему часто описывают дифференциальным уравнением относительно ее выхода y(t) и входа r(t):

или, вводя оператор дифференцирования p=d/dt,

Здесь мы ввели функцию F(t)=B(p)v(t), потому что, как правило, входное воздействие на систему известно. Такая система называется системой «вход-выход».

Многочлен A(p) называется собственным оператором системы, а M(p) - входным оператором.

Введем понятие передаточной функции системы. Отно-шение входного оператора М(р) к собственному оператору D(р) назовем передаточной функцией W(р) системы, описывае-мого линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

Решение этой системы совершенно аналогично решению линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

3.8. Переход от системы дифференциальных уравнений к одному уравнению

Введем оператор дифференцирования Lij=anijpn+a(n-1)ijpn-1+…+a1ijp1+a0ij. Тогда любую систему дифференциальных уравнений (в том числе и систему уравнений, описывающих систему «вход-состояние-выход») можно представить в виде

Так как операторы Lij зависят только от p, то решение можно получить, используя формулы Крамера:

где (p) - дифференциальный оператор, определяемый определителем:

- оператор, определяемый ki-ым алгебраическим дополнением.

3.9. Переход от одного уравнения к системе дифференциальных уравнений

Пусть дана линейная система с постоянными параметрами, одним входом и выходом:

где p=d/dt. Непосредственно из схемы моделирования следует

(11)

Дифференцируя y, получим

Последующая подстановка px1 из полученных уравнений дает

Согласно приводимой процедуре вторая и старшие производные y равны

Подставив полученные выражения для y, py, …, pn-1y и выражения (11) в исходное уравнение и сопоставляя с выражением для pny, получим выражения для ai и bi:

i , по-видимому, можно также записать в виде

Значит, bi можно определить, умножив обе части этого выражения на обратную матрицу коэффициентов. Согласно полученным выражениям, одна из форм матриц A, B, C, D для системы вида «вход-состояние-выход» имеет вид

Приведенные уравнения состояния соответствуют так называемому стандартному виду системы.

Список литературы:

1. Чемоданов Б К. Математические основы теории систем.

2. Ю. Ту. Современная теория управления.

Страницы: 1, 2, 3