Контроль и диагностика систем

29

Московский Авиационный Институт

(государственный технический университет)

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО КУРСУ: «кОНТРОЛЬ И ДИАГНОСТИКА СИСТЕМ»

ВАРИАНТ №7

Москва 2009 г.

Содержание

• Задание
• Теоретическая часть
• Метод ветвей и границ
• Метод наискорейшего спуска
• Практическая часть
• Задача №1
• Задача №2
• Задание
• Определение последовательности проведения проверок с использованием метода ветвей и границ, и количества повторных измерений методом наискорейшего спуска при ограничении на время проверок.
• Дано:
• 1. Граф исходного множества модулей и таблицы длительности операций.

29

2. Характеристики параметров, допуски и погрешность измерений.

Наиболее перспективным способом решения оптимизационных задач контроля является метод ветвей и границ.

Идея этого метода заключается в следующем. Множество W(S0) всех допустимых вариантов решения у разбивается на непересекающиеся подмножества W(Sk), которые, в свою очередь, разбиваются на подмножества меньшей мощности W(Sl) до получения подмножества W(Sv), состоящего из единственного варианта. Процесс разбиения множества допустимых вариантов W(S0) на их непересекающиеся подмножества называется ветвлением вариантов, а получаемое при этом дерево - деревом решений. Каждой вершине дерева ветвления соответствует некоторый модуль из графа, а любой путь по дереву определяет соответствующий граф очередности. Множество вершин описывает определенный вариант процесса.

Пусть Y(Sk) - множество вершин в графе очередности D, соответствующих пути от S0 до Sк в дереве Е. из каждой вершины Sк выходит столько ветвей, сколько допустимых модулей (претендентов упорядочения) имеется в подмножестве Z\ Y(Sk). Множество допустимых на каждом шаге процесса ветвления модулей образует фронт упорядочения. Наглядное представление об образовании фронта упорядочения дает преобразованный в соответствии с формулой (1.1) граф G

F(zl) = max[f(zi) + til] (1.1)

zi>zj

Очевидно, на первом шаге процесса построения дерева Е фронт упорядочения образуют вершины, которые соединены с мажорантой одной дугой, на втором шаге к ним добавляются все последователи включенной в D вершины, в которую не входят дуги из других вершин и т.д. На произвольном шаге фронт упорядочения образуют модули, для которых Г0-1zi = Ш.

Метод ветвей и границ предполагает построение дерева ветвления вариантов Е и фактически представляет собой процедуру последовательного анализа вариантов, дополненную прогнозированием такого направления поиска, в котором с наибольшей вероятностью находится оптимальное решение. Идея прогнозирования заключается в оценке нижних границ минимизируемой целевой функции для разветвляемых подмножеств W(Sk). На каждом шаге ветвление продолжается из вершины, имеющей минимальную оценку. Задача сводится к отысканию на дереве конечной вершины, соответствующей оптимальному допустимому решению со значением целевой функции, меньшим или равным оценкам висячих вершин дерева Е.

Как показывает практика применения метода ветвей и границ, эффективность его значительно зависит от способа представления решения в виде дерева вариантов и метода оценки нижней границы целевой функции.

Для минимизации этот метод может быть применен следующим образом.

На основе исходной информации, заданной графом G, построим

¦Z¦- размерные матрицы, такие что

фi + tij, если (i,j) принадлежит U

bij = (1.2)

- ?, если (i,j) не принадлежит U

tij + фi, если (i,j) принадлежит U

dij = (1.3)

- ?, если (i,j) не принадлежит U

Введем следующие понятия:

а) наиболее раннее время начала модуля

Тн(Zк) = max { Тн(Zi) + bik}, Тн(Z0) = 0 (1.4)

0< i ? k

б) критический путь - самый длинный путь, ведущий от мажоранты графа к миноранте, причем за длину любого пути принимается сумма длительностей фi для всех модулей и всех задержек tij , входящих в этот путь.

Обозначим H = {Lij} - множество всех независимых путей на графе (путей, отличающихся друг от друга хотя бы одной дугой), ведущих от вершины zi к zj, и H' = {Lk}є H - множество всех независимых путей, ведущих от вершины zk к миноранте. Тогда такой путь представляет собой частичный подграф GL = (ZL, UL), длина которого равна:

T(L) = ? фk + ? tkl (1.5)

k:zk є ZL (k,l) є UL

Длина критического пути может быть вычислена из рекуррентной формулы:

Ткр = t(L0*) = max {t(L0)}= ф0 + max {t0,j + t(Lj*)} (1.6)

L0єH'

j:zjєГz0

Так как длина критического пути характеризует наименьшую длительность процесса контроля, то выражение (6) может послужить основой для оценки нижних границ минимизируемого функционала. Необходимыми условиями для достижения этой границы являются:

?фk ? t(L0*) и (V R)[tk?Tk(zk)] (1.7)

k:zk є Z

где tk - время завершения к-го модуля, определяемое из полученного решения D.

На основании приведенных выражений процесс преобразования графа G = (Z, Г) в граф очередности G = (Z, ГD) может быть интерпретирован следующим образом. Определим для каждой вершины Sk є S дерева ветвления вариантов Е множество

N(Sk) = {zi¦zi є Z, Г-1zi є Y(Sk)} (1.8)

которое определяет фронт упорядочения. Согласно априорной части упорядоченности модулей, выражаемой отображением Г, очередной модуль при пошаговом построении графа D может быть выбран только из ¦N(Sk)¦, выражающего мощность фронта упорядочения.

На основе (6) можно записать выражение для оценки нижних границ для произвольного подмножества вариантов W(Sk) в следующем виде:

Тоц(Sk) = t*(Sk) + max {t(Li*) + max [0, Тн(zi) - t*(Sk)]} (1.9)

i:zj є N(Sk)

где t*(Sk) = max{ti¦i:zi є Y(Sk)}

На каждом шаге для дальнейшего разветвления выбирается вершина Sk*, для которой справедливо равенство

Тоц(Sk*) = min{ Тоц(Sk)¦Sk є S*} (1.10)

Где S* с S - подмножество вершин, из которых можно продолжать ветвление, т.е.

S* = {Si¦Si:¦?Si¦<¦N(Si)¦} (1.11)

Выбранная вершина Sk є S* в итоге ветвления получает¦N(Sk)¦последователей, определяющих разбиение множества возможных вариантов W(Sk) на ¦N(Sk)¦непересекающихся подмножеств.

При достижении в процессе ветвления подмножества W(Sн), состоящего из единственного варианта D(Sн) = [Y(Sн), ГD], Y(Sн) = Z, последний будет оптимальным если

t*(Sн) ? min{ Тоц(Sk)¦ Skє S*}. (1.12)

если (12) не выполняется, то поиск оптимального решения продолжается из вершины, имеющей наименьшую из оценок Тоц(Sk*).

На автоматизированный контроль объектов отводится определенное время, между тем при однократных измерениях выбранного количества контролируемых параметров это время полностью не используется, т.е. остается некоторый избыток времени. Эту избыточность времени можно использовать в целях повышения достоверности результатов автоматизированного контроля сложных объектов применением многократных (повторных) измерений контролируемых параметров. Таким образом, возникает задача оптимального использования временной избыточности или, что то же самое, при контроле совокупности параметров возникает задача определения оптимального количества повторных измерений, обеспечивающего максимальную достоверность результатов контроля.

Рассмотрим задачу:

Требуется обеспечить не менее, чем заданную достоверность результатов контроля при условии, что суммарно время измерения контролируемых параметров не превысит некоторой величины.

Введем следующие обозначения:

Р - достоверность результатов контроля объекта (вероятность получения правильных результатов, Р0 - заданное значение );

Т - суммарное время измерения всех контролируемых параметров (Т0 - заданное значение);

m - количество контролируемых параметров;

ni - количество повторных измерений i-го параметра;

ti - время одного измерения i-го параметра;

pi(ni) - достоверность результатов контроля i-го параметра при ni - кратном измерении.

Тогда задача формулируется: найти

(2.1)

при условии, что выполняется ограничение

(2.2)

контролируемые параметры независимы.

Р(N) - достоверность результатов контроля на N-ом этапе процесса решения;

Т(N) - суммарное время измерения всех контролируемых параметров на N-ом этапе процесса решения.

Сущность метода заключается в следующем. Берется исходный состав контролируемых параметров, которые определяют работоспособность объекта, и для них вычисляются значения достоверности контроля Р(1) и суммарное время измерения этих параметров Т(1) при однократных измерениях (индекс “1” означает отсутствие повторения измерений)

(2.3)

(2.4)

вычисляем

шi(ni) = (pi(ni) - pi(ni - 1)) / (pi(ni - 1) ti) (2.5)

Затем на первом этапе процесса решения последовательно для всех контролируемых параметров (i = 1, 2, ... , m) вычисляются значения Рi(2) (вероятность получения правильного результата по всем контролируемым параметрам при условии, что i-й параметр измеряется двукратно) и Тi(2) (суммарное время измерения всех контролируемых параметров при условии, что i-й параметр измеряется двукратно)

Pi(2) = p1(1) p2(2) ... pi-1(1) pi(2) pi+1(1) ... pm(1) (2.6)

Ti(2) = t1 + t2 + ... + ti-1 + 2ti + ti+1 + ... + tm (2.7)

Далее для всех контролируемых параметров на первом этапе вычисляются значения относительного приращения достоверности результатов, в зависимости от приращения суммарного времени измерения.

шi(2) = шi(2) P(1) (2.8)

Среди величин шi(2) требуется найти наибольшую. Однако нетрудно заметить, что наибольшей величине шi(2) соответствует и наибольшая величина шi(2), так как они отличаются между собой лишь на постоянный множитель Р(1). Пусть, например, наибольшей оказалась величина шs(2). Это означает, что на первом этапе процесса решения задачи повторно следует измерить s-й параметр.

Таким образом, после первого этапа процесса решения достоверность результатов контроля объекта, который контролируется по m параметрам, будет характеризоваться значением

Страницы: 1, 2, 3