X1 = ц1,1 ? ц1,2 ? ... ? ц1,k1,

X2 = ц2,1 ? ц2,2 ? ... ? ц2,k2,

(4) .....…………………………

Xn= цn,1 ? цn,2 ? ... ? цn,kn,

причем i-ое уравнение при ki = 0 имеет вид

Xi = ?

Как известно, формальный язык -- это множество цепочек в некотором алфавите. Такую систему можно рассматривать как одну из интерпретаций набора правил некоторой грамматики, представленную в форме Бэкуса-Наура (каждое из приведенных уравнений является аналогом некоторой такой формулы). Пусть фиксирован некоторый алфавит A = {a1, a2, …, am} терминальных символов грамматики, из которых строятся цепочки, образующие используемые в системе (4) языки. Символы X1, X2, ..., Xn являются метапеременными грамматики, здесь будут рассматриваться как переменные, значениями которых являются языки (множества значений этих метапеременных). Символы цi,j, i = 1, ..., n, j = 1, ..., kj, обозначают цепочки в объединенном алфавите терминальных символов и метапеременных:

цi,j ? (A | { X1, X2, ..., Xn})* .

Цепочка цi,j рассматривается как некоторое выражение, определяющее значение, являющееся языком (множеством цепочек в алфавите A). Такое выражение определяется следующим образом. Если значения X1, X2, ..., Xn заданы, то цепочка

ц = Z1 Z2 ... Zk, Zi???(A | { X1, X2, ..., Xn }),

обозначает сцепление множеств Z1 Z2 ... Zk, причём вхождение в эту цепочку символа aj представляет множество из одного элемента {aj}. Это означает, что ц определяет множество цепочек

p1 p2 ... pk ,

причём цепочка

p1, p2, ..., pk

представляет собой последовательность выписанных друг за другом цепочек p1, p2, ..., pk. Таким образом, каждая правая часть уравнений системы (4) представляет собой объединение множеств цепочек.

Решением системы (4) является набор значений (языков)

L1, L2, ..., Ln

переменных X1, X2, ..., Xn, для которых все уравнения системы (4) превращаются в тождество.

Рассмотрим в качестве примера частный случай системы (4), состоящий из одного уравнения

X = a X ? b X ? c

с алфавитом A = {a, b, c}. Решением этого уравнения является язык

L = { ц c | ц???{a, b}*}.

Система (4) может иметь несколько решений. Так в рассмотренном примере помимо L решениями являются также

L1 = L ? {ц a | ц???{a, b}*}

и

L2 = L ? { ц b | ц???{a, b}*}.

В соответствии с денотационной семантикой в качестве определяемого решения системы (4) принимается наименьшее. Решение (L1, L2, ..., Ln) системы (4) называется наименьшим, если для любого другого решения (L?1, L?2, ..., L?n) выполняется

L1 ? L?1, L2 ? L?2, ..., Ln ? L?n.

Так в рассмотренном примере наименьшим (а значит, определяемым денотационной семантикой) является решение L.

В качестве метода решения систем уравнений (3) и (4) можно использовать метод последовательных приближений. Сущность этого метода для системы (4) заключается в следующем. Обозначим правые части уравнений системы (4) операторами Ti(X1, X2, ..., Xn). Тогда система (4) примет вид

X1 = T1(X1, X2, ..., Xn),

X2 = T2(X1, X2, ..., Xn),

(5) ………………………

Xn = Tn(X1, X2, ..., Xn).

В качестве начального приближения решения этой системы примем набор языков (L1[0], ..., Ln[0]) = (?, ?, ..., ?). Каждое следующее приближение определяется по формуле:

(L1[0], ..., Ln[0]) = (T1(L1[i-1], ..., Ln[i-1]), …………….. (Tn(L1[i-1], ..., Ln[i-1])).

Так как операции объединения и сцепления множеств являются монотонными функциями относительно отношения порядка Н, то этот процесс сходится к решению (L1, ..., Ln) системы (5), т.е.

(L1, ..., Ln)= (T1(L1, ..., Ln), ..., Tn(L1, ..., Ln))

и это решение является наименьшим. Это решение называют ещё наименьшей неподвижной точкой системы операторов

T1, T2, ..., Tn.

В рассмотренном примере этот процесс даёт следующую последовательность приближений:

L[0] = ?, L[1] = {c}, L[2]= {c, ac, bc},

L[3] = {c, ac, bc, aac, abc, bac, bbc},

…………………………………………

Этот процесс сходится к указанному выше наименьшему решению L.

В аксиоматической семантике алгебраического подхода система (5) интерпретируется как набор аксиом в рамках некоторой формальной логической системы, в которой есть правила вывода и / или интерпретации определяемых объектов.

Для интерпретации системы (1) вводится понятие аксиоматического описания (S, E) -- логически связанной пары понятий: S -- сигнатура используемых в системе (1) символов функций f1, f2, ..., fm и символов констант (нульместных функциональных символов) c1, c2, ..., cm, а E -- набор аксиом, представленный системой (1). Предполагается, что каждая переменная xi, i = 1, ..., k, и каждая константа cj, j =1, ..., l, используемая в E, принадлежит к какому-либо из типов данных t1, t2, ..., tr, а каждый символ fi, i =1, ..., m, представляет функцию, типа

ti1 * ti2 * ... * tik > ti0.

Такое аксиоматическое описание получит конкретную интерпретацию, если будут заданы конкретные типы данных ti = t?i, i = 1, ..., r, и конкретные значения констант ci = c?i, i = 1, ..., l. В таком случае говорят, что задана одна конкретная интерпретация A символов сигнатуры S, называемая алгебраической системой

A = (t?1, ..., t?r, f ?1, ..., f ?r, с?1, ..., с? r),

где f ?i, i = 1, ..., m, конкретная функция, представляющая символ fi. Таким образом, аксиоматическое описание (S, E) определяет класс алгебраических систем (частный случай: одну алгебраическую систему), удовлетворяющих системе аксиом E, т.е. превращающих равенства системы E в тождества после подстановки в них f ?i, i = 1, ..., m, и ci = c?i, i = 1, ..., l, вместо fi и ci соответственно.

В программировании в качестве алгебраической системы можно рассматривать, например, тип данных, при этом определяемые функции представляют операции, применимые к данным этого типа. Так К. Хоор построил аксиоматическое определение набора типов данных [4], которые потом Н. Вирт использовал при создании языка Паскаль.

В качестве примера рассмотрим систему равенств:

УДАЛИТЬ(ДОБАВИТЬ(m,d))=m,

ВЕРХ(ДОБАВИТЬ(m,d))=d,

УДАЛИТЬ(ПУСТ)=ПУСТ,

ВЕРХ(ПУСТ)=ДНО,

где УДАЛИТЬ, ДОБАВИТЬ, ВЕРХ -- символы функций, а ПУСТ и ДНО -- символы констант, образующие сигнатуру этой системы. Пусть D, D1 и М -- некоторые типы данных, такие, что m???M, d???D, ПУСТ???M, ДНО??? D1, а функциональные символы представляют функции следующих типов:

УДАЛИТЬ: M > M,

ДОБАВИТЬ: M * D > M,

ВЕРХ: M > D1.

Данная сигнатура вместе с указанной системой равенств, рассматриваемой как набор аксиом, образует некоторое аксиоматическое описание.

С помощью этого аксиоматического описания определим абстрактный тип данных, называемый магазином, задав следующую интерпретацию символов её сигнатуры: пусть D -- множество значений, которые могут быть элементами магазина, D1 = D | {ДНО}, а M -- множество состояний магазина,

M = d1, d2, ..., dn ,

ПУСТ = {}, ДНО -- особое значение (зависящее от реализации магазина), не принадлежащее D. Тогда указанный набор аксиом определяют свойства магазина.

С аксиоматической семантикой связана логика равенств (эквациональная логика), изучаемая в курсе «Математическая логика». Эта логика содержит правила вывода из заданного набора аксиом других формул (равенств).

Как уже отмечалось, функциональная спецификация представляет собой математически точное, но, как правило, не формальное описание поведения ПС. Однако, формализованное представление функциональной спецификации имеет ряд достоинств, главным из которых является возможность применять некоторые виды автоматизированного контроля функциональной спецификации.

Под языком спецификаций понимается формальный язык, предназначенный для спецификации функций. В нем используется ряд средств, позволяющих фиксировать синтаксис и выражать семантику описываемых функций. Различие между языками программирования и языками спецификации может быть весьма условным: если язык спецификаций имеет реализацию на компьютере, позволяющую как-то выполнять представленные на нем спецификации (например, с помощью интерпретатора), то такой язык является и языком программирования, может быть, и не позволяющий создавать достаточно эффективные программы. Однако, для языка спецификаций важно не эффективность выполнения спецификации (программы) на компьютере, а её выразительность. Язык спецификации, не являющийся языком программирования, может быть, тем не менее, полезен в процессе разработки ПС (для автоматизации контроля, тестирования и т.п.).

Язык спецификации может базироваться на каком-либо из рассмотренных нами методов описания семантики функций, а также поддерживать спецификацию функций для какой-либо конкретной предметной области.