p align="left">Для получения возможно больших скоростей точки переменной массы в конце активного участка выгоднее идти по пути увеличения относительной скорости отбрасывания частиц, чем по пути увеличения запасов топлива. §1.2 Некоторые задачи моделирования механических систем (на примере движение тела с переменной массой) Имеется много случаев, когда масса тела изменяется в процессе движения за счет непрерывного отделения или присоединения вещества (ракета, реактивный самолет, платформа, нагружаемая на ходу, и др.). Наша задача: найти уравнение движения такого тела. Рассмотрим решение этого вопроса для материальной точки, называя ее для краткости телом. Пусть в некоторой момент времени масса движущего тела A равна m, а присоединяемая (или отделяемая) масса имеет скорость u относительно данного тела. Введем вспомогательную инерциальную K-систему отсчета, скорость которой такова же, как и скорость тела A в данный момент . Это значит, что а момент тело A покоится в K- системе. Пусть далее за промежуток времени от до тело A приобретает в K-системе импульс . Этот импульс тело A получит, во-первых, вследствие присоединения (отделения) массы , которая приносит (уносит) импульс , и, во-вторых, вследствие действия силы F со стороны окружающих тел или силового поля. Таким образом, можно записать , что , где знак плюс соответствует присоединению массы, а знак минус - отделению. Оба эти случая можно объединить, представив в виде приращения массы тела A (действительно, в случае присоединения массы , а в случае отделения ). Тогда предыдущее уравнение примет вид . Поделив это выражение на , получим где - скорость присоединяемого (или отделяемого) вещества относительно рассматриваемого тела. Это уравнение является основным уравнением динамики материальной точки с переменной массой. Его называют уравнением Мещерского. Будучи полученным в одной инерциальной системе отсчета, это уравнение в силу принципа относительности справедливо и в любой другой инерциальной системе. Заметим , что если система отсчета неинерциальная, то под силой F следует понимать результирующую как сил взаимодействия данного тела с окружающими телами, так и сил инерции. Последний член уравнения (1.26) носит название реактивной силы: . Эта сила возникает в результате действия на данное тело присоединяемой (или отделяемой) массы. Если масса присоединяется, то и вектор R совпадает по направлению с вектором u; если же масса отделяется, то и вектор R противоположен вектору u. Уравнение Мещерского по своей форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки постоянной массы: слева - произведение массы тела на ускорение, справа - действующие на него силы, включая реактивную силу. Однако в случае переменной массы нельзя внести массу под знак дифференцирования и представить левую часть уравнения как производную по времени от импульса, ибо , Обратим внимание на два частных случая. Если u=0. т. е. масса присоединяется или отделяется без скорости относительно тела, то R=0, и уравнение (1.26) принимает вид где - масса тела в данный момент времени. Это уравнение определяет , например, движение платформы, из которой свободно высыпается песок (см. задачу 10, пункт 1-й). Если u=-v, т. е. присоединяемая масса неподвижна в выбранной системе отсчета или отделяемая масса становится неподвижной в этой системе, то уравнение (1.28) принимает другой вид или иначе говоря, в этом частном случае - и только этом - действие силы F определяет изменение импульса тела с переменной массой. Данный случай реализуется, например, при движении платформы, нагружаемой сыпучим веществом из неподвижного бункера (см. задачу 10, пункт 2-й). Рассмотрим пример на применение уравнения Мещерского. Пример. Ракета движется в инерциальной K-системе отсчета в отсутствие внешнего силового поля, причем так, что газовая струя вылетает с постоянной относительно ракеты скоростью u. Найти зависимость скорости ракеты от ее массы , если в момент старта ее масса была равна . В данном случае F=0 и из уравнения (1.28) следует . Проинтегрировав это выражение с учетом начальных условий, получим где знак минус показывает, что вектор v (скорость ракеты) противоположен по направлению вектору u. Отсюда видно, что скорость ракеты в данном случае (u=const) не зависит от времени сгорания топлива: v определяется только отношением начальной массы ракеты к оставшейся массе m. Заметим, что если бы вся масса горючего была одновременно выброшена со скоростью u относительно ракеты , то скоростью последней оказалась бы иной. Действительно, если ракета вначале покоилась в выбранной инерциальной системе отсчета, а после одновременного выброса всего горючего приобрела скорость v, то из закона сохранения импульса для системы ракета - горючее следует , где u+v - скорость горючего относительно данной системы отсчета. Отсюда скорость ракеты v в этом случае оказывается меньше, чем в предыдущем (при одинаковых значениях отношения ). В этом нетрудно убедиться, сравнив характер зависимости v от в обоих случаях. С ростом в первом случае (когда вещество отделяется непрерывно) скорость v ракеты, согласно (1), растет неограниченно, во втором же (когда вещество отделяется одновременно) скорость v, согласно (2), стремится к пределу, равному - u. Задачи к главе 1 1.1. Частица движется с импульсом под действием силы F(t). Пусть a и b - постоянные векторы, причем a b. Полагая, что: , где - положительная постоянная, найти вектор F в те моменты времени, когда F p; , где - вектор, противоположный по направлению вектору а, найти вектор p в момент , когда он окажется повернутым на 90_ по отношению к вектору . Решение. 1. Сила , т. е. вектор F все время перпендикулярен вектору a. Следовательно, вектор F будет перпендикулярен вектору p в те моменты, когда коэффициент при b в выражении для обращается в нуль. Отсюда и соответствующие значения вектора F равны: 2. Приращение вектора p за промежуток времени есть Интегрируя это уравнение с учетом начальных условий, находим
где, по условию, противоположен вектору а. Вектор p окажется перпендикулярным вектору в момент , когда . В этот момент . Рис. 6 1.2. Через блок (рис. 6) перекинут шнур на одном конце которого находится лестница с человеком А, а на другом - уравновешивающий груз массы М. Человек , масса которого m, совершил вверх перемещение относительно лестницы и затем остановился. Пренебрегая массами блока и шнура, а также трением в оси блока, найти перемещение центра инерции этой системы. Решение. Сначала все тела системы покоились, поэтому приращение импульсов тел при движении равно самим импульсам. Силы натяжения шнура слева и справа одинаковы, а следовательно импульсы груза и лестницы с человеком в каждый момент времени будут равны между собой, т. т. , или , где v1, v и v2 - - скорости груза, человека и лестницы. Учитывая , что v2= -v1 и v=v2 + v, где v - скорость человека относительно лестницы, получим v1= (m/2M)v. (1) С другой стороны , импульс всей системы. Отсюда с учетом (1) найдем . И наконец, искомое перемещение . Другой способ решения основан на свойстве центра инерции данной системы характеризуется радиусом - вектором , где - радиусы-векторы центров инерции груза M, лестницы и человека относительно некоторой точки О данной системы отсчета. Отсюда перемещение центра инерции равно , где -перемещения груза M, лестницы и человека относительно данной системы отсчета. Имея в виду, что получим в результате . 1.3. система состоит из двух шариков с массами , которые соединены между собой невесомой пружинкой. Шарикам сообщили скорости , как показано на рис.7, после чего система начала двигаться в однородном поле сил тяжести Земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха и считая, что в начальный момент пружинка не деформирована, найти: скорость центра инерции этой системы в зависимости от времени; внутреннюю механическую энергию системы в процессе движения. Рис. 7 рис. 8 Решение. 1. Приращение вектора скорости центра инерции, есть . проинтегрировав это уравнение, получим , где -начальная скорость центра инерции. Отсюда . Внутренняя механическая энергия системы - это ее энергия . 4. Шарик с кинетической энергией T, испытав лобовое соударение с первоначально покоившейся упругой гантелью (рис. 8), отлетел в противоположном направлении с кинетической энергией . Массы всех трех шариков одинаковы. Найти энергию колебаний гантели после удара. Решение. пусть -импульсы налетающего шарика до и после удара, а -импульс и кинетическая энергия гантели как целого после удара, Е -энергия колебаний. Согласно законам сохранения импульса и энергии, . Из этих двух уравнений с учетом того, что , получим . 5 В К-системе частица 1 массы налетает на покоящуюся частицу 2 массы . Заряд каждой частицы равен . Найти минимальное расстояние, на которое они сблизятся при лобовом соударении, если кинетическая энергия частицы 1 вдали от частицы 2 равна . Рис. 9 Решние . Рассмотрим этот процесс как в К-системе, так и в Ц-системе. В К-системе в момент наибольшего сближения обе частицы будут двигаться как единое целое со скоростью , которую можно определить на основании закона сохранения импульса: , где p1 -импульс налетающей частицы, С другой стороны, из закона сохранения энергии следует , где приращение потенциальной энергии системы Исключив из этих двух уравнений, найдем . В Ц-системе решение наиболее просто: здесь суммарная кинетическая энергия частиц идет целиком на приращение потенциальной энергии системы в момент наибольшего сближения: , где , согласно (4.16), Отсюда легко найти 6. Частица массы с импульсом испытала упругое столкновение с покоившейся частицей массы . Найти импульс первой частицы после столкновения, в результате которого она рассеялась под углом к первоначальному направлению движения. Решение. Из закона сохранения импульса (рис. 69) находим где -импульс второй частицы после столкновения. С другой стороны, из закона сохранения энергии следует, что , где -кинетические энергии первой и второй частиц после столкновения. Преобразуем это равенство с помощью соотношения к виду Если то физический смысл имеет только знак плюс перед корнем. Это следует из того, что при этом условии корень будет больше, чем а так как pмм'1 - это модуль, то, естественно, он не может быть отрицательным. Если же m1>m2 , то физический смысл имеют оба знака перед корнем - ответ в этом случае получается неоднозначным: под углом импульс рассеянной частицы может иметь одно из двух значений (это зависит от относительного расположения частиц в момент соударения). 1.7. Какую часть з своей кинетической энергии теряет частица массы m1 при упругом рассеянии под предельным углом на покоящейся частице массы m2 , где m1>m2 § 1.3 Анимационное моделирование процесса обучения механических систем Эксплуатация реальных физических установок обычно требует серьезных финансовых затрат, а к учебным экспериментам на них, к тому же, предъявляются особые требования по технике безопасности. Поэтому для обучения удобно использовать не реальные установки, а их компьютерные модели. Существующие методы, используемые при разработке программ, позволяют существенно приблизить имитационные эксперименты к реальным. Разработанная компьютерная анимационная обучающая система моделирует в реальном масштабе времени движение тел, масса которых в процессе движения не остается постоянной. Подобные движения широко встречаются в природе и технике. Наибольший интерес рассмотрение движения тел переменной массы приобретает в тех случаях, когда вследствие изменения массы возникают силы, приводящие в движение эти тела. Эти силы, которые получили название реактивных, обеспечивают полет ракет разных систем, реактивных снарядов, самолетов с воздушно - реактивными двигателями и т. п.
Страницы: 1, 2, 3, 4
|