Вторая группа:

1. last(v) - вычисляет номер последнего элемента вектора V;

2. length(v) - вычисляет количество элементов вектора V;

3. min(v), max(v) - вычисляет минимальное и максимальное значения вектора V;

4. Re(v) - создает вектор из реальных частей комплексных элементов вектора V;

5. Im(v) - создает вектор из мнимых частей комплексных элементов вектора V;

6. sort(V) - сортировка элементов вектора V по возрастанию;

7. reverse (sort(v)) - сортировка элементов вектора V по убыванию;

8. csort (A,n) - сортировка элементов n - го столбца матрицы А по возрастанию (перестановкой строк);

9. rsort (A,n) - сортировка элементов n - ой строки матрица А по возрастанию (перестановкой столбцов);

10. rows(A) - вычисляет число строк в матрице А;

11. cols(A) - вычисляет число столбцов в матрице А;

12. max(A), min(A) - определяет максимальное и минимальное значения матрицы А;

13. tr(A) - вычисляет след квадратной матрицы А (след матрицы равен сумме ее диагональных элементов по главной диагонали);

14. mean(A) - среднее значение элементов матрица А.

Действие функций второй группы ясно из их названия, поэтому примеры для них приводить не будем.

Третья группа:

1. rref(A) - приведение матрицы к ступенчатому виду с единичным базисным минором (выполняются элементарные операции со строками матрицы: перестановка строк, умножение строки на число, сложение строк);

2. rank(A) - вычисляет ранг матрицы А (количество линейно-независимых строк или это число ненулевых строк ступенчатой матрицы rref(A));

3. eigenvals(A) - вычисление собственных значений квадратной матрицы А;

4. eigenvecs (A) - вычисление собственных векторов квадратной матрицы А, значением функции является матрица, столбцы которой есть собственные векторы матрицы А, причем порядок следования векторов отвечает порядку следования собственных значений, вычисленных с помощью функции eigenvals(A);

5. eigenvec(A,e) - вычисление собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению e;

6. normi(A) - max - норма, или - норма (infinity norm). в линейной алгебре используются различные матричные нормы, которые ставят в соответствие матрице некоторую скалярную числовую характеристику;

7. lsolve (A,b) - решение системы линейных алгебраических уравнений вида .

Функции третьей группы реализуют, как правило, довольно сложные вычислительные алгоритмы. Приведем примеры на использование функций rref и функций для вычисления собственных значений и собственных векторов матрицы. Задача поиска собственных значений и собственных векторов матрицы очень часто встречается в вычислительной практике.

В самом простом виде задача на собственные значения матрицы формулируется следующим образом: требуется найти такие значения , чтобы матричное уравнение имело решение. В таком случае число называют собственным числом матрицы А, а n- компонентный вектор Х, приводящий уравнение с заданным в тождество - собственным вектором. В вышеприведенном примере собственные вектора матрицы А получены в матрице MS. Проверка проведена для первого столбца матрицы MS и соответствующего ему собственного числа 0=5.439.

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Этот вопрос является центральным в вычислительной линейной алгебре.

В математике рассматриваются системы линейных уравнений двух видов - однородные и неоднородные.

Неоднородная система уравнений в матричном виде записывается следующим образом: . Здесь А - матрица коэффициентов системы, В - вектор свободных членов, Х - вектор неизвестных системы.

Неоднородная система имеет одно единственное решение, если определитель матрицы отличен от нуля. Для нахождения точного решения неоднородных систем линейных уравнений в линейной алгебре используются три основных метода:

- метод обратной матрицы, он вам уже известен;

- метод исключений Гаусса;

- метод Крамера.

Неоднородная система линейных уравнений в случае равенства ее определителя нулю имеет множество решений, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, либо не имеет решения, если это условие не выполняется. Решить такие системы в MatCADe можно методом Гаусса.

В выше приведенном примере получили систему из трех уравнений с пятью неизвестными, поэтому решение системы будет иметь два свободных параметра (x4, x5).

Однородная система линейных алгебраических уравнений может быть представлена в виде , т.е. правая часть уравнения представляет вектор из нулевых элементов. Как известно, для того чтобы однородная система линейных уравнений имела решение, определитель соответствующей матрицы должен равняться нулю. Это означает, что количество независимых уравнений в системе (т.е. ранг матрицы) меньше, чем количество неизвестных (т.е. порядок матрицы): rank(A) < n. Но вначале нужно выделить в системе эти самые независимые уравнения. Это делается с помощью функции rref, которая с помощью метода исключений Гаусса приводит матрицу к ступенчатому виду.

Приближенное решение систем линейных уравнений. Точные методы решения линейных систем применяют для решения линейных систем относительно небольшой размерности. Для решения систем большой размерности используют итерационные методы. Итерационные методы хороши для систем с разреженными матрицами. Простейший итерационный метод - метод простых итераций.

Метод состоит в том, что система уравнений преобразуется к виду и ее решение вычисляется как предел последовательности

В качестве условия окончания итерационного процесса можно взять условие

,

где - заданная погрешность приближенного решения.

Для сходимости метода простых итераций достаточно, чтобы выполнялось условие

normi(A) < 1.

Рассмотрим следующий пример:

Вопросы

1. Поясните работу команд панели Matrix - скалярное и векторное произведение, детерминант матрицы, сумма элементов вектора, операция векторизации.

2. Перечислите три основные группы матричных функций. Расскажите о матричных функциях, возвращающих числовые характеристики. Приведите примеры.

3. Матричные функции, реализующие генерацию матриц и операции работы с блоками матриц.

4. Перечислите матричные функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры. Объясните, как работают функции rref и rank.

5. Какие функции вычисляют собственные вектора и собственные числа квадратной матрицы?

6. Решение в системе MathCAD неоднородных систем линейных уравнений, когда определитель матрицы не равен нулю. Три способа.

7. Как осуществляется в системе MathCAD решение неоднородных систем линейных уравнений, когда определитель равен нулю и при условии, что ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы?

8. Как осуществляется в системе MathCAD решение однородных систем линейных уравнений, когда определитель матрицы равен нулю (т.е. ранг матрицы должен быть меньше порядка матрицы)?

Лекция № 14

Символьные вычисления

Для символьных преобразований в системе MathCAD имеется символьный процессор, являющийся, по сути, системой искусственного интеллекта. Он позволяет решить многие задачи математики аналитически, без применения численных методов и, соответственно, без погрешностей вычислений. Символьное решение подразумевает возможность вычислять и преобразовывать выражения с буквенными параметрами, не подставляя при этом их значения, и в итоге получать результат в виде аналитической зависимости от этих параметров (а не число или набор чисел, как при стандартных численных расчетах).

Способы символьных вычислений.

Символьные вычисления в MathCAD можно осуществить в двух различных вариантах:

1. с помощью команд меню;

Последняя команда в меню “Evaluation Style” определяет стиль вывода результата: результат можно располагать вертикально (сверху или снизу вычисляемого выражения) или горизонтально.

2. с помощью оператора символьного вывода , ключевых слов символьного процессора и обычных формул. Оператор символьного вывода можно ввести несколькими способами: с помощью клавиш Ctr+< . >, с панелей <Evaluation> или <Symbolic>

При вводе ключевых слов с панели Symbolic нужно помнить, что вместе с ними вставляется и знак символьного вывода, т.е. вводить его отдельно перед вставкой ключевого слова не следует.

Первый способ более удобен, когда требуется быстро получить какой-либо аналитический результат для однократного пользования, не сохраняя сам ход вычислений. Второй способ более нагляден, т.к. позволяет записывать выражения в традиционной математической форме и сохранять символьные вычисления в документах MathCAD. Кроме того, аналитические преобразования, проводимые через меню, касаются только одного, выделенного в данный момент выражения (или его части, или отдельной его переменной). Соответственно, на них не влияют формулы, находящиеся в документе выше этого выделенного выражения. По этой причине символьным преобразованиям через меню недоступны предварительно определенные функции пользователя. Оператор символьного вывода, напротив, учитывает все предыдущее содержимое документа и выдает результат с его учетом, в частности ему доступны и функции пользователя.

Наличие меню символьных вычислений - своего рода дань прежним версиям MathCAD.

Не всякое выражение поддается аналитическим преобразованиям. Если это так (либо в силу того, что задача вовсе не имеет аналитического решения, либо она оказывается слишком сложной для символьного процессора MathCAD), то в качестве результата выводится само выражение.

Алгебраические вычисления.

1. Simplify (Упростить)

2. Expand (разложение выражений по степеням).

В ходе операции символьного разложения раскрываются все суммы и произведения, а сложные тригонометрические зависимости раскладываются с помощью тригонометрических тождеств.

3. Factor (разложение выражений на множители)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13