равно среднеарифметическому значению результатов всех измерений. При

ограниченном числе измерений истинное значение будет отличаться от

среднеарифметического и необходимо оценить величину этого расхождения: Х =

а ( (х.

Следует еще раз подчеркнуть, что среднеарифметическое значение,

принимаемое за истинное значение измеряемой величины, является наиболее

вероятным значением. Среди значений аi могут оказаться значения, которые в

действительности ближе к истинному значению.

Отклонение (х вероятнейшего значения а от его истинного значения Х

называют истинной абсолютной ошибкой.

1.6. Оценка точности измерений

Для ряда равноточных измерений а1, а2 ...аn определим его

среднеарифметическое значение а и составим разности (а ( а1), (а ( а2),

..., (а ( аn).

Каждую из этих разностей называют вероятнейшей ошибкой отдельного измерения

(Vi). Вероятнейшие ошибки, как и истинные ошибки (хi = (Х ( аi), бывают

положительные и отрицательные, нулевые. Рассмотрим [pic] т.е.

алгебраическая сумма вероятнейших ошибок равна нулю при любом числе

измерений. Истинные случайные ошибки таким свойством не обладают.

Вероятнейшие ошибки Vi лежат в основе математической обработки

результатов измерений: именно по ним вычисляют предельную абсолютную ошибку

(аi среднеарифметического а и тем самым оценивают точность результата

измерений.

Средняя истинная случайная ошибка (иначе ( среднее отклонение

отдельного измерения) определяется выражением ((х1+(х2+...+(хn)(n.

Величина (((х1)2+((х2)2+...+((хn)2((n представляет средний квадрат

случайной ошибки или дисперсию S2 выборки (при ограниченном n) или

генеральной совокупности (2 (при бесконечном n). Средняя квадратичная

ошибка отдельного измерения S = [pic] является лучшим критерием точности,

чем средняя случайная ошибка, т.к. не происходит компенсации положительных

и отрицательных ошибок (хi и сильнее учитывается действие крупных ошибок.

Поскольку истинное значение Х измеряемой величины неизвестно, то

неизвестны и истинные случайные ошибки [pic]хi. Для определения средней

квадратичной ошибки S используется положение теории случайных ошибок, что

при большом числе измерений n справедливо равенство

[pic].

Различный знаменатель объясняется тем, что величины [pic]хi являются

независимыми, а из n величин Vi независимыми являются n(1, т.к. в величину

Vi входит а, само определяемое из этих же n измерений.

Важно, что не зная самих истинных случайных ошибок удается вычислить

среднюю квадратичную ошибку определенного измерения:

S = ([pic].

Оценим теперь погрешность результата всей серии эксперимента, т.е.

определим величину (х = Х ( а.

Для этого проведем преобразование выражения

Sn2 = [pic]

= [pic]

= [pic] [pic].

[pic] Если повторить серии по n измерений в каждой N раз, можно

получить средние значения а1, а2, ... , аN и погрешности результатов

измерений

((х)1 = (Х ( а1); ((х)2 = (Х ( а2); ... ; ((х)N = (Х ( аN)

и среднюю среднеквадратичную погрешность серии

[pic] Sa2 = [pic].[pic]

При большом числе N S2a ( (2a

[pic].

Усредняя выражение S2n по числу серий N, получаем

[pic][pic] Sa2 = ((x)2 = Sn2 ( [pic].

Учитывая что при большом n S2n ( (2 и S2 ( (2 получаем искомую

связь между дисперсиями всего опыта (2a и отдельного эксперимента (2

[pic],

т.е. дисперсия (2a результата серии из n измерений в n раз меньше дисперсии

отдельного измерения. При ограниченном числе n измерений приближенным

выражением (2a будет S2a

[pic].

Выражения (2a и S2a отражают фундаментальный закон возрастания

точности при росте числа наблюдений. Из него следует, что желая повысить

точность измерений в 2 раза мы должны сделать вместо одного ( четыре

измерения; чтобы повысить точность в 3 раза, нужно увеличить число

измерений в 9 раз и т.д.

7. Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности

Как установлено ранее, истинное значение измеряемой величины Х

отличается от среднеарифметического a на некоторую величину (x. На рис. 2

представлено расположение истинного значения Х и а, полученного из

некоторых измерений а1, а2, а3.

Ясно, что случайные величины а1, а2, а3 обусловят случайный характер

абсолютной погрешности (x результата серии измерений, которая будет

распределена по закону Гаусса:

[pic].

Рис. 2. Взаимное расположение Х и а, полученных

из трех измерений а1, а2, а3

Тогда вместо выражения Х = а ( (х можно записать а ( (х ( Х ( а + (.

Интервал (а ( (х; а + (х), в который по определению попадает истинное

значение X называют доверительным интервалом. Надежностью (уровнем

значимости( результата серии измерений называется вероятность ( того, что

истинное значение X измеряемой величины попадет в доверительный интервал.

Вероятность ( выражается в долях единицы или процентах. Графически

надежность отражается площадью под кривой нормального распределения в

пределах доверительного интервала, отнесенной к общей площади. Выбор

надежности определяется характером производимых измерений. Например, к

деталям самолета предъявляются более жесткие требования, чем к лодочному

мотору, а к последнему значительно больше, чем к ручной тачке. При обычных

измерениях ограничиваются доверительной вероятностью 0,90 или 0,95. Для

любой величины доверительного интервала (выраженного в долях ( ( по формуле

Гаусса может быть просчитана соответствующая доверительная вероятность. Эти

вычисления проделаны и сведены в таблицу, имеющуюся практически во всей

литературе по теории вероятности. На рис. 3 представлены значения

надежности ( при величине доверительного интервала ((, (2(, (3(. Эти

значения доверительной вероятности рекомендуется запомнить.

По рис. 3 видно, что величина абсолютной погрешности (x может быть

представлена в виде К((а, где К некоторый численный коэффициент, зависящий

от надежности (. Однако это справедливо лишь для большого (бесконечного(

числа n. При малых n этим коэффициентом пользоваться нельзя, т.к. величина

(а неизвестна. Для того, чтобы получить оценки границ доверительного

интервала при малом n вводится новый коэффициент ((. Этот коэффициент

предложен английским математиком и химиком В.С. Госсетом, публиковавшим

свои работы под псевдонимом ( Стьюдент (.

Рис. 3. Значения надежности ( при различных значениях (x((

И коэффициент (( назвали коэффициентом Стьюдента. Коэффициент Стьюдента

отражает распределение случайной величины t = [pic][pic]при различном n.

При n(( ( практически при n ( 20 ( распределение Стьюдента переходит в

нормальное распределение. Значения коэффициента Стьюдента также приводятся

практически во всей литературе по теории вероятности.

Зная величину (( можно определить величину абсолютной погрешности (х

= t(Sa . Следует отметить, что величина абсолютной погрешности еще не

определяет точность измерений. Точность измерений характеризует

относительная погрешность, равная отношению абсолютной погрешности (x

результата измерений к результату измерений а: ( = ( (х ( а.

.

8. Обнаружение промахов

Если в ряду измерений встречаются результаты, резко отличающиеся от

большей части ряда, то возникает вопрос принадлежности ( выскакивающих (

значений этому ряду измерений. Большие ошибки имеют малую вероятность

возникновения. Поэтому следует объективно оценить, является ли данное

измерение промахом ( тогда его исключают из ряда ( или же это результат

случайного, но совершенно закономерного отклонения. Можно считать каждое

измерение промахом, если вероятность случайного появления такого значения

является достаточно малой.

Если известно точное значение (, то вероятность появления значения,

отличающегося от среднеарифметического а более чем на 3( ( 0,003 и все

измерения, отличающиеся от а на 3( ( и больше ( могут быть отброшены, как

маловероятные.

Следует иметь в виду, что для совокупности измерений вероятность

появления измерения ( 3( от а всегда больше 0,003. Действительно,

вероятность того, что результат каждого измерения не будет отличаться от

истинного более чем 3( составляет 1( 0,003 ( 0,997. Вероятность того, что

все n измерений не будут отличаться от среднего более чем на 3( по правилу

умножения вероятностей составит ( 1 ( 0,003 (n. Для не слишком большого n

(1 ( 0,003)n ( 1 ( 0,003(n.

Это значит, что вероятность того, что из 10 измерений хотя бы одно

будет случайно отличаться от среднего более чем на 3( будет уже не 0,003, а

0,03 или 3%. А при 100 измерениях вероятность такого события составит уже

около 30%.

Обычно число измерений не очень велико. При этом точное значение ( не

известно, следовательно, отбрасывать измерения, отличающиеся от среднего

более чем на 3(, нельзя.

Для оценки вероятности ( случайного появления (выскакивающих(

значений в ряду n измерений составлены соответствующие таблицы.

Для применения таблицы вычисляется среднее арифметическое а и средняя

квадратичная погрешность (n из всех измерений, включая и подозреваемое

значение а(. Затем вычисляется уклонение подозреваемого значения а( от

среднего арифметического в долях среднеквадратичной ошибки

Vмакс = [pic].[pic]

По таблице определяется какой вероятности ( соответствует полученное

значение Vмакс.

Если вероятность появления данного измерения в ряду лежит в диапазоне

0,1 ( ( ( 0,01, то представляется одинаково правильным ( оставить это

измерение или отбросить. В случае же, когда ( выходит за указанные пределы,

вопрос об отбрасывании решается практически однозначно. Решая вопрос об

отбрасывании полезно посмотреть, как сильно оно меняет окончательный

результат по а и (n.

1.9. Ошибки косвенных измерений

Часто измеряется не непосредственно интересующая нас величина, а

другая, зависящая от нее некоторым образом. Например, при резании металлов

часто непосредственно измеряются деформации, ЭДС, по которым судят о

возникающих силах и температурах. При этом также необходимо оценить ошибку

измерения.

При косвенных измерениях значение y измеряемой величины находят по

некоторой формуле

y = ( (х1, х2, ... , хm),

где x1, x2, ... xm ( средние арифметические измеряемые (непосредственно(

величины. Рассмотрим функцию общего вида

y = ( (х1, х2, ... , хm)

где x1, x2, ... , xm ( независимые переменные, для определения которых

производятся n прямых независимых измерений по каждой xi.

Обозначим значения переменных через среднее значение и отклонения

y ( (y = ( (x1 ( (x1, x2 ( (x2, ... , xm ( (xm).

Эту функцию представим рядом Тейлора, ограничив его первыми членами ряда (

принимая (xi (( xi )

y ( (y = ((х1, х2, ... , хn) ( [pic],[pic]

где

[pic] ( производная функции по xi, взятая в точке xi.

Учитывая, что y = ( (x1, x2, ... , xm) получаем

(y = [pic].

Чтобы учесть погрешности (xi всех n опытов целесообразно использовать

средние квадратические оценки ( ( xi )2, так как (xi ( 0.

Возведем в квадрат левую и правую части уравнения и разделим на n

[pic].

Здесь суммы удвоенных произведений типа

[pic][pic]

согласно четвертому свойству случайных ошибок ( (xi ( 0 ).

Тогда в левой и правой частях имеем среднеквадратические погрешности

функции и аргументов

S[pic].

Пример. При тарировке динамометра было получено уравнение зависимости

силы от отклонения l луча осциллографа вида P ( 25 l. Точность измерения

отклонения ( l ( 1 мм. Тогда

(P = [pic].

В качестве меры точности лучше выступает не абсолютная, а

относительная погрешность.

([pic].

Рассмотрим ее определение на примере. Пусть

y = cx1((x2((x3(.

Тогда

[pic]; [pic];

[pic].

[pic]

[pic]

[pic]

= [pic].

Аналогично можно определить относительную погрешность и при других

зависимостях. Зная относительную погрешность, можно определить и

абсолютное ее значение:

(y = y((y.

10. Правила округления чисел

Величина погрешности результата измерений физической величины дает

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5