которой предполагается непрерывным и дифференцируемым. Функцию

( (х) ( F( (х)

называют дифференциальным законом распределения или плотностью вероятности

случайной величины Х. Из определения производной можно записать

( (x) = F( (x) = [pic],

т.е. плотность вероятности случайной величины Х в точке х равна пределу

отношения вероятности попадания величины Х в интервал (х; х ( (х) к (х,

когда (х стремится к нулю.

Используя понятия интегральной функции распределения и определенного

интеграла можно записать

( (x) = F( (x) или F (x) = p (x1 < X < x2) = [pic].

Это соотношение имеет простое геометрическое толкование (рис. 5).

Если [pic] определяет заштрихованную область в соответствующих

пределах, то

p (х ( Х ( х ( (х) ( ( (х) (х.

Рис. 5. Геометрический смысл дифференциальной функции распределения

Из свойств интегрального распределения следует

[pic].

Зная дифференциальный закон распределения можно определить

интегральный закон распределения

F (x) = [pic].

2. Числовые характеристики случайных величин, заданных своими

распределениями

Основными характеристиками случайной величины, заданной своими

распределениями, является математическое ожидание ( или среднее значение )

и дисперсия.

Математическое ожидание случайной величины является центром ее

распределения. Дисперсия характеризует отклонение случайной величины от ее

среднего значения.

Если Х дискретная случайная величина, значения хi которой принимают с

вероятностью pi, так, что [pic], то математическое ожидание М (Х) случайной

величины Х определяется равенством

M (X) = [pic],

т.е. суммой произведений всех ее возможных значений на соответствующие

вероятности.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины является

аналог его дискретного выражения

M (X) = [pic].

Действительно, все значения в интервале (х; х ( (х) можно считать

примерно равными х, а вероятность таких значений равна ( (х) dx (см.

ранее). Поэтому значения хi дискретного распределения заменяются х, а

вероятности pi ( на ( (х) dx, а сумма заменяется интегралом.

Дисперсией или рассеянием случайной величины Х называется

математическое ожидание квадрата разности случайной величины и ее

математического ожидания.

D (Х) ( М (Х ( М (Х)(2 ( М (Х ( х)2 ( (2 (х)

Если случайная величина Х дискретна и принимает значения хi с

вероятностями pi, то случайная величина (Х ( х)2 принимает значения (хi (

х)2 с вероятностями Рi. Поэтому для дискретной случайной величины имеем

D (X) = [pic].

Аналогично для непрерывной случайной величины получаем

D (X) = [pic].

Чем меньше величина дисперсии, тем лучше значения случайной величины

характеризуются ее математическим ожиданием.

3. Основные дискретные и непрерывные законы распределения

Как отмечалось ранее, очень часто случайная величина распределена по

нормальному закону. Но существуют и другие распределения, имеющие

практическое значение. Рассмотрим некоторые из них по условиям

возникновения и основным параметрам их характеризующим.

1. Равномерное распределение вероятностей.

Пусть плотность вероятности А равна нулю всюду, кроме интервала (a;

b), на котором она постоянна (рис. 6). Тогда можно записать

p (a < X < b) = [pic] [pic] A = [pic].

Рис. 6. Дифференциальный и интегральный законы

равномерного распределения

Тогда дифференциальный закон равномерного распределения определяется

( (x) = [pic][pic]

Интегральный закон распределения

F (x) = [pic].

При х ( b имеем

F (x) = [pic]

Таким образом интегральный закон равномерного распределения задается

(рис. 6)

F (x) = [pic]

Основные характеристики распределения

М (X) = [pic];

D(X) = [pic]

= [pic]

= [pic]

[pic].[pic]

2. Биноминальное распределение

Пусть при некотором испытании событие А может наступить или не

произойти (А). Обозначим вероятность А через р, а А через q ( 1 (р ( других

итогов испытания нет ). Тогда исходами двух последовательных независимых

испытаний и их вероятностью будут:

АА ( р2; АА ( рq; АА ( qр; АА ( q2.

Отсюда видно, что двукратное появление события А равно р2,

вероятность однократного появления ( 2 рq, а вероятность того, что А не

наступит ни разу ( q2. Эти результаты единственно возможные и поэтому

[pic].

Это рассуждение можно перенести на любое число испытаний.

Например, при трех испытаниях получим

[pic].

Подсчитаем вероятность того, что при n испытаниях событие А появится m

раз. Это может произойти, например, в последовательности

[pic]

Ясно, что вероятность равна рmqn(m. Но m событий А может быть и в другом

сочетании. Число всех возможных сочетаний из n элементов по m (количество

событий А) равно числу сочетаний [pic]. Используя теорему сложения

вероятностей получаем общую вероятность Рm,n наступления m событий А из n

испытаний

Pm,n = [pic]

= [pic].

Из этой формулы видно, что вероятности Рm,n для различного исхода

испытаний (появление или не появление определенного результата А)

определяется

pn + npn-1q + [pic].

Коэффициенты перед вероятностями р, q являются биноминальными

коэффициентами, а общая вероятность представляет слагаемые в разложении

бинома ( р ( q )n. Поэтому закон распределения случайной величины Х, в

котором вероятность наступления событий А определяется коэффициентами

бинома, называется биноминальным распределением дискретной случайной

величины. Этот закон может быть задан в виде таблицы 1.

Таблица 1

Биноминальный закон распределения

| | | | | | | | |

|хi |0 |1 |2 |... |m |... |n |

| | | |[pic] | | | | |

|pi |qn |npqn-1 | |... |[pic] |... |pn |

Биномиальные коэффициенты удобно получать с помощью треугольника

Паскаля.

1 n ( 0

1 1 n ( 1

1 2 1 n = 2

1 3 3 1 n = 3

1 4 6 4 1 n = 4

1 5 10 10 5 1 n = 5

Все строки треугольника ( начинающегося с единицы ) начинаются и

заканчиваются единицей. Промежуточные числа получаются сложением соседних

чисел вышестоящей строки. Числа, стоящие в одной строке, являются

биноминальными коэффициентами соответствующей степени.

Из описания биномиального распределения становится ясно, что область

его действия там, где возможно многократное проведение испытаний с

известной вероятностью.

На рис. 7 представлен биномиальный закон распределения.

Рис. 7. Биномиальный закон распределения

Определим основные характеристики этого распределения.

Математическое ожидание

М (Х) = [pic]

+ [pic]

+ [pic]

= np (q + p)n-1 = np.

Дисперсия распределения может быть определена из общего выражения

[pic],

но это приводит к громоздким вычислениям. В то же время случайная величина

Х принимает в каждом опыте только два значения: 1, если событие А произошло

и 0, если оно не произошло с вероятностями, соответственно, р или q. Тогда

математическое ожидание одного опыта определится

М (Х1) = 0(q ( 1(р ( р ( х

и соответственно дисперсия одного опыта

D (Х1) = (0 ( р)2(q ( (1 ( р)2(р ( р2q ( q2р ( рq (р ( q) ( рq.

Тогда дисперсия всех n опытов составит

D (X) ( n(p(q.

3. Закон Пуассона

В случае малых р ( или, наоборот, близких к 1 ) биноминальный закон

распределения можно преобразовать следующим образом

[pic]

[pic],

где [pic].

[pic].

Определим предел Рm,n при n ( ( и постоянном m. Тогда пределы

[pic] равны единице, а [pic].

Окончательно имеем

[pic].

Это распределение называется законом Пуассона, где ( ( интенсивность

распределения. Используется в задачах с редкими событиями. На рис. 8

представлена схема вероятностей, распределенных по закону Пуассона.

Рис. 8. Закон распределения Пуассона

Определим его основные характеристики и смысл величины (.

Запишем закон распределения в виде таблицы.

| | | | | | | |

|хi |0 |1 |2 |... |m |... |

| | | [pic] | [pic] | | [pic] | |

|pi |e-( | | |... | |... |

M (X) = [pic]

+ [pic].

Выражение в скобках есть разложение функции е( в ряд Маклорена.

Поэтому

М (Х) ( (е((е( ( (.

Не рассматривая вывод отметим, что

D (Х) ( (,

т.е. дисперсия равна математическому ожиданию.

Рассмотренные виды распределений случайной величины, конечно, не

исчерпывают всех существующих распределений. Можно назвать еще несколько:

распределение Бернулли, экспоненциальное распределение, гамма (

распределение, распределение Вейбула, гипергеометрические распределения и

др. При определенных условиях и параметрах один вид распределения может

переходить в другой. Поэтому при решении практических задач по законам

распределения случайных величин следует обращаться к специальной

литературе.

4. Понятие статистической гипотезы и статистического критерия

Статистической гипотезой называют любое утверждение о виде или

свойствах распределения наблюдаемых в эксперименте случайных величин. Такие

утверждения можно делать на основе теоретических соображений или

статистических исследований других наблюдений. Например, при многократном

измерении некоторой физической величины, точное значение Х которой не

известно, но в процессе измерений оно меняется. На результат измерений

влияют многие случайные факторы, поэтому результат i ( го измерения можно

записать в виде аi = Х + (i, где (i ( случайная погрешность измерения. Если

(i складывается из большого числа ошибок, каждая из которых не велика, то

на основании центральной предельной теоремы можно предположить, что

случайные величины аi имеют нормальное распределение. Такое предположение

является статистической гипотезой о виде распределения наблюдаемой

случайной величины.

Если для исследуемого явления сформулирована та или иная гипотеза (

обычно ее называют основной или нулевой гипотезой и обозначают символом Но

), то задача состоит в том, чтобы сформулировать правило, которое позволяло

бы по результатам наблюдений принять или отклонить эту гипотезу. Правило,

согласно которому проверяемая гипотеза Но принимается или отвергается,

называется статистическим критерием проверки гипотезы Но .

Наиболее распространены такие статистические гипотезы, как:

а) вида распределения;

б) однородности нескольких серий независимых результатов;

в) случайности результатов эксперимента и т.п.

Статистический критерий проверки гипотезы Но служит для определения

возможного отклонения от основной гипотезы. Характер отклонений может быть

различным. Если критерий (улавливает( любые отклонения от Но, то такой

критерий называют универсальным или критерием согласия. Существуют

критерии, которые выявляют отклонения от заданного вида, это узко

направленные критерии.

Выбор правила проверки гипотезы Но эквивалентен заданию критической

области х1, при попадании в которую переменной х гипотеза Но отвергается.

Критерий, определяемый критической областью х1 называют критерием х1.

В процессе проверки гипотезы Но можно прийти к правильному решению

или совершить ошибку первого рода ( отклонить Но когда она верна, или

ошибку второго рода ( принять Но, когда она ложна. Иными словами, ошибка

первого рода имеет место, если точка х попадает в критическую область х1, в

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5