представление о том, какие цифры в числовом значении измеряемой величины

сомнительны. Поэтому результаты измерений следует округлять перед тем, как

производить с ними дальнейшие вычисления.

Округлять числовое значение результата измерений следует в

соответствии с числовым разрядом значащей цифры погрешности. При этом

выполняют общие правила округления.

Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях

отбрасываются ( как и лишние нули ). Например, если погрешность измерения (

0,001 мм, то результат 1,07005 округляется до 1,070.

Если первая из изменяемых нулями и отбрасываемых цифр меньше 5,

остающиеся цифры не изменяются. Например, число 148935, точность измерения

( 50, округление( 148900.

Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр равна 5, а за

ней не следует никаких цифр или идут нули, то округление производится до

ближайшего четного числа. Например, число 123,50 округляется до 124.

Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр больше 5 или

равна 5, но за ней следует значащая цифра, то последняя остающаяся цифра

увеличивается на единицу. Например, число 6783,6 округляется до 6784.

11. Порядок обработки результатов измерений

При практической обработке результатов измерений можно

последовательно выполнить следующие операции(

1. Записать результаты измерений;

2. Вычислить среднее значение из n измерений

а = [pic]

3. Определить погрешности отдельных измерений Vi ( а ( аi;

4. Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений Vi 2;

Если несколько измерений резко отличаются по своим значениям от остальных

измерений, то следует проверить не являются ли они промахом. При исключении

одного или нескольких измерений п.п.1...4 повторить;

Определяется средняя квадратичная погрешность результата серии измерений

[pic]

7. Задается значение надежности (;

Определяется коэффициент Стьюдента (( (n) для выбранной надежности ( и

числа проведенных измерений n;

9. Находятся границы доверительного интервала

(х = (( (n)(Sa

Если величина погрешности результата измерений (п.9) окажется сравнимой с

величиной ( погрешности прибора, то в качестве границы доверительного

интервала следует взять величину

[pic].

11. Записать окончательный результат

X ( a ( (x ;

12. Оценить относительную погрешность результата серии измерений

( = [pic].[pic]

12. Обработка результатов измерений диаметра цилиндра

Микрометром было сделано десять замеров диаметра цилиндра. Цена

деления микрометра 0,01 мм. Определить диаметр цилиндра с надежностью ( (

0,95 и ( ( 0,99. Оценить влияние числа замеров на точность получаемого

результата.

аi( 14,85; 14,80; 14,84; 14,81; 14,79;

14,81; 14,80; 14,85; 14,84; 14,80.

Для первых пяти измерений определим среднеарифметическое значение и границы

доверительного интервала. Для удобства расчетов выберем произвольное число

ао удобное для расчетов (ао ( 14,80 мм) и определим разности (аi ( ао) и

квадраты этих разностей. Результаты сведены в таблицу.

| i | аi, мм | аi ( ао, мм | (аi ( ао)2, мм2|

| 1 | 14, 85 | 0, 05 | 0, 0025 |

| 2 | 14, 80 | 0, 00 | 0, 0000 |

| 3 | 14, 84 | 0, 04 | 0, 0016 |

| 4 | 14, 81 | 0, 01 | 0, 0001 |

| 5 | 14, 79 | (0, 01 | 0, 0001 |

| [pic] | | |

| |0, 09 |0, 0043 |

Найдем среднее значение а и среднеквадратичное отклонение (а(

[pic]

а ( ао = 0, 018 мм;

[pic]

[pic][pic]( мм2 );

[pic] ( мм ).

Для надежности ( ( 0,95 и n ( 5 (( ( 2,78. Абсолютная погрешность

измерения (х(

(х ( ((( Sа ( 2,78 ( 0,0116 ( 0,0322 мм.

Результат измерения можно представить в виде

(14,818 ( 0,032( мм ( а ( (14,818 ( 0,032( мм

или сохраняя в величине погрешности одну значащую цифру

(14,82 ( 0,03( мм ( а ( (14,82 ( 0,03( мм,

т.е. 14,79 мм ( а ( 14,85 мм или а ( (14,82 ( 0,03( мм.

Относительная погрешность

(а = [pic].

Теперь найдем абсолютную и относительную погрешность этих измерений

при ( ( 0,99.

В этом случае (( ( 4,60. Тогда

(х = (((Sa = 4,60(1,16(10-2 = 5,34(10-2 ( мм ).

Следовательно а ( (14,82 ( 0,05( мм

(а = [pic].

Видно, что с увеличением надежности границы доверительного интервала

возросли, а точность результата уменьшилась.

Проведем расчет погрешностей для этих же пяти измерений, незаконно полагая,

что (2 ( (2n (что при n = 5 ошибочно). Для этого используем распределение

Гаусса (а не Стюарта). При ( ( 0,95 k( = [pic].

Это дает возможность определить

(х = k((Sa = 1,96(1,16(10-2 ( 2(10-2 ( мм ),

т.е. погрешность получилась меньше примерно на 30%. Если по этой величине

погрешности определить величину надежности при (( ( k(, то из таблицы

коэффициентов Стьюдента получим ( ( 0,90 вместо заданной ( ( 0,95.

Следовательно при малом числе измерений n применение закона нормального

распределения с (2 ( S2n вместо распределения Стьюдента приводит к

уменьшению надежности результата измерений.

Найдем средние значения и погрешности следующих пяти измерений

| i | аi, мм | аi ( ао, мм | (аi ( ао)2, мм2|

| 1 | 14, 81 | 0, 01 | 0, 0001 |

| 2 | 14, 80 | 0, 00 | 0 |

| 3 | 14, 85 | 0, 05 | 0, 0025 |

| 4 | 14, 84 | 0, 04 | 0, 0016 |

| 5 | 14, 80 | 0, 00 | 0 |

| [pic] | | |

| |0, 10 |0, 0042 |

ао = 14, 80 мм;

а = ао + [pic] ( мм );

а ( ао = 0, 02 мм;

[pic]

[pic] ( мм2 );

Sa = 1, 05(10-2 мм.

При ( ( 0,95(

(х = (((Sa = ( 2,78(1,05(10-2 = 2,92(10-2 ( мм );

(а = [pic];

Х = 14, 82 ( 0, 03 мм.

При ( ( 0,99(

(х = ( 4,60(1,05(10-2 ( 5(10-2 ( мм );

(а = ( [pic]

Х = 14, 82 ( 0,05 мм.

Результаты практически не отличаются, от результатов полученных из

первой серии.

Найдем теперь погрешность результата всей серии из десяти измерений. В этом

случае [pic] (мм); [pic] (мм2).

Эти величины получаются суммированием последних строк из таблиц частных

серий.

ао = 14, 80 мм;

а = ао + [pic] ( мм );

а ( ао = 0, 019 мм.

Sa2 = [pic]

=[pic] ( мм2 );

Sa = 7, 35(10-3 мм.

При ( ( 0,95 имеем

(х = t((Sa = ( 2,26(7,35(10-3 = ( 1,7(10-2 ( мм );

(а = [pic];

а = 14, 819 ( 0, 017 мм.

При ( ( 0,99 получаем

(х = t((Sa = ( 3,25(7,35(10-2 = ( 2,4(10-2 ( мм );

(а = [pic];

а = 14, 819 ( 0, 024 мм.

Видно, что абсолютная и относительная погрешность результата десяти

измерений стали почти в два раза меньше погрешностей пяти измерений.

Применение нормального распределения с (2 ( S2n дает в случае ( (

0,95 k( ( 1,96 и (х ( 1,4 ( 10(2 мм, а величина надежности понижается до

0,91; в случае ( ( 0,99 получаем k( ( 2,58 и (х ( 1,9 ( 10(2 мм, а величина

надежности понижается до ( ( 0,97.

Как видно, с ростом числа измерений различие между результатами,

вычислениями по распределению Стьюдента и по нормальному распределению

уменьшается.

Контрольные вопросы

1. Цель математической обработки результатов эксперимента;

2. Виды измерений;

3. Типы ошибок измерения;

4. Свойства случайных ошибок;

5. Почему среднеарифметическое значение случайной величины при нормальном

законе ее распределения является вероятнейшим значением?

6. Что такое истинная абсолютная и вероятнейшая ошибки отдельного

измерения?

7. Что такое доверительный интервал случайной величины?

8. Что такое уровень значимости (надежности) серии измерений?

9. Геометрический смысл уровня значимости;

10. Почему при малом числе опытов нельзя погрешность измерений представить

в виде (х ( ( K(а?

11. Что является критерием (случайности( большого отклонения измеряемой

величины?

12. Чем определяется величина случайной ошибки косвенных измерений?

13. Чем определяется точность числовой записи случайной величины?

2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

При характеристике случайных величин недостаточно указать их

возможные значения. Необходимо еще знать насколько часто возникают

различные значения этой величины. Это характеризуется вероятностью p

отдельных ее значений.

Соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной

величины и вероятностями этих значений, называют законом распределения

случайной величины. Различают интегральный и дифференциальный законы

распределения.

1. Виды случайных величин и законы их распределения

Под случайной величиной понимается величина, принимающая в результате

опыта какое либо числовое или качественное значение.

Случайная величина, принимающая конечное число или последовательность

различных значений, называется дискретной случайной величиной. Случайная

величина, принимающая все значения из некоторого интервала, называется

непрерывной случайной величиной.

Под интегральным законом распределения (или функцией распределения) F

(х) случайной величины Х понимают вероятность p того, что случайная

величина Х не превысит некоторого ее значения х

F (х) ( p (Х ( х).

Основным свойством интегрального распределения является монотонное не

убывание в ограниченном диапазоне ( 0( 1 (.

Действительно, если х1 и х2 некоторые значения случайной величины Х.

Причем х2 ( х1, то очевидно, что событие p (Х ( х2) ( p (Х ( х1), т.к.

между значениями х1 и х2 могут быть и промежуточные. Из определения

интегрального закона следует, что F (х2) ( F (х1), что говорит о монотонном

не убывании функции. Очевидно также, что

F (( () ( p (Х ( ( () ( 0;

( F (() ( F (( () ( 1,

F (( () ( p (Х ( () ( 1;

т.е. F (х) изменяется в диапазоне от 0 до 1.

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан

таблицей или ступенчатой функцией (рис. 4)

Рис. 4. Интегральный закон распределения

дискретной случайной величины

Для дискретной случайной величины

F (x) = P (X ( x) = P ((( ( X ( x) = [pic],

[pic]где суммирование распространяется на хi ( х. В промежутке между двумя

последовательными значениями Х функция F (х) постоянна. При переходе

аргумента х через значение хi F (х) скачком возрастает на величину p (Х (

хi).

Рассмотрим p (х1 ( Х ( х2). Если х2 ( х1, то очевидно, что

p (Х ( х2) ( p (Х ( х1) ( p (х1 ( Х ( х2).

Тогда

p (х1 ( Х ( х2) ( p (Х ( х2) ( p (Х ( х1) ( F (х2) ( F (х1),

т.е. вероятность попадания случайной величины в интервал (х1( х2) равен

разности значений интегральной функции граничных точек.

Последнее условие можно использовать для нахождения вероятности p (Х

( х1) для непрерывной случайной величины. Для этого рассмотрим предел

p (X = x1) = [pic],

т.е. если закон распределения случайной величины есть функция непрерывная,

то вероятность того, что случайная величина примет заранее заданное

значение, равна нулю.

Здесь видно различие между дискретными и непрерывными случайными

величинами. Для дискретных случайных величин, для каждого значения

случайной величины существует своя вероятность. И для него справедливо

утверждение: событие, вероятность которого равна нулю, невозможно. Для

непрерывной случайной величины это утверждение неверно. Как показано,

вероятность того, что Х ( х1 ( где х1( заранее выбранное число) равна нулю,

это событие не является невозможным.

Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, интегральный закон

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5