R по формуле:

rн = ( l - R ) / | ( l - R ) |,

( 17 )

где l - вектор, определяющий положение декартовой системы координат по

отношению к точке наблюдения H;

R - радиус-вектор элемента dS поверхности объекта, определяющий его

положение в декартовой системе координат x, y, z с единичными ортами i, j,

k.

Радиус-вектор задаётся R формулой :

R = x Ч i + y Ч j + z Ч k .

( 18 )

Если направление наблюдения центра декартовой системы координат

выбрано вдоль оси х, то есть направление вектора l и оси х совпадают, то

вектор l выразится в виде:

l = l Ч i ,

( 19 )

где l - расстояние от центра декартовой системы координат О до точки

наблюдения Н;

i - единичный орт оси ОХ .

В этом случае выражение (17) примет вид:

rн = [( l-x)i + y Ч j +z Ч k ] / [( l-x)2+ y2 + z2]1/2 .

( 20 )

Вектор перпендикулярной составляющей коэффициента излучения eыл

перпендикулярен плоскости, определяемой векторами n и rн ( плоскости

наблюдения ), и находится как векторное произведение этих векторов по

формуле:

eыл = [ n* rн ] / | [ n* rн ] | .

( 21 )

Таким образом, определив степень поляризации P’ от всех элементов

видимой части объекта, можно построить оптико-математическую модель

поляризационных тепловизионных изображений объектов любой формы.

2.1. Теория моделирования поляризационных тепловизионных

изображений на основе степени и азимута поляризации

теплового изображения.

Для описания этого метода воспользуемся рис. 3.

Допустим, что азимут поляризации излучения элемента dS поверхности

объекта составляет угол t с поверхностью референции.

Для определения степени поляризации P’ необходимо найти величины

видеосигналов U0 и U90 поляризационных тепловизионных изображений элементов

dS поверхности объекта при азимутах поляризатора t=00 и t=900. Выразим U0 и

U90 через параллельную и перпендикулярную составляющие коэффициента

излучения элемента dS и азимут t поляризации этого элемента, который

представляет собой угол между плоскостью поляризации ( ось ОА ) и

плоскостью референции ( ось OY ). В общем случае, когда азимут t

поляризации излучения элемента dS не совпадает с азимутом поляризатора, обе

компоненты коэффициента излучения дают вклады в величины видеосигналов U0 и

U90 следующим образом:

U0(N, L) = Umax Ч cos2 t + Umin Ч sin2 t = A(N, L) Ч ( eчч Ч cos2 t + eыл Ч

sin2 t) ; ( 22 )

U90(N, L) = Umax Ч sin2 t + Umin Ч cos2 t = A(N, L) Ч ( eчч Ч sin2 t + eыл

Ч cos2t) ; ( 23 )

где Umax= A(N, L) Ч eчч , Umin= A(N, L) Ч eыл.

Согласно формуле (6) найдем степень поляризации P’(N, L) излучения

элемента dS объекта в виде:

P’(N, L) = [ eчч - eыл ] / [ eчч + eыл] Ч cos(2 Ч t) = P Ч cos(2

Ч t) , ( 24 )

где P = [ eчч - eыл ] / [ eчч + eыл ] - распределение степени

поляризации излучения элементов dS объекта.

Так как cosy = ( n* rн ), то с учётом формулы (12) имеем:

P’(N, L) = [ 1- ( n* rн ) ] Ч а Ч cos(2 Ч t);

( 25 )

В связи с тем, что вдоль оси ОА расположен вектор nyz , являющийся

проекцией вектора n на плоскость xyz, то справедливо выражение:

cos t = ( nyz*j ) ,

( 26 )

тогда, приняв во внимание тождество

cos(2 Ч t) = 2 Ч cos2t - 1,

выражение (25) для расчёта степени поляризации всех элементов поверхности

объекта примет вид:

P’(N, L) = а Ч[ 1- ( n* rн ) ] Ч [ 2 Ч ( nyz*j )2 -1 ].

( 27 )

Таким образом, формулы (15) и (27) с учётом формул (16) - (21)

являются оптико-математической моделью поляризационных тепловизионных

изображений излучающих объектов [5,6]. В тех случаях, когда необходимо

моделировать поляризационные тепловизионные изображения по распределению

степени поляризации, можно воспользоваться выражением:

P(N, L) = а Ч[ 1- ( n* rн ) ] .

( 28 )

2.3. Формулы для моделирования изображения

диска, сферы и эллипсоида.

Для подтверждения теории моделирования поляризационных тепловизионных

изображений рассмотрим объекты в виде сферы, эллипсоида и диска. Как уже

отмечалось раньше, традиционный тепловизионный метод при наблюдении этих

объектов сверху даёт одинаковое изображение как по контуру, так и внутри

контура, несмотря на явное различие формы этих объектов внутри контура

изображения видимой части их поверхности. Для подробного вывода остановимся

на сфере, как наиболее наглядном и симметричном объекта ( рис. 4).

Уравнение сферы в декартовых координатах имеет вид:

f(x,y,z) =x2+ y2+ z2- R2= 0.

( 29 )

Тогда n = (x Ч i + y Ч j + z Ч k ) /R - вектор нормали сферы,

где R = (x2+ y2+ z2)1/2 - радиус сферы.

Вектор наблюдения rн можно определить из формулы (17):

rн = [( l-x) Ч i - y Ч j - z Ч k ] / [R2+ l2 + 2 Ч l Ч x]1/2 .

( 30 )

Тогда по правилам векторного умножения:

e = [ n* rн ] = ( ny Ч rнz - nz Ч rнy) Ч i +( nz Ч rнx - nx Ч rнz) Ч j +(

nx Ч rнy - ny Ч rнx) Ч k ;

в нормированном виде:

_____________

eыл = ( lz Ч i - ly Ч j ) / (R Ч Ц R2+ l2 - 2 Ч l Ч x ),

( 32 )

Теперь определим все остальные недостающие выражения для формулы

(15):

_____________

( n* rн ) = (x Ч l -R2) / (R Ч Ц R2+ l2 - 2 Ч l Ч x ),

( 33 )

( n* j )2 = y2 / R2 ;

( 34 )

( n* k )2 = z2 / R2 ;

( 35 )

( eыл * j )2 = l2 Ч z2/ (R2 Ч ( R2+ l2 - 2 Ч l Ч x );

( 36 )

( eчч* k )2 = l2 Ч z2/ (R2 Ч ( R2+ l2 - 2 Ч l Ч x );

( 37 )

После подстановки формул (30) - (37) в выражение (15), получим:

l Ч x - R2

2 - ---------------------------------

R2 Ч ( R2+ l2 - 2 Ч l Ч x )1/2 ж

y2- z2 ц й l2 Ч z2 - l2 Ч y2 щ

----------------------------------------- Ч п --------

- к + п --------------------------- з

l Ч x - R2

и R2 ш лR2 Ч( R2+ l2 - 2 Ч l Ч x )

ы

---------------------------------

R2 Ч ( R2+ l2 - 2 Ч l Ч x )1/2

P’ (N, L) = ----------------------------------------------------------------

------------------------------ .

l Ч x - R2

2 - ---------------------------------

R2 Ч ( R2+ l2 - 2 Ч l Ч x )1/2 ж

y2+ z2 ц й l2 Ч z2 + l2 Ч y2 щ

----------------------------------------- Ч п --------

- к - п --------------------------- з

l Ч x - R2

и R2 ш лR2 Ч( R2+ l2 - 2 Ч l Ч x)ы

---------------------------------

R2 Ч ( R2+ l2 - 2 Ч l Ч x )1/2

После упрощения это выражение принимает вид:

P’(N, L) = [( y2 - z2 ) / ( y2 + z2 )] Ч( 1 - x/R ).

( 38 )

Это есть степень поляризации теплового изображения сферы в декартовых

координатах.

Перейдем к сферическим координатам:

X = R Ч sinq Ч cosj ;

Y = R Ч sinq Ч cosj ;

Z = R Ч cosq .

Тогда выражение (38) принимает вид:

sin2q Ч sin2j - cos2q

P’(N, L) = --------------------------- ( 1 - sinq Ч cosj) .

( 39 )

sin2q Ч sin2j + cos2q

Это и есть степень поляризации теплового изображения сферы в

сферических координатах.

Аналогично можно получить формулы для эллипсоида. Для этого

необходимо начать вывод с функции:

f(x,y,z) =x2 / b2+ y2 / a2+ z2 / c2- 1= 0.

( 40 )

С учётом обозначения K = b/a - коэффициента сжатия эллипсоида ( b -

большая полуось эллипсоида, a - малая ), получим формулу для степени

поляризации в декартовых координатах:

________________

P’(N, L) = [( y2 - z2) / ( y2 + z2)] Ч[ 1 - ( x / Ц x2 + k2 Ч

y2 + k2 Ч z2)] . ( 41 )

C учётом сферических координат для эллипсоида:

X = b Ч sinq Ч cosj ;

Y = a Ч sinq Ч cosj ;

Z = a Ч cosq .

степень поляризации принимает вид:

sin2q Ч sin2j - cos2q й

sinq Ч cosj щ

P’(N, L) = -------------------------- Ч к 1- -------------------------------

----------------------- з(42)

sin2q Ч sin2j + cos2q л Ц sin2q Ч cos 2j + k2 Ч(

sin2q Ч sin2j + cos 2q) ы

Что касается диска, то для него используется формула ( 42 ), с

учётом, что коэффициент сжатия k := 0.1, т.е. эллипсоид сжатый до состояния

диска, когда большая полуось составляет всего лишь 10-ю часть от малой

полуоси; для сферы формула ( 42 ) справедлива при k = 1. Таким образом, для

получения модели поляризационного тепловизионного изображения диска, сферы

и эллипсоида можно пользоваться формулой ( 42 ) с использованием различных

значений k. При этом необходима связь углов q и j с номерами строк L и

номерами элементов в строках N тепловизионного кадра. На основе геометрии

наблюдения и логических рассуждений были получены следующие связи:

q = L Ч p / L0 ;

( 43 )

j = ( N Ч p / N0 ) - p/2 ;

( 44 )

где L0 - число всех строк в кадре;

N0 - число элементов в каждой строке.

2.4. Формула моделирования изображений конуса.

Вывод формулы моделирования изображений конуса аналогичен выводу

формулы для тел типа эллипсоида, но для разнообразия расположим конус по

другой оси координат - вдоль оси OZ ( рис. 5).

В декартовой системе координат уравнение конуса имеет вид:

f(x,y,z) = x2 / a2+ y2 / a2 - z2 / c2 = 0.

( 45 )

где а - радиус основания конуса;

с - высота конуса.

Вектор нормали n в соответствии с формулой (16), имеет вид:

[(-2Чz/c2)Чk+ (2Чx/a2)Чi+ (2Чy/a2)Чj ]

n = -------------------------------------------------

. ( 46 )

Ц (2 Ч x / a2 )2+ (2 Ч y / a2 )2+ (2 Ч z / c2 )2

В свою очередь вектор наблюдения для конуса данного расположения в

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5