Теория симметрии молекул

Министерство общего и профессионального образования РФ

Дипломная работа

«Теория симметрии молекул»

Под геометрической конфигурацией молекулы или иона будем понимать пространственное расположение ядер атомов в молекуле или ионе относительно друг друга. Геометрическую конфигурация молекулы можно охарактеризовать, построив модель молекулы. Впервые модели молекул из шаров и стержней были построены в 1810 г. Джоном Дальтоном. Современные представления о структуре молекулы являются более точными благодаря применению точных экспериментальных методов определения этой структуры (оптические и дифракционные методы). Использовав эти методы, мы можем построить геометрическую модель молекулы в виде конечной фигуры.

Важной особенностью современных представлений о строении молекул является наличие симметрии молекул.

Определение 1. Отображением множества M на множество N называется правило f, которое каждому элементу m из множества M ставит в соответствие элемент n из множества N, называемый образом элемента m, при этом каждый элемент множества N является образом хотя бы одного элемента из множества M.

Если M=N, то говорят об отображении множества М на себя.

Определение 2. Операцией симметрии конечной фигуры называется ее изомерическое (т. е. сохраняющее расстояние между точками фигуры) отображение на себя.

Рассматривая эти примеры, приходим к заключению, что помимо геометрической модели, с молекулой аммиака необходимо связать геометрические образы - прямую C3 и плоскость , которые не принадлежат модели хотя бы потому, что они бесконечны

Операции симметрии пространственной фигуры, соответствующей молекуле, называются операциями симметрии молекулы.

В качестве примера рассмотрим молекулу аммиака NH3. Ее геометрическая конфигурация имеет форму правильной треугольной

Рис. 1 пирамиды.

К числу операций симметрии правильной треугольной пирамиды относятся повороты, совмещающие ее с собой. Точки N и O определяют ось поворота, которую обозначим через С3. Повернем пирамиду вокруг этой оси на 120о против часовой стрелки. Указанный поворот обозначим через . На рис. 1, б изображена фигура (результат поворота), которая совмещается с исходной (рис. 1, а) при наложении. Рассмотрим отражение в плоскости , совмещающее фигуру с собой, и обозначим его . Очевидно, что , как и , является операцией симметрии молекулы аммиака, так как операции и не изменяют расстояний между точками фигуры NH3.

Рассматривая эти примеры, приходим к заключению, что помимо геометрической модели, с молекулой аммиака необходимо связать геометрические образы - прямую C3 и плоскость , которые не принадлежат модели хотя бы потому, что они бесконечны.

Определение 3. Элементом симметрии молекулы называется вспомогательный геометрический образ (точка, прямая, плоскость), характеризующий некоторое множество операций симметрии фигуры, изображающей молекулу.

Например, ось C3 характеризует множество операций симметрии, состоящее из рассмотренного нами поворота , а также поворотов на 240о и на 360о против часовой стрелки молекулы аммиака. Поворот называется тождественной операцией симметрии. При этой операции симметрии все точки геометрической модели молекулы отображаются в себя. Плоскость характеризует множество операций симметрии, состоящее из и .

Элементы симметрии не следует путать с операциями симметрии. Элементы симметрии будем обозначать буквами, а операции симметрии - буквами «со шляпками» над ними.

Рассмотрим множество, элементами которого являются всевозможные операции симметрии молекулы, для случая молекулы аммиака. Четыре элемента , , , этого множества мы уже нашли. Кроме плоскости (рис. 1, а), молекула аммиака имеет еще две плоскости симметрии и , содержащие прямые NH(2) и NH(3) соответственно. С плоскостями и связаны операции симметрии и . Множество операций симметрии молекулы аммиака может быть обозначено следующим образом:

.

2. Классификация элементов симметрии молекулы

1. Поворотная ось Cn порядка n. Поворотной осью симметрии n-го порядка называется ось Cn, при повороте вокруг которой на угол n молекула совмещается сама с собой. Примеры: C3 - для случая молекулы аммиака; C2 (рис. 2, а) - для случая молекулы воды; C6 - для случая молекулы бензола (рис. 2, б).

2. Поворотная ось бесконечного порядка C. Это поворотная ось, при повороте вокруг которой на любой угол молекула совмещается с собой. Примером может служить любая линейная молекула, например, молекула ацетилена C2H2 (рис. 3).

Рис. 2

Рис. 3

3. Плоскость симметрии. Плоскостью симметрии молекулы называется плоскость, при отражении в которой молекула совмещается сама с собой. Пример молекулы с вертикальной плоскостью симметрии уже приведен (молекула аммиака). У бензола C6H6 (рис. 2, б) есть плоскость симметрии - плоскость, в которой лежат атомы этой молекулы. При этом следует иметь ввиду, что поворотная ось высшего порядка всегда условно принимается за вертикальную.

Диагональную плоскость симметрии имеет молекула метана (рис. 4). Геометрической моделью CH4 является тетраэдр, в вершине которого расположены атомы водорода. Диагональная плоскость симметрии d заштрихована. При отражении в плоскости d атомы водорода, находящиеся в плоскости, переходят в себя, а атомы, расположенные симметрично этой плоскости, переходят друг в друга.

4. Центр симметрии. Это точка i, при отражении в которой молекула совмещается сама с собой, например, молекула трансдихлорэтилена C2Cl2H2 (рис. 5).

Рис. 5

5. Зеркально-поворотная ось n-го порядка Sn. Зеркально-поворотной осью n-го порядка называется ось, при повороте вокруг которой на угол n с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной к этой оси, молекула совмещается сама с собой.

Примером молекул, обладающих такой осью, может служить молекула метана CH4.

Рис. 6

На рис. 6 показана зеркально-поворотная ось симметрии четвертого порядка S4. Из рис. 6 можно видеть, что при повороте на угол 4 вокруг оси S4 против часовой стрелки атомы H(i) переходят в места, указанные звездочками. Совершив затем отра-

жение в заштрихованной горизонтальной плоскости, получим, что все звездочки перейдут в соответствующие атомы, т. е. в результате зеркального поворота S4 атом H(1) перейдет в H(3), H(2) - в H(4), H(3) - в H(2), H(4) - в H(1).

1.2 Групповые постулаты

1. Алгебраические операции

Определение 1. Бинарной алгебраической операцией, определенной на множестве М, называется правило, согласно которому каждые два элемента a и b множества М, взятые в определенном порядке, однозначно сопоставляются с элементом с из этого множества, называемым результатом выполнения операции.

Рассмотрим в качестве общего примера множество операций симметрии молекулы. Под произведением операций симметрии и будем понимать их последовательное выполнение. Первые два требования к алгебраической операции, очевидно, выполняются. Проверим выполнение третьего условия из определения алгебраической операции.

Операция симметрии совмещает геометрическую модель с собой, и если после выполнения операции мы выполнили операцию , модель снова совместится сама с собой. Проверим изометричность произведения . Пусть геометрическая модель молекулы изображена на рисунке в виде фигуры F. Операции симметрии этой фигуры являются операциями симметрии молекулы. Пусть x и y - любые две точки фигуры F и пусть при операции точки x и y переходят в точки x и y соответственно, что запишем в виде x=x, y=y. Аналогично, пусть x=x, y=y. Тогда при последовательном выполнении операций и , т. е. в результате выполнения операции , получаем x=x, y=y. Так как изометрично, то r(x, y)=r(x, y), где r(x, y) обозначает расстояние между точками x и y, а r(x, y) - расстояние между точками x, y. Поскольку тоже изметрично, то r(x, y)=r(x, y). Из полученных равенств следует, что r(x, y) =r(x, y), т. е. изометрично. Так как самосовмещение фигуры есть ее отображение на себя, то есть изометрическое отображение фигуры F на себя, т. е. операция симметрии фигуры. Поскольку и можно считать любыми элементами множества операций симметрии молекулы, третье условие из определения алгебраической операции выполнено.

2. Таблица Кэли

Подобно тому, как существует таблица умножения натуральных чисел, можно составить таблицу умножения в множестве операций симметрии молекулы. Эта таблица называется таблицей Кэли (или квадратом Кэли). Для того, чтобы понять общий принцип составления таких таблиц, запишем таблицу Кэли для случая множества операций симметрии молекулы аммиака NH3 (табл. 1).

Таблица 1

Квадрат Кэли группы C3V

3. Определение группы

Определение 2. Множество G называется группой, если в этом множестве определена бинарная алгебраическая операция, удовлетворяющая следующим аксиомам (в мультипликативной записи операций):

1. Для всех элементов a, b, c из множества G (аксиома ассоциативности).

2. Для всех элементов а из множества G существует элемент e из этого множества, такой, что (е называется единичным элементом группы).

3. Для каждого элемента а для множества G существует элемент а-1 из этого из этого множества, такой, что (а-1 называется обратным элементом к элементу а).

Рассмотрев таблицу Кэли для множества C3V, можно убедиться, что множество операций симметрии молекулы аммиака является группой относительно введенной нами операции умножения в этом множестве.

Определение 3. Подмножество H группы G называется подгруппой группы G, если H само является группой относительно операции, введенной в группе G.

Для проверки того, что H является подгруппой группы G, надо проверить два условия: произведение двух элементов из Н снова принадлежит Н и вместе с элементом h обратный к нему элемент из группы G (он должен существовать) также принадлежит Н. В самом деле, тогда ; ассоциативность же умножения, будучи верной во всей группе G, будет иметь место и в подгруппе Н.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6