Рассмотрим конструкцию, позволяющую, зная представления групп, построить модуль М над кольцом K, связанный с этим представлением. Пусть теория представлений групп сформулирована на языке матриц и линейных операторов. Все матрицы данного порядка (линейные операторы в n-мерном пространстве) образуют относительно операций сложения и умножения матриц (линейных операторов) кольцо. Матрицы (линейные операторы) образуют алгебру в смысле следующего определения.

Определение 7. Алгеброй А над полем Р называется множество, в котором введены операции сложения и умножения элементов, а также операция умножения аА, Р, аА элементов поля Р на элементы из А, причем: 1) относительно операций сложения и умножения А является кольцом; 2) относительно операций сложения и умножения на элементы поля Р алгебра является векторным пространством; 3) операции умножения элементов кольца и умножения на элементы из поля связаны аксиомой

(ab)=(a)b=a(b); P; a, bA (7)

Матрицы, которые сопоставляются элементами группы в представлении Т, составляют лишь часть из множества всех матриц Мn, что следует хотя бы из того, что они невырождены. Однако, если Т(g1), Т(g2), …, T(gs), s=|G| - все матрицы представления группы G, то с ними можем связать алгебру, состоящую из всевозможных линейных комбинаций этих матриц вида

K=1 Т(g1)+2 Т(g2)+..+sT(gs); iR или С (8)

Пусть Р - поле комплексных или вещественных чисел. Рассмотрим формальные суммы вида

=1g1+2g2+…+ngn; iP; giG; i=1, 2, …, n; n=|G| (9)

Подчеркнем, что так как в группе G есть только одна операция - умножение, левую часть нельзя рассчитывать как результат сложения элементов правой части. Назовем две суммы и равными, если i=i. Введем операцию сложения формальных сумм по правилу:

+=(1+1)g1+(2+2)g2+…+(n+n)gn=; i=i+i.

Видим, что на множестве формальных сумм определена операция сложения, так как в результате операции снова получилась формальная сумма вида (9). Введем далее операцию умножения формальных сумм. Получим кольцо, которое называется групповым кольцом группы G над полем Р и обозначается в виде PG. Это кольцо можно превратить в алгебру. Для этого надо определить умножение P на PG. Умножение задается по формуле

. (10)

Относительно сложения и умножения по этой формуле PG представляет собой векторное пространство (аксиома (7)). Построенная алгебра называется групповой алгеброй группы G и обозначается, как и групповое кольцо, в виде PG.

Если сопоставить каждому элементу gi в выражении (9) матрицу T(gi) этого элемента в представлении Т, то получим матрицу (8), которую обозначим буквой K, так как она является элементом группового кольца матриц K. Как следует из определения модуля, главное при построении модуля - ввести умножение векторов на элементы группового кольца. Пусть V - пространство представления Т группы G. Произвольный вектор v этого пространства зададим координатами. Если А - матрица линейного оператора , действующего в векторном пространстве, то можно получить вектор v1, в который переходит вектор v под действием оператора . Для этого надо просто умножить по правилу умножения матриц вектор v на матрицу А. Аналогично выполняется умножение вектора v на элемент группового кольца (и алгебры) PG:

v=vk=v1, PG, v1V, kK. (11)

Теперь, используя правило умножения (11) легко проверить условия определения модуля. Полученный модуль М называется модулем представления Т.

Если известен модуль М над групповой алгеброй PG, то можно получить представление, связанное с этим модулем. Так как группе G принадлежит единица I, то каждый элемент pP можно записать в виде p=pI. Отсюда следует, что модуль М является векторным пространством над полем Р. Поэтому каждому элементу PG можно сопоставить оператор (), действующий в векторном пространстве М по правилу

()(m)=m (12)

В частности, любому элементу gG можно сопоставить оператор (g), действующий по правилу (g)(m)=mg. Сопоставляя всем элементам группы G операторы (12), и получим представление Т, связанное с модулем М.

Учитывая отмеченное соответствие между модулями и представлениями, можно перевести на язык модулей основную терминологию теории представлений. Так, подмодулю М1 модуля М соответствует представление Т1, которое называется подпредставлением представления Т. Тривиальные подмодули модуля М - это сам модуль М и нулевой модмодуль О. Если все подмодули модуля М тривиальны, он называется неприводимым модулем, а соответствующее ему представление - неприводимым представлением. Если же модуль М имеет нетривиальный модмодуль, он называется приводимым модулем, ему соответствует приводимое представление.

4. Представление алгебр и модули

Обозначим через EndpV алгебру линейных операторов векторного пространства V над полем Р и пусть А - произвольная алгебра.

Определение 8. Представлением алгебры А называется сопоставление каждому элементу aA линейного оператора EndpV, причем должны выполняться следующие условия:

1, где - единичный оператор;

pap; pP; aA;

a+b+; a, bA; , EndpV;

ab; a, bA.

Определение 8 является иной формулировкой определения модуля над кольцом А, если кольцо является алгеброй над полем Р.

Определение 9. Модулем над алгеброй А называется абелева группа по сложению М, для которой определена операция умножения элементов из А на элементы из М: amM, aA, mM и при этом выполняются следующие условия:

(a+a)m=am+am;

(aa)m=a(am);

em=m;

a(m+m)=am+am;

(a)m=(am)=a(m), P.

Здесь дано определение левого модуля.

Теорема 1. Всякий левый (правый) модуль М над кольцом А, которым является алгебра, представляет собой также векторное пространство над полем Р, причем для всех aA, mM, P справедливы равенства

(ma)=(m)a=m(a); (am)=a(m)=(a)m.

2.5 Характеры представлений

1. Определение и свойства характеров

Определение 1. След матрицы А=(аij) размера nn есть сумма ее элементов, стоящих по главной диагонали:

TrA=a11+a22+…+ann (14)

Определение 2. След матрицы Т(g), представляющий элемент g в матричном представлении Т группы G, называется характеристикой элемента g в представлении Т и обозначается T(g).

Определение 3. Совокупность характеристик всех элементов g группы G, составленных для данного представления Т, называется характером представления Т и записывается как T. Если Т - матричное представление группы G над полем вещественных или комплексных чисел Р, то характеристика каждого элемента группы является вещественным или комплексным числом и, следовательно, характер есть отображение T группы G в поле Р, определяемое следующим образом:

T: GP: T(g)=TrT(g).

Свойство 1. Характеры эквивалентных представлений совпадают.

Свойство 2. Характер представления Т группы G постоянен на каждом классе сопряженных элементов: T(g-1hg)= T(h), g, hG.

Определение 4. Вектор x0 из векторного пространства V над числовым полем Р называется собственным вектором линейного оператора , действующего в этом пространстве, если он удовлетворяет соотношению x=x, где - число, которое называется собственным значением (характеристическим числом) линейного оператора.

Условие того, что вектор х - собственный вектор записывается в виде матричного уравнения

(А - I)х = 0, (15)

где х - вектор-столбец с неизвестными координатами x1, x2, …, xn. Условием существования ненулевого решения системы (15) является равенство нулю его определителя:

|A - I| = 0. (16)

Это уравнение степени n относительно называется характеристическим или вековым уравнением матрицы А линейного оператора, а его корни называются собственными значениями матрицы А, они являются собственными значениями оператора .

Свойство 3. Если 1, 2, …, n - собственные значения линейного оператора , то T(g)=TrT(g)= 1+2+ …+n.

Так как здесь рассматриваем конечные группы, то имеет место следующее свойство.

Свойство 4. Если Т - представление группы G над полем Р, то для каждого элемента gG значение T(g) равно сумме корней из единицы степени, равной порядку элемента g.

Свойство 5. Если Т - представление группы G, то для каждого gG справедливо равенство T(g-1)= T(g).

Свойство 6. Если и - характеры неприводимых представлений группы G, то

(17)

Равенство (17) называется соотношением ортогональности, для характеров, неприводимых представлений группы G.

Свойство 7. (второе соотношение ортогональности) Пусть T1, T2, …, Tm - все неэквивалентные представления группы G, K(a), K(b) - классы элементов группы G, сопряженных соответственно с a и b. Тогда

 (18)

где |G| - число элементов в группе G; |K(b)| - число элементов в классе сопряженных элементов K(b); - характеры неприводимых представлений Ti, i=1, 2, …, m.

2. Таблицы характеров неприводимых представлений

Приведенные свойства характеров позволяют описать построение таблиц характеров неприводимых представлений. Строки таблицы будем нумеровать, как принято в теории представлений групп характерами, но одновременно будем указывать обозначения, принятые в молекулярной спектроскопии и кристаллографии: одномерные представления обозначаются A1, B1, A2, B2, …, двумерные - E1, E2, … и, наконец, трехмерные - F1, F2, … .

Так как по свойству 2 характеры постоянны на каждом классе сопряженных элементов, то столбцы таблицы нумеруются классами сопряженных элементов. Под обозначением класса сопряженных элементов указывается число элементов в классе - порядок класса. Рассмотрим в качестве примера группу C3V. Классы сопряженных элементов группы C3V имеют вид K1={I}, K2={C3, C32}, K3={, , }. Известно, что группа C3V имеет три неприводимых представления, характеры которых приведены в табл. 2.

Таблица 2.

3. Разложение характеров по неприводимым представлениям

В соответствии с рассмотренными свойствами характер приводимого представления T можно представить в виде разложения по характерам неприводимых представлений :

,

где ni - число, показывающее, сколько раз характер неприводимого представления Ti содержится в характере приводимого представления Т. На основании свойств ортогональности это число легко определяется, а именно:

. (19)

Формула (19) имеет важные применения в теории молекулярных спектров для определения числа состояний данного типа симметрии.

4. Определение характеров неприводимых представлений при применении групповых алгебр групп

Для достаточно широкого класса групп желательно иметь общий метод нахождения характеров неприводимых представлений.

Пусть дана группа G. Найдем классы сопряженных элементов Ki группы и обозначим сумму элементов группы, принадлежащих классу Ki. Здесь Сi являются элементами групповой алгебры PG группы G над полем Р. Проверим, перестановочны ли элементы Сi со всеми элементами алгебры PG. Для этого достаточно проверить, что для всех gG справедливы равенства gСi=Сig или Сi=g-1Сig.

Действительно,

g-1 Сig=g-1(k1+k2+…)g=g-1k1g+g-1k2g+…

Так как в групповой алгебре выполним дистрибутивный закон, то очевидно, что правая часть содержит все элементы Сi и, следовательно, равна Сi.

Определение 5. Множество элементов алгебры, перестановочных со всеми элементами алгебры, называется центром алгебры.

Определение 6. Подмножество В алгебры называется подалгеброй алгебры А, если оно является подпространством векторного пространства А, и из того, что b1, b2B, следует, что .

Можно доказать, что элементы Ci образуют базис центра Z групповой алгебры PG:

Алгебру можно записать, задав таблицу умножения базисных элементов

. (20)

Элементы Cijk называются структурными константами алгебры. Для элементов Сi, образующих базис центра групповой алгебры, формула (20) принимает вид

. (21)

Теперь, на основании выражения (21), фиксируя индекс i (что обозначим, взяв этот индекс в скобки), получим матрицу C(i) коэффициентов Cijk. Эту матрицу можно рассматривать как матрицу линейного оператора , действующего в векторном пространстве, которым является центр алгебры Z. Действие его на базисные элементы Cj состоит в умножении Ci на Cj. Для того, чтобы записать матрицу C(i), надо рассмотреть столбец, в котором записаны произведения Ci на Cj. В результате получим матричное представление центра групповой алгебры. Матричное представление центра будет центром матричного представления всей алгебры. Иначе говоря, все матрицы C(i) коммутируют со всеми элементами матричного представления алгебры и между собой.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6