Определение 4. Группой симметрии молекулы называется множество S всех операций симметрии молекулы, на котором введена структура группы относительно умножения операций симметрии молекулы.

4. Гомоморфизмы и изоморфизмы

Определение 5. Отображение множества М в множество N - это правило f, по которому каждому элементу m из множества M ставится в соответствие однозначно определенный элемент mf=n из множества N.

Определение 6. Гомоморфизмом группы G в группу G называется отображение множества G в множество G такое, что

(1)

В качестве примера рассмотрим группу C3V и группу {-1}2, состоящую всего из двух элементов {-1}2={-1, 1}.

Построим отображение группы C3V в группу {-1}2 (записываем это в виде : C3V{-1}2) по следующему правилу: элементам , , сопоставим 1, а элементам ,, сопоставим -1. Отображение построено, причем, как видим, у элемента 1 группы {-1}2 есть три прообраза, т. е. три элемента группы C3V, образом каждого из которых является 1: у элемента -1 также три прообраза - это не запрещено определением отображения.

Покажем теперь, что есть гомоморфизм. Из таблицы Кэли группы C3V видно, что произведение любых двух элементов множества C3={, , } принадлежит этому же множеству, в то же время . Из этой таблицы видно, что , i, j=1, 2, 3 принадлежит множеству C3, но с другой стороны, . Наконец, произведения и , i, j=1, 2, 3 принадлежат множеству , с другой стороны , . Таким образом для любых двух операций симметрии и из множества C3V получаем, что , где , , есть 1 или -1, т. е. отображение , действительно есть гомоморфизм.

Определение 7. Отображение f множества М в множество N называется взаимно однозначным отображением множества М на множество N, если каждый элемент множества N является образом в точности одного элемента множества M.

Определение 8. Две группы G и G называются изоморфными (обозначение GG), если существует взаимно однозначное отображение группы G на группу G такое, что

(2)

Свойства группы или других математических объектов, сохраняющиеся при изоморфизме, называются структурными свойствами. Приведем два примера структурных свойств групп, которым предшествуют два важных определения.

Определение 9. Если группа G содержит конечное число элементов, то число n элементов группы называется порядком группы и обозначается n=|G|.

Например, |C3V|=6; |{-1}2|=2.

Определение 10. Группа называется абелевой или коммутативной, если для всех элементов a и b этой группы выполняется равенство ab=ba.

Так, группа {-1}2 является абелевой, а группа C3V не абелева.

Теорема 2. Если две конечные группы G и G изоморфны, то их порядки равны.

Теорема 3. Если G - абелева группа и GG, то и G - абелева группа.

Теорема 4. Каждая конечная группа изоморфна некоторой группе перестановок и некоторой группе матриц.

Приведем пример. Пронумеруем элементы группы C3V в виде =1; =2; =3; =4; =5; =6. Используя таблицу Кэли группы C3V, запишем

.

Далее, получим, используя правило умножения перестановок. Ясно, что

.

Аналогично получаем остальные четыре перестановки искомой группы: , , , . Мы получили другое выражение группы C3V: ее представление в виде группы перестановок.

1.3 Классы смежности и классы сопряженных элементов

Пусть G - группа, H - ее подгруппа.

Определение 1. Всякое множество Hg (т. е. совокупность всех элементов hg, где h пробегает H, g - фиксированный элемент группы G) называется правым смежным классом группы G по подгруппе H. Аналогично определение левого смежного класса gH.

Каждый элемент смежного класса называется его представлением. Так, элемент g - представитель класса Hg, поскольку из-за наличия в группе Н единицы е группы G элемент g=egHg.

Будем считать подгруппу H первым правым смежным классом. В результате группу G можно представить в виде объединения правых смежных классов:

Hg1+Hg2+…+Hgm=G (3)

Выражение (3) называется правосторонним разложением группы G по подгруппе H.

Рассмотрим пример. В группе C3V выберем подгруппу {, }={}2, считая ее первым правым смежным классом. Возьмем элемент и по таблице Кэли группы C3V найдем второй правый смежный класс {, }={, }. Элемент не входит в оба класса, и с помощью его получаем третий правый смежный класс {, }={, }. Таким образом, правостороннее разложение группы C3V по подгруппе {}2 имеет вид

C3V={, }+{, }+{, }. (4)

Аналогично левостороннее разложение группы C3V по подгруппе {}2 имеет вид

C3V={, }+{, }+{,}. (5)

Существенно, что левостороннее разложение (5) не совпадает с правосторонним разложением (4).

Теорема Лагранжа. Порядок подгруппы H конечной группы G является делителем порядка группы G.

Теорема Лагранжа облегчает нахождение подгруппы группы G. Надо искать подгруппы группы G не любых порядков, а порядков, равных делителям порядка группы G. Например, группа C3V имеет порядок 6, а у числа 6 делителями являются числа 1, 2, 3, 6. Мы уже нашли подгруппы группы C3V, имеющие приведенные порядки - это подгруппы {}, {}, {}3={, , } и сама C3V. Подчеркнем, что если число m является делителем порядка группы G, то отсюда не следует, что в группе G есть подгруппа порядка m, т. е. теорема, обратная теореме Лагранжа, не имеет места.

Определение 2. Элементы а и b группы G называются сопряженными, если существует элемент х из группы G такой, что выполняется равенство

a=x-1bx (6)

Например, в группе C3V согласно таблице Кэли этой группы, имеем =-1=, поэтом элементы и сопряжены с помощью элемента .

С помощью понятия сопряженности можно дать классификацию элементов группы G. Обозначим через Kg1, Kg2, …, Kgt все классы сопряженных элементов. Всю группу G можно представить в виде

Kg1+ Kg2+ …+ Kgt=K1+K2+…+Kt=G, (7)

где Kgi=Ki; i=1, 2, …, t - непересекающиеся классы сопряженных элементов.

Найдем эти классы для группы C3V. Очевидно, что единица сама является классом сопряженных элементов, ибо всегда =. Обозначим этот класс R1. Второй класс сопряженных элементов - это {, }, поскольку не сопряжено с и , а других возможностей нет. С помощью таблицы Кэли проверяется, что третий класс сопряженных элементов есть {, , }, в итоге

C3V= K1+K2+K3={}+{, }+{, , } (8)

1.4 Факторизация групп

Пусть дана группа G и два подмножества M и N множества G.

Определение 1. Произведением подмножеств М и N группы G называется множество MN, состоящее из всевозможных произведений mn, где m пробегает множество M, а n - множество N.

Теорема 1. Произведение АВ двух подгрупп А и В группы G будет подгруппой группы G, если А и В перестановочны, т. е. если АВ=ВА.

Рассмотрим примеры. В группе C3V перемножим подгруппы {}3 и {}2. Используя таблицу Кэли для C3V, получаем, что C3V факторизуема: C3V={}3 {}2. По таблице Кэли группы C3V находим {}2{}2={, , , }. Но это не подгруппа группы C3V. Следовательно, согласно теореме должно выполняться неравенство {}2{}2{}2{}2. Действительно, перемножая, получим

{}2{}2={, , , }.

Определение 2. Группа G называется прямым произведением подгруппы А и В, если элементы подгрупп А и В перестановочны: ab=ba, aA, bB и каждый элемент gАВ однозначно представляется в виде произведения g=ab. Обозначается прямое произведение подгруппы как G=AB.

Определение 3. Подгруппа Н группы G называется циклической, порожденной элементом h, если все ее элементы являются степенями элемента h. Если же сама группа G совпадает со своей циклической подгруппой, то она называется циклической группой.

Элементом симметрии называется вспомогательный геометрический образ, характеризующий циклическую группу преобразования симметрии.

Теорема 2. Каждая конечная абелева группа G является прямым произведением конечных циклических групп, порядки которых являются степенями простых чисел.

Определение 4. Множество элементов a, b, c… группы G называется системой образующих групп G, если каждый элемент группы может быть представлен в виде произведения степеней элементов указанного множества

akblcm…=g.

Например, для циклической группы {}3 образующим элементом или генератором группы является элемент . У группы C3V два образующих элемента: и , в чем можно убедиться, рассматривая факторизацию C3V={}3{}2.

Определение 5. Соотношения вида

apbqcr…=e,

связывающие образующие элементы группы G, называются ее определяющими соотношениями.

Совокупность всех образующих элементов и определяющих соотношений, полностью описывающих группу, называется генетическим кодом группы.

Например, группа {}3 задается одним образующим элементом и одним определяющим соотношением =. Группа C3V задается двумя образующими и и определяющими соотношениями между ними вида

=, =, = (9)

Последнее соотношение после умножения его на можно записать в стандартном виде =. Именно способом задания группы объясняется обозначение группы C3V, так как операции симметрии и при определенных соотношениях между ними определяют группу C3V. Чтобы получить таблицу Кэли группы C3V, надо было пользоваться геометрической моделью молекулы NH3. Зная же систему (9) определяющих соотношений, можно, например, найти, чему равно , если известно произведение . В самом деле, так как =, то умножая справа на , имеем =. Факторизация группы также значительно облегчается при задании группы с помощью генетического кода. Например, в полупрямом произведении C3V={}3{}2 соотношение = задает автоморфизм группы {}3, так как является ее образующим элементом. Поэтому, пользуясь тем, что автоморфизм переводит произведение элементов в произведение их образов, получаем уже автоматически

=====.

Знание автоморфизма нормального делителя и элементов групп H и F определяет полупрямое произведение, т. е. факторизацию группы.

Глава 2 Введение в теорию представлений групп симметрии молекул

2.1 Векторные (линейные) пространства

1. Модуль и векторное пространство

Определение 1. Кольцом называется множество K, в котором определены операции сложения и умножения и выполняются аксиомы:

1. Относительно сложения кольцо является абелевой группой, т. е. в аддитивной записи операций имеют место условия (для всех a, b, c K):

a+b=b+a - коммутативность (абелевость) сложения;

(a+b)+c=a+(b+c) - ассоциативность сложения;

a+0=0+a=a - существование нулевого элемента;

a+(-a)=(-a)+a=0 - существование противоположного элемента.

2. Умножение связано со сложением аксиомами дистрибутивности:

(a+b)c=ac+bc; c(a+b)=ca+cb.

3. Умножение ассоциативно:

(ab)c=a(bc).

Определение 2. Полем называем коммутативное по умножению кольцо, в котором каждый ненулевой элемент а имеет обратный элемент, т. е. такой элемент a-1, что , где е - единица кольца.

Определение 3. Левым модулем над кольцом K называется абелева группа по сложению М, для которой определены произведения kmM для всех kK и mM, причем выполняются аксиомы:

k(m1+m2)=km1+km2;

(k1+k2)m=k1m+k2m;

(k1k2)m=k1(k2m)

для любых m, m1, m2M и k, k1, k2K.

Если в кольце K есть единицы (что мы предполагаем), то выполняется еще аксиома

em=m

для любого mM.

Аналогично определяются правые модули, в которых произведение записывается в виде mk. Модуль одновременно левый и правый называется двусторонним модулем, будем называть его просто «модулем».

Определение 4. Модуль над полем P называется векторным, или линейным пространством над полем Р.

Определение 5. Подмножество M1 левого модуля М над кольцом K называется подмодулем модуля М, если (m1+m2)M1 для всех m1, m2M1 и kmM1 для всех kK и mM1.

Определение 6. Подмодуль векторного пространства называется подпространством векторного пространства.

2. База (базис) и размерность векторного пространства

Пусть М - левый модуль над кольцом K. Выражение вида k1v1+k2v2+…+knvn, где kiK, viM, называется линейной комбинацией векторов v1, v2, …, vn. Если все ki=0, то линейная комбинация называется тривиальной. Если вектор v является линейной комбинацией векторов v1, v2, …, vn, то говорят, что он выражается через систему S=<v1, v2, …, vn>.

Определение 7. Конечная система векторов v1, v2, …, vn векторного пространства называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов равная нулю. Система, не являющаяся линейно зависимой, называется линейно независимой.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6