Термин относительная прибыль используется постольку, поскольку в расчетах пока не принимаются другие виды расходов. К их числу могут, в частности, относиться затраты, связанные с доставкой продукции к местам сбыта и с обслуживанием покупателей. Такого рода затраты имеют место лишь после получения готовой продукции, и считаем что они одинаковы для поставщиков. Они не имеют отношения к затратам во время покупки ореха, и, следовательно, при принятии решения размещение поставщиков ореха не учитывается. Предположим, что относительная прибыль при закупке ореха у поставщика 1 равна 5, а при закупке картофеля у поставщика 2 составляет 6. Из того факта, что относительная прибыль при закупке ореха у поставщика 2 является более высокой, однако, вовсе не следует, что фирме следует произвести закупку всего требуемого ей количества ореха у поставщика 2.

При принятии решения по закупке ореха возможны три основных варианта: либо все закупить у поставщика 1; либо у поставщика 2; либо выявить доли объемов продукции закупаемых у поставщиков. При этом, необходимо учесть следующие факторы: максимальное количество каждого продукта, которое фирма может продать, и максимальное количество каждого из продуктов, которое фирма может изготовить при заданных условиях производства. Для простоты изложения допустим, что, учитывая оба эти фактора одновременно, мы получаем следующие ограничения:

- продукт 1 не может выпускаться в количестве, превышающем 1.8;

- продукт 2 не может выпускаться в количестве, превышающем 1.2;

- продукт 3 не может выпускаться в количестве, превышающем 2,4.

Эти ограничения математически можно сформулировать следующим образом.

Пусть P1 и Р2 означают количество ореха, которое будет закуплено у поставщиков 1 и 2 соответственно. Тогда значения Р1 и Р2 должны подчиняться следующим линейным неравенствам:

0,2Р1 + 0,3Р2 1.8 для продукта 1,

0,2Р1 + 0,1Р2 1.2 для продукта 2, (1)

0,3Р1 + 0,3Р2 2.4 для продукта 3,

P1 0,

P2 0.

Условия неотрицательности P1 0 и P2 0 приняты потому, что отрицательные значения этих величин (например P1 = -4) не имели бы физического смысла.

На основании системы (1) построим предельные линии ограничения. Для этого по каждому из уравнений

0,2Р1 + 0,3Р2 = 1.8

0,2Р1 + 0,1Р2 = 1.2

0,3Р1 + 0,3Р2 = 2.4

дадим значения крайних координат линии ограничения. Например, для уравнения

0,2Р1 + 0,3Р2 = 1.8 имеем Р1 = 0, тогда Р2 = 1.8 : 0.3 = 6. Для Р2 = 0, Р1 = 1.8 : 0.2 = 9.

Аналогично найдем нулевые координаты для других уравнений. Линии ограничения построены на графиках, приведенных на рис.1

Стрелка, проведенная от каждой из этих линий, указывает направление, определяемое знаком неравенства в соответствующем ограничении. Для нахождения совместного решения, совместим линии ограничения на одном графике (рис.2), которые характеризуют допустимые стратегии закупок.

Заштрихованная область является совместной областью для системы (1), значения из которой удовлетворяют условиям ограничения. Все значения Р1 и P2 удовлетворяющие условиям (1), представлены на рис.6 заштрихованной областью.

При этом необходимо сформулировать условие оптимизации и построить целевую функцию решения задачи. Оптимальными являются такие значения P1 и Р2, при которых относительная прибыль максимальна, если при этом выполняются условия (1). Таким образом, задача оптимизации сводится к максимизации выражения

5Р1 + 6Р2 max, (2)

при наличии ограничений (1).

Каждая из множества параллельных прямых, изображенных на этом рисунке, соответствует различным комбинациям значений P1 и Р2, приводящим к одному и тому же значению линейной целевой функции

5Р1 + 6Р2.

Самая верхняя линия, содержащая точку в области допустимых с точки зрения условий (1) значений, определяет максимальное значение целевой функции. Оптимальное решение задается именно этой точкой.

Легко убедиться графически. что в рассматриваемом случае оптимальное решение является единственным; оно находится на пересечении прямых, определяемых двумя первыми условиями (1). Следовательно, оптимальные значения Р1 и Р2 можно вычислить путем совместного решения двух линейных уравнений

0,2Р1 + 0,3Р2 = 1,8 для продукта 1,

0,2Р1 + 0,1Р2 = 1,2 для продукта 2. (3)

Решая данную систему линейных уравнений методом подстановки или Жордана - Гаусса можно определить, что оптимальные значения Р1 = 4,5, а Р2 = 3. Тогда значение целевой функции принимает значение 40,5.

Для группы с небольшим количеством невзаимосвязанных целей (критериев) используется методология решения основанная на использовании различных стратегий ЛПР относительно получения результатов решения. К ним можно отнести методы: оптимизма, пессимизма (гарантированного результата), Гурвица, Сэвиджа. Рассмотрим методику решения данной группы задач.

Пример задачи JA - класса. Рассмотрим задачу выбора наилучшей структуры объема закупок оптовой компанией продукции для реализации по торговым предприятиям.

Для выбора продукции относящейся к алкогольной, были сформулированы несколько целевых критериев: - оптовая цена, (руб.), (А1); - срок хранения, (кол-во дней) , (А2); - ассортимент торговой марки (шт), (А3).

Выбор производится из следующих видов продукции, предлагаемых предприятиями-поставщиками: Долина (Y1); Фанагория (Y2); Славянский (Y3).

Исходные данные по задаче приведены в табл.9.

Таблица 9

Обобщенная постановка задачи

1. Принцип максимина (гарантированного результата)

Принцип максимина заключается в выборе в качестве наиболее эффективной той альтернативы (стратегии), которая имеет наибольшее среди наименьших по всем альтернативам значение функции полезности или фактора. Данная стратегия ориентирована на получение гарантированного минимума желательности (не хуже чем "лучший из худших").

Рассмотрим действие принципа максимина на задаче. В соответствии с решающим правилом, оптимальной (u(y*)) считается альтернатива, для которой выполняется соотношение

Методика выбора включает в себя два этапа.

На первом - для каждой альтернативы выбираем по соответствующей строке минимальное значение функции полезности. Для альтернативы Y1 минимальное из значений 1, 8, 4 является значение функции полезности f1 = 1 соответствующее критерию А1; для альтернативы Y2 минимальное из значений 4, 2 ,5 является значение функции полезности U2 = 2 соответствующее критерию А2; для альтернативы Y3 минимальное из значений 6, 7, 3 является значение функции полезности U3 = 3 соответствующее критерию А3. Тогда имеем следующие минимальные значения полезности по каждой альтернативе, соответственно:

На втором этапе из полученных минимальных значений проводится выбор максимального:

Максимальной из существующих минимальных является значение = 3, которое соответствует третьей альтернативе. Таким образом, оптимальной (по критерию максимина) является альтернатива Y3.

2. Принцип оптимизма.

При решении задач, относящихся к простым задачам и имеющим четкую структуризацию, обычно применяют некоторый спектр методов, одним из которых является принцип оптимизма. Структуризация проблемной ситуации состоит в исследовании и анализе структуры элементов проблемы, установлении взаимосвязи между ними, решаемой проблемой и другими проблемами, предшествующими данной, т.е. исходная проблема разбивается на составные части и упорядочивается.

Принцип оптимизма заключается в выборе в качестве наиболее эффективной той альтернативы (стратегии), которая имеет наибольшее из наибольших по всем альтернативам значение функции полезности или фактора, т.е. принцип оптимизма (по правилу «лучший из лучших») учитывает возможность получения максимального уровня желательности. Эта стратегия реализуется решающим правилом вида:

u(y*) = max max Uij.

i j

Проведем решение исходной задачи (табл.9 ) с использованием данной методики.

Решение задачи по принципу оптимизма.

На первом этапе для каждой альтернативы выбираем максимальное значение по соответствующей строке.

Для альтернативы Y1 минимальное из значений 1, 8, 4 является значение 8 соответствующее критерию А2; для альтернативы Y2 минимальное из значений 4, 2, 5 является значение 5 соответствующее критерию А3; для альтернативы Y3 минимальное из значений 6, 5 ,3 является значение 7 соответствующее критерию А1.

На втором этапе из уже полученных максимальных значений выбирается максимальное:

Оптимальной (по критерию оптимизма) является альтернатива Y1.

3. Принцип Гурвица.

Для принципа выбора Гурвица характерно использование взвешенных значений принципа гарантированного результата (пессимизма) и принципа оптимизма. Здесь каждая стратегия характеризуется своим коэффициентом важности стратегии б,в = [0,1]. Функция выбора, описывающая принцип Гурвица, может быть записана в виде:

u (y*)= б·u1(y)+(1-б)·u2(y),

где u1(y) - стратегия выбора, характеризующая принцип гарантированного результата;

u2(y) - стратегия выбора, характеризующая принцип оптимизма.

Учитывая, что

u1(y) = max min U i j

i j

u2(y) = max max U i j

i j

можно представить общее выражение для принципа Гурвица в виде

u (y*)= б max min U i j + (1-б)· max max U i j (3)

i j i j

или

u (y*)= max [б min U i j + (1-б)· max U i j ]. (4)

i j j

Следовательно, наиболее предпочтительна стратегия Y*, для которой выполняется условие (4). При этом в зависимости от значения весового коэффициента б можно получить различные стратегии выбора при изменении его в диапазоне 0 ? б ? 1:

если б = 1, то получим принцип гарантированного результата;

если б = 0, получим принцип оптимизма.

Проведем решение исходной задачи (табл.9)с использованием данной методики.

Решение задачи по принципу Гурвица.

1. Задаём коэффициент , который характеризует ориентацию на принцип максимина или принцип оптимизма и . Пусть = 0,6.

2. Решаем задачу по формуле Y* maxi ( min Uij + (1 - ) maxj Uij) в два этапа:

2.1. Для каждой альтернативы находим *minj Uij +(1-)* maxj Uij , для чего используем уже вычисленные значения по предыдущим задачам (значения Min Uij, Max Uij в табл.10). Расчет этих значений формируется так.

Исходными данными для выбора по методу Гурвица будут данные, полученные по стратегиям:

- для стратегии гарантированного результата:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8