разностью 4 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

78. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь треугольная пирамида, у

которой 5 ребер имеют длину а?

79. Двугранный угол между смежными боковыми гра­нями правильной

четырехугольной пирамиды 120°, площадь основания О. Определите площадь

боковой поверхности пи­рамиды.

80. В правильной шестиугольной пирамиде площадь каж­дого диагонального

сечения равна О. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности

пирамиды.

81. Правильная пирамида и правильная призма имеют общие основание и высоту.

Может ли площадь боковой поверх­ности призмы быть меньше площади боковой

поверхности пира­миды? Если да,' то при каком условии?

82. Может ли площадь одной боковой грани пирамиды быть равной сумме площадей

остальных боковых граней? Мо­жет ли она превысить названную сумму площадей?

Подкрепите свои соображения примерами.

83. Площадь боковой поверхности правильной четырех­угольной пирамиды равна

сумме площадей основания и диаго­нальных сечений. Найдите величину плоского

угла при вер­шине пирамиды.

84. Из центра основания О правильной четырехугольной пирамиды, площадь

поверхности которой О, проведены парал­лельно боковым ребрам пирамиды

прямые ОА\, ОВ\, ОС\, ОВ\ (рис. 63). Найдите площадь поверхности

пирамиды ОА1В\С\В\.

Сечение пирамиды

85. Плоский угол при вершине правильной пирамиды — прямой. Как построить

сечение пирамиды плоскостью, прохо­дящей через вершину пирамиды, чтобы оно

было равносторон­ним треугольником?

86. Сторона основания правильной треугольной пирамиды 20 см, боковое ребро 30

см. Постройте сечение, имеющее форму квадрата, и определите его площадь.

87. Площадь малого осевого сечения правильной четырех­угольной пирамиды О.

Найдите площадь сечения, которое пер­пендикулярно стороне основания и делит

эту сторону в отно­шении 1:5.

88. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основа­ния 10 см, а боковое

ребро 13 см. Найдите площадь сечения, проходящего через центр основания

параллельно боковой грани.

89. Сторона основания правильной четырехугольной пира­миды МАВСО равна

а, боковое ребро I. Постройте сечение через середины сторон основания

АВ и ВС параллельно ребру МВ и определите площадь сечения.

90. Сторона основания правильной четырехугольной пира­миды 12 см, а боковое

ребро 11 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону основания

перпендикулярно про­тиволежащей боковой грани.

91. Периметр основания правильной треугольной пирамиды 45 см, боковое ребро

14 см. Найдите площадь сечения, кото­рое проходит через середину медианы

основания перпенди­кулярно этой медиане.

92. Через сторону основания правильной четырехугольной пирамиды и среднюю

линию параллельной боковой грани про-

о ведено сечение. Докажите, что его площадь больше — площади

основания.

93. Через сторону основания правильной шестиугольной пирамиды и среднюю линию

параллельной боковой грани про-

ведена плоскость. Докажите, что площадь сечения больше —

площади основания.

94. Основание пирамиды МАВСВ — ромб с диагоналями АС = 24 см,

ВО == 21см. Боковое ребро МА == 18 см перпен­дикулярно плоскости

основания. Найдите площадь сечения, которое проходит через вершину А и

середину ребра МС па­раллельно диагонали ВО основания (рис.

64)..

Параллельные сечения пирамиды

95. Построены два сечения пирамиды плоскостями, перпен­дикулярными боковому

ребру. Относятся ли площади этих сечений как квадраты их расстояний от

вершины пирамиды?

96. Площадь основания пирамиды 128 см2. Площади двух сечений,

параллельных основанию, 18 и 50 см2, расстояние между плоскостями

сечений 12 см. Найдите высоту пирамиды.

97. Боковое ребро и высота правильной четырехугольной пирамиды 35 и 28 см. В

пирамиду вписан куб так, что его 4 вер­шины лежат на основании пирамиды, а 4

— на апофемах пирамиды. Найдите ребро куба.

98. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см. Высота

пирамиды Н == 24 см находится внутри пирамиды. В пирамиду вписан куб

так, что 4 вершины его лежат на основании пирамиды, а 4 — на боковых гранях,

причем боковые грани куба параллельны катетам основания (рис. 65). Найдите

ребро куба.

Усеченная пирамида

99. Докажите, что диагонали правильной четырехугольной усеченной пирамиды

пересекаются в одной точке.

100. Площади оснований усеченной пирамиды 75 и 147 см2. Найдите

площадь сечения, проходящего через середины всех боковых ребер.

101. Диагональ правильной четырехугольной усеченной пи­рамиды имеет длину 15

см и делит отрезок, соединяющий центры оснований, на части в 4 и 5 см.

Найдите площади осно­ваний усечённой пирамиды.

102. Отрезок 00\ = 27 см, соединяющий центры оснований правильной

четырехугольной усеченной пирамиды, разделил ее диагональ на части в 20 и 25

см. Найдите площади оснований.

103. Сторона меньшего основания, боковое ребро и сторона большего основания

правильной четырехугольной усеченной пирамиды составляют арифметическую

прогрессию с разностью 4 см. Высота усеченной пирамиды 7 см. Найдите площади

оснований.

104. В правильной шестиугольной усеченной пирамиде отре­зок, соединяющий

середину малой диагонали большего осно­вания с центром другого основания,

параллелен одному из боко­вых ребер. Как относятся площади оснований

усеченной пирамиды?

105. В правильной треугольной усеченной пирамиде сторо­ны оснований 2 и 5 дм,

высота 1 дм. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону меньшего

основания параллельно боковому ребру.

106. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды относятся,

как 1 : 3. Периметр боковой грани равен

периметру одного из оснований. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью

основания.

107. Центр каждого основания правильной треугольной усеченной пирамиды соединен

с вершинами другого основания (рис. 66). Найдите длину линии, которая соединяет

попарно точки пересечения построенных отрезков, если периметры осно­ваний

усеченной пирамиды равны Р и Р\.

Площадь поверхности усеченной пирамиды

108. Стороны основания правильней шестиугольной усечен­ной пирамиды 5 и 11

см. Расстояние между параллельными сторонами оснований, не лежащими в одной

грани, 19 см. Най­дите площадь поверхности усеченной пирамиды.

109. Сечение, проходящее через середины всех боковых ребер правильной

пирамиды, разделило ее на части, площади полных поверхностей которых

относятся, как 3 : 11. Определите двугранный угол при основании пирамиды.

110. Периметры оснований правильной треугольной усечен­ной пирамиды 18 и 36

см. Расстояние от вершины меньшего основания до противолежащей стороны

другого основания 7 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной

пи­рамиды.

111. Периметры оснований правильной шестиугольной усе­ченной пирамиды

АВСВЕРА\В1С\В\Ё\Р\ 28 и 124 см. Рас­стояние от вершины А \ меньшего

основания до прямой СЕ равно 17 см. Найдите площадь боковой поверхности

усеченной пира­миды.

112. Основания усеченной пирамиды — ромбы с отно­шением сторон 3 : 4 и

длинами сторон 15 и 25 см. Одно из боко­вых ребер перпендикулярно плоскости

основания и равно мень­шей диагонали меньшего основания. Найдите площадь

по­верхности усеченной пирамиды.

Правильные многогранники

113. Докажите, что тетраэдр с вершинами в центрах масс граней правильного

тетраэдра — правильный. Как относятся площади поверхностей этих тетраэдров?

114. В каком отношении делятся при пересечении высоты правильного тетраэдра?

115. Для каких п можно построить сечение октаэдра плос­костью,

являющееся правильным ге-угольииком?

116. Докажите, что градусные меры двугранного угла пра­вильного тетраэдра и

угла между смежными гранями октаэдра в сумме составляют 180°.

117. Точка О — середина высоты МО правильного тетраэдра МАВС.

Докажите, что лучи ОА, 0В, ОС попарно взаимно пер­пендикулярны.

Движения

118. Сколько центров симметрии имеют две параллель­ные плоскости? Какую

фигуру образуют все эти центры?

119. Постройте фигуру, симметричную данной треугольной пирамиде относительно

центра масс ее: а) основания; б) данной боковой грани.

120. Постройте фигуру, симметричную дайной правильной га-угольной пирамиде (п

== 4; 6; 3) относительно середины: высо­ты пирамиды.

121. АВСВА\В\С\В\ — параллелепипед, точка М 6 ал.

Постройте отрезок МN, у которого середина находится на плос­кости

СС\А, а точка N лежит на ребре СВ.

122. Постройте отрезок с концами на ребрах АВ и МС и сере­диной

на высоте МО правильной пирамиды МАВС.

123. Докажите, что любую четырехугольную пирамиду можно пересечь плоскостью

так, чтобы сечение имело центр симметрия.

124. Напишите уравнение плоскости, которая симметрична плоскости х + у -\- г

— 3=0 относительно точки М (2; 2; 2).

125. Дан квадрат АВСВ с вершинами А (4; 0; 0) и В (8; 3;

0), плоскость которого параллельна осж Ог. Найдите координаты вершин

квадрата, который симметричен данному относительно точки (2; 2; 2).

126. МАВСВ — правильная пирамида. Постройте фигуру, симметричную

относительно плоскости основания: а) средней линии боковой грани (два случая);

б) отрезку, соединяющему центры масс граней МАВ и МВС; в) грани

МАО.

127. АВСА\В\С\ — правильная приема. Постройте фигуру, симметричную

относительно плоскости АВВ\: а) отрезку В^', б) данному отрезку

с концами на ЕС и А\С\.

13В. Все ребра пирамиды МАВСВ равны. Найдите на плос­кости ее основания

точку, равноудаленную от точек Р и У, лежа­щих на МА и МС.

129. Точки В и Е находятся на боковых гранях правиль­ной

пирамиды МАВС. Найдите на плоскости АВС точку с наи­меньшей

возможной суммой расстояний от В и Е.

130. Точки В и Е находятся на высоте треугольной пи­рамиды

МАВС. Постройте на поверхности пирамиды все точки, равноудаленные от точек

В и Е.

131. Точки В та Е находятся на стороне основания правиль­ной пирамиды

МАВС. Найдите на поверхности пирамиды все точки, равноудаленные от В

и Е.

132. На гранях АВВ\А\ и ВСС\В{ правильной треугольной приемы

АВСА\В\С\ даны точки В и Е. Постройте равнобедрен­ный

треугольник, у которого вершина находится на ВВг, концы основания — на

АВ и ВС, а боковые стороны проходят че­рез В и Е.

133. Точки В и Е находятся на гранях МАВ и МВС

пра­вильной пирамиды МЛ.ВС. Постройте равнобедренный треуголь­ник с вершиной на

МВ, концами основания на АВ и ВС, чтобы боковые стороны

содержали В у. Е.

134. Точки Е и Р находятся на гранях МАВ и МСО

правиль­ной четырехугольной пирамиды МАВСО. Постройте равнобокую

трапецию, у которой одно основание лежит на основании пирамиды, концы другого —

на ребрах МВ и МС, а боковые стороны содержат точки Е и

Р.

135. АВСВЕРА\В\С\В\Е\Р\ — правильная призма. Построй­те на ее

поверхности все точки, принадлежащие плоскости сим­метрии плоскостей:

а)АА\В та СС\Р', б) АА\В и АА\Е; в) АА\В и АА\В;

г) АА^В и ВВ\С; д) АА^С и ВВ^Р; е) АА^В и

ВВ\Е;

ж) АА ,С и ВВ\Р.

Равенство пространственных фигур

136. Равны ли две треугольные призмы, если три стороны основания и боковое

ребро одной равны трем сторонам осно­вания и боковому ребру другой? Если нет,

то какое нужно до­полнительное условие, чтобы утверждать, что призмы равны?

137. Две пирамиды имеют равные высоты, их общее осно­вание — квадрат АВСО.

Докажите, что эти пирамиды равны, если их вершины ортогонально проектируются: а)

в точки А и С; б) середины двух сторон квадрата.

138. авсва\в[с\в\ — куб. Докажите, что пирамиды АВСВ\ и 1)В\С\В\ равны.

139. Сформулируйте несколько признаков равенства пра­вильных призм. Обоснуйте

эти признаки.

140. Сформулируйте несколько признаков равенства пра­вильных пирамид.

Обоснуйте эти признаки.

141. Докажите, что две треугольные призмы равны, если их боковые грани

соответственно равны.

142. Равны ли две прямые треугольные призмы, если все диагонали их боковых

граней соответственно равны?

143. МАВСВЕР — правильная пирамида. Докажите равен­ство пирамид: а)