сложить равносторон­ний треугольник?

116. Диагонали равнобокой трапеции взаимно перпендику­лярны. Продолжения боковых

сторон АВ и СВ пересекаются в точке М под углом в 30°.

Зная, что площадь треугольника ВМС равна О, найдите площадь

трапеции.

117. В полукруг радиуса 2 см вписана трапеция, периметр которой равен 10 см.

Найдите площадь трапеции.

Площади подобных фигур

118. Площадь треугольника равна 8. Каждую его сторону продлили на своей

длины в обе стороны. Найдите площадь шестиугольника, который получился, когда

соединили концы указанных отрезков.

119. В равносторонний треугольник АВС вписали треуголь­ник ВЕР,

стороны которого соответственно перпендикулярны сторонам треугольника АВС.

Найдите отношение площадей треугольников ВЕР и АВС.

120. Площадь треугольника АВС равна 120 см2. Каждую его

сторону разделили в отношении 1:2:1. Через точки деле­ния провели три прямые,

которые отсекли от треугольника три треугольника (рис. 47). Определите площадь

оставшегося шестиугольника.

121. На высотах ВК и ВМ ромба АВСВ построили ромб. Зная,

что его площадь вдвое меньше площади ромба АВСВ, найдите величины углов

ромба.

122. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 24 см. Прямая, параллельная

наименьшей медиане, разделила тре­угольник на части, площади которых

относятся, как 1 : 7. Найдите длину отрезка этой прямой, ограниченного

сторонами треугольника.

123. В прямоугольный треугольник, две большие стороны которого 8 и 10 см,

вписана окружность. Построив касательные к ней, соответственно параллельные

сторонам треугольника, получили шестиугольник. Найдите его площадь.

124. Основания трапеции 7 и 17 см. Прямая, параллельная основаниям, разделила

трапецию на равновеликие части. Най­дите длину отрезка прямой, ограниченного

боковыми сторонами трапеции.

125. Через внутреннюю точку М треугольника АВС проведе­ны три прямые,

соответственно параллельные сторонам тре­угольника АВС. Площади

образовавшихся треугольников с вер­шиной М равный), иг, <5з Найдите площадь

треугольника АВС.

Правильные многоугольники

126. На сколько областей делят плоскость прямые, на кото­рых лежат все

стороны данного правильного: а) шестиугольни­ка; б) восьмиугольника?

127. Треугольник АВС — равносторонний. Вне его построе­ны квадраты

АВВ\А\, АСС\Ач, ВССчВч. Прямые АА\ и ССа, ВВ1 и СС\, АА-г и

ВВг пересекаются в точках К, Ь, М (рис. 48). Докажите, что

шестиугольник АКСЬВМ — правильный.

128. Постройте правильный шестиугольник с центром в дан­ной точке О, зная,

что концы одной малой диагонали лежат на двух данных прямых.

129. Постройте правильный восьмиугольник, у которого центр находится в данной

точке О, а концы двух апофем, про­веденных к смежным сторонам,

находятся на данной окружно­сти и данной прямой.

130. Как изменится решение задачи 129, если концы назван­ных апофем лежат на

данной окружности, центр которой не О?

131. На сторонах квадрата АВС^ вне его построены равно­сторонние

треугольники АВК, ВСМ, СОР, ВАТ. Докажите, что середины отрезков

КМ, МР, РТ, ТК, АК, ВК, ВМ, СМ, СР, ОР, ОТ, АТ являются вершинами

правильного двенадцати­угольника.

132. Останется ли верным заключение задачи 131, если названные треугольники

построены внутри квадрата?

133. Точка М находится в плоскости правильного шести­угольника АВСВЕР.

Докажите, что можно построить шести­угольник, длины сторон которого равны

расстояниям от точки М до вершин А, В, С, ^, Е, Р.

134. Известно, что некоторый пятиугольник имеет не менее двух осей симметрии.

Является ли он правильным?

135. Выпуклый шестиугольник вписан в окружность и име­ет 3 оси симметрии.

Является ли он правильным?

136. Выпуклый двенадцатиугольник вписан в окружность. Известно, что он имеет

3 оси симметрии. Является ли он пра­вильным?

137. Докажите следующие утверждения о разности диагона­лей правильного

многоугольника А\АчАз..Ап'- а) при га = = 9 А\А^—А\Аг

равна стороне многоугольника; б) при га = 18 А\Ад — А\Ач == А\А^.

138. Квадрат вписан в окружность. Через середины каждых двух смежных сторон

квадрата построена прямая. Докажите, что точки пересечения этих прямых с

окружностью и вершины квадрата являются вершинами правильного

двенадцатиуголь­ника.

139. Прямая проходит через центр равностороннего тре­угольника АВС и

пересекает сторону ВС. Под каким углом к ВС нужно строить эту

прямую, чтобы ее отрезок, ограниченный двумя сторонами треугольника, имел

наименьшую возможную длину?

140. Через центр квадрата проходят прямые. Докажите, что для всех этих прямых

сумма квадратов их расстояний от вер­шин данного квадрата одинакова.

141. Останется ли верным утверждение задачи 140, если вместо квадрата дан

равносторонний треугольник; правильный шестиугольник?

142. Отрезки, соединяющие середину каждой стороны квад­рата с концами

параллельной стороны, ограничили выпуклый восьмиугольник (рис. 49). Является

ли он правильным?

143. В треугольник вписан квадрат так, что две вершины его лежат на основании

треугольника, а две — на боковых сторо­нах. Докажите, что сторона квадрата

больше радиуса, но мень­ше диаметра окружности, вписанной в этот треугольник.

144. Постройте правильный шестиугольник с центром в дан­ной точке, зная, что

концы одной из больших диагоналей шести­угольника лежат на данной прямой и на

данной окружности.

145. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до всех вершин

данного правильного многоугольника наимень­шая возможная.

146. а.п и Ьп — стороны вписанного и описанного правиль­ных

многоугольников с числом сторон п. Докажите, что а|п =--^-а Ъ

— о ^п^п.

147. Впишите в данный правильный шестиугольник наи­больший возможный квадрат.

Площадь многоугольника

148. Середины сторон выпуклого шестиугольника после­довательно соединены

отрезками. Докажите, что площадь по­лученного шестиугольника больше половины

площади началь­ного шестиугольника.

149. Выполнив возможно меньшее число разрезов, сложите из трех равных

правильных шестиугольников один правильный шестиугольник.

150. Решите задачу 149 для четырех правильных шести­угольников.

151. Докажите, что сумма расстояний от всех сторон выпук­лого равностороннего

многоугольника (или их продолжений) у всех внутренних точек многоугольника

одинакова.

152. Площадь правильного шестиугольника равна — про­изведения длин двух

неравных диагоналей. Докажите.

153. Площадь правильного двенадцатиугольника равна квадрату его диагонали.

Какой именно?

154. АВ и СВ — параллельные стороны правильного

две­надцатиугольника, АС и ВО не пересекаются. Докажите, что

АС и ВВ делят двенадцатиугольник на три равновеликие части.

155. На школьном вечере среди вопросов математической викторины был предложен

такой: «Выразите площадь правиль­ного восьмиугольника А\А•^А^А^А^А!,А^Ау.

через его линейные элементы». Поступили следующие ответы: 1) 2Д2 У2;

2) про­изведение наименьшей диагонали на наибольшую; 3) А\Аз Х X

А\А^, 4) кубический корень из удвоенного произведения длин стороны и всех

диагоналей, исходящих из одной вершины;

5) удвоенное произведение стороны на диагональ А\А^;

6) произведение двух неравных параллельных диагоналей. Какие из этих ответов

правильны?

156. Уголки квадрата срезаны так, что получился правиль­ный восьмиугольник.

На сколько процентов уменьшилась пло­щадь фигуры?

157. Сторона правильного шестиугольника равна а. Через вершину

шестиугольника проведена прямая, разделившая его на части, площади которых

относятся, как 1 : 3. Найди­те длину отрезка прямой, ограниченного сторонами

шести­угольника.

158. Вычислите площадь многоугольника по координатам всех его вершин.

159. Четырехугольник АВСВ разделен на три части отрезка­ми, которые не

пересекаются и делят стороны -АО и ВС на три равные части (рис. 50).

Докажите, что площадь средней части равна трети площади четырехугольника

АВСВ.

Длина окружности

160. Одна окружность построена на катете прямоугольного треугольника, как на

диаметре. Другая окружность проходит через середины всех сторон треугольника.

При каком условии обе окружности равны?

161. Сторона квадрата АВСВ равна 8см. Найдите длину окружности, которая

проходит через точки А v. В ти касается стороны СО квадрата.

162. В окружность радиуса Л вписан правильный двена­дцатиугольник. Его малые

диагонали пересекаются в точках, лежащих на некоторой окружности. Определите

ее длину.

163. В окружность радиуса Д вписан равносторонний тре­угольник АВС.

Найдите длину окружности, которая касается данной окружности и продолжений

сторон АВ и АС треуголь­ника.

164. Радиус окружности 2 см. Две окружности с радиусами по 1 см касаются одна

другой и внутренним образом касаются большей окружности. Найдите длину

окружности, касающей­ся этих трех окружностей.

165. Периметр равностороннего треугольника АВС равен Р. Найдите длину

окружности, которая касается стороны АВ и ме­диан АВ и ВЕ.

166. Длина отрезка равна половине длины окружности. Существуют разные способы

его построения:

а) Герона Александрийского:

б) А. Коханского: АВ — диаметр окружности, СВ —

каса­тельная, проходящая через точку В; А- СОВ == 30°, СВ == ЗЛ.

Искомый отрезок — АВ (рис. 51);

в) X. Гюйгенса: искомый отрезок равен 8012 В;

г) Если катеты прямоугольного треугольника 8 и 9, то по­ловина длины

окружности единичного радиуса равна разности между гипотенузой и 8, 9.

Проверьте точность построения отрезка этими способами.

. 167. Как относятся длины окружностей, одна из которых описана около

равностороннего треугольника, а другая про­ходит через центры вневписанных

окружностей.

Длина дуги окружности

168. Хорды АВ и СВ окружности параллельны. Докажите, что дуги АС и ВВ равны.

169. Докажите, что если две хорды окружности равны, то равны и дуги,

стягиваемые этими хордами.

170. Каждая сторона треугольника 6 см. По сторонам тре­угольника вне его

катится круг радиуса 2 см. Определите длину пути центра круга за один оборот

вокруг треугольника.

171. На стороне АВ == а правильного шестиугольника АВСВЕР вне

его построен квадрат. Этот квадрат перемещается вокруг шестиугольника так, что

все время одна из вершин квадрата совпадает с вершиной шестиугольника.

Определите длину пути центра квадрата за один оборот вокруг шести­угольника.

172. Каждая вершина квадрата со стороной а является центром окружности

радиуса а. Найдите периметр криволиней­ного четырехугольника,

ограниченного названными окружно­стями.

173. Вершины прямоугольника делят описанную окруж­ность на части, длины двух

из которых относятся, как 1 : 5. Найдите радианные меры углов, которые

диагональ прямо­угольника образует с его сторонами.

174. Радианные меры двух углов треугольника -^- и -^ .

Найдите отношение длин сторон треугольника, лежащих про­тив названных углов.

175. Вершина А равностороннего треугольника АВС являет­ся

центром окружности, проходящей через точки В и С. Бис­сектрисы углов В и С

пересекают окружность в точках М и Р. Определите радианную меру центральных

углов, соответствую­щих дугам РВ, ВС, СМ, МР.

Площадь круга и его частей

176. Периметр равностороннего треугольника Р. На высоте треугольника,

как на диаметре, построена окружность. Опреде­лите площадь части круга,

находящейся внутри треугольника.

177. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треуголь­ника о. На катете,

как на диаметре, построена окружность. Найдите площадь той части круга,

которая находится внутри

треугольника.

178. АВ — основание полукруга, точка М находится на окружности.

Построены полукруги с диаметрами АМ и ВМ. До­кажите, что сумма

площадей луночек (то есть частей полу­кругов, находящихся вне большого

полукруга) равна площади

треугольника АМВ.

179. АВ — диаметр полукруга, С — точка этого диаметр" СО —

перпендикуляр к АВ, причем точка В находится на ок­ружности.

Построены полуокружности диаметров АС та ВС внутрь полукруга. Докажите,

что площадь фигуры, ограничен­ной тремя названными полуокружностями (она

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15