2. В четырехугольнике проведены его диагонали. Какое наибольшее число прямых

углов может оказаться на рисунке?

3. Верно ли, что среди углов выпуклого четырехуголь­ника всегда найдется хоть

один прямой или тупой угол?

4. Постройте четырехугольник АВСВ по углам А и. В, сторонам

АВ, АВ и сумме двух других сторон.

5. У четырехугольника АВСD угол С — прямой. Постройте этот

четырехугольник по длинам сторон АВ, АВ, СВ и величине угла А.

Параллелограмм

6. Придумайте и обоснуйте признаки параллелограмма, от­личные от

рассмотренных в школьном пособии по геометрии.

7. Точка М находится внутри угла, вершина которого недоступна (то есть

лежит за пределами доступной части плос­кости). Постройте луч с началом М,

направленный на вершину угла.

8. Пластинку в виде параллелограмма разрезали на 3 части, каждая из которых

является равнобедренным треугольником. На рисунке 20 отмечено, какие отрезки

равны. Определите градусные меры углов параллелограмма.

9. Точка М находится внутри данного угла. Постройте отрезок, у которого

концы лежат на сторонах данного угла, а середина — в точке М.

10. Точки А и С находятся внутри данного угла. Постройте параллелограмм

АВСD, у которого вершины В и D находятся на сторонах данного угла.

11. АВСD — параллелограмм. Вне его построены квадраты АВРЕ и

ВСКМ. Докажите, что отрезки ЕВ и ВК взаимно

перпен­дикулярны.

12. Постройте параллелограмм АВСВ по положению бс] -шин Л и В и

расстояниям от данной точки М до вершин С и 1,

13. Постройте параллелограмм АВСD, если дана прям; и ВТ) и основания

высот, проведенных из вершины В.

14. АВС1> — параллелограмм. Вне его построены равно­сторонние

треугольники АВМ и ВСТ. Докажите, что А МОТ - равносторонний.

15. Периметр параллелограмма 48 см. Биссектриса одно а из углов делит

параллелограмм на две части, разность периметров которых 6 см. Найдите длины

сторон.

16. Через точку М на основании данного равнобедренного треугольника проведены

прямые, соответственно параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите,

что периметр полученного параллелограмма не зависит от выбора точки М.

17. Биссектриса угла В параллелограмма АВСD пересекает сторону

ВС и продолжение стороны АВ в точках М и N.

Докажите, что треугольники АВН и МСВ — равнобедренные.

18. Диагональ параллелограмма делит его угол в отноше­нии 1 : 3. Зная, что

длины сторон относятся, как 1 : 2, найдите углы параллелограмма.

Прямоугольник

19. Диагонали четырехугольника равны, два угла его — прямые. Является ли этот

четырехугольник прямоугольником?

20. Диагонали делят прямоугольник на 4 части, периметры

9 4 т. двух из них равны —и —периметра

прямоугольника. Как отно­сятся длины сторон прямоугольника?

21. На рисунке 21 изображена фигура, у которой каждые две соседние стороны

взаимно перпендикулярны. Найдите ее периметр.

22. Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника делит его сторону на

части, одна из которых вдвое больше другой. Определите, на какие части

диагональ делит угол прямоугольника.

23. Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника делит его сторону на

части, одна из которых равна меньшей стороне прямоугольника. Найдите угол

между диагоналями прямоугольника.

24. АВСВ — прямоугольник. На сторонах АВ и СВ отло­жены

равные отрезки ВМ и СЕ; МК — перпендикуляр, опущен­ный на

АС. Найдите /- ВКЕ.

25. На стороне ВС хтрямоугольника АВСВ есть такая точка М, что

/- АМВ == А. АМВ. Зная, что АВ = 2 АВ, найдите

вели­чины названных углов.

Ромб

26. Точка пересечения диагоналей четырехугольника равно­удалена от всех его

сторон. Установите вид четырехугольника.

27. Вне ромба АВСВ построен равносторонний треугольник АМВ. Найдите /- СМВ.

28. Решите задачу 27 для случая, когда М находится внутри ромба.

29. Биссектрисы углов ВАС и ВDС параллелограмма АВСD

пересекаются под углом 45°. Найдите угол между биссектри­сами углов АВВ

и АСВ.

30. Постройте ромб АВСD, если даны середина стороны и центры

окружностей, описанных около треугольников АВС »АВС.

31. Постройте ромб АВСВ по положению вершин А и В и расстоянию от данной

точки М до середины ВС.

32. Постройте ромб АВСВ по положению вершин А и С

расстоянию от данной точки М до середины ВС.

Квадрат

33. Какую фигуру образуют все точки плоскости, для каждой из которых сумма

расстояний от координатных осей равна 2?

| 34. Периметр квадрата 4. Найдите на плоскости квадрата все точки, для

каждой из которых сумма расстояний от сторон квадрата или их продолжений

равна 6.

35. В точках А, В, С прямой построены к ней перпенди­куляры АВ, СЕ

и ВР, причем АВ == ВС, СЕ = АВ, ВР == АС, первые

два в одной полуплоскости, третий — в другой (рис. 22). Докажите, что В —

центр квадрата со стороной ВЕ, А — центр квадрата со стороной ЕР, С

— центр квадрата со сторо­ной ВР.

36. На местности был отмечен участок АВСВ квадрат­ной формы. Из-за

дождей границы участка были размыты, остались веха в центре О участка и колышки

М ^ АВ и N (= СВ. Можно ли по этим данным

восстановить границы участка?

37. Можно ли решить задачу 36, если второй колышек нахо­дится на стороне ВС?

38. АВСВ — квадрат. На сторонах АВ и ВС отложены Равные отрезки

ВК и ВМ; ВТ — перпендикуляр, опущенный на КС. Найдите /-

МТБ.

39. Постройте квадрат: а) по сумме стороны с диагональю;

б) по разности длин диагонали и стороны.

40. Можно ли построить квадрат АВСВ, у которого разность Расстояний от

вершины В до прямых АВ и АС равна о?

41. АВСВ — квадрат. Найдите все такие точки М, что треугольники

МАВ, МВС, МСВ, МАВ будут равнобедренный •,

42. На прямой отмечены точки А, В, С, В так, что АВ = С

::), и построены квадраты со сторонами АВ, ВВ, АС, СО. Первые

два находятся по одну сторону от АО, последние — по другую. Являются ли

центры этих квадратов вершинами квадрат. ?

43. АВСВ, ВСЕР и РЕКМ — равные квадраты. Докажи, что ^. САМ

+ ^- ЕАМ + ^ КАМ == 90° (рис. 23).

44. АВ — высота остроугольного треугольника АВС, О -центр

квадрата, построенного на АВ вне треугольника, М ~ центр

квадрата, построенного на АС в одной полуплоскости с В (рис.

24). Лежат ли точки М, В, О на одной прямой?

Теорема Фалеса

45. На прямой отложены равные отрезки АВ и ВС. Как по­строить

через точки А, В, С параллельные прямые, чтобы они отсекли на другой

данной прямой отрезки длиной по а?

46. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Постройте через эти точки

параллельные прямые, чтобы они отсекли на данной прямой I отрезки

равной длины.

47. Точки А, В, С лежат на прямой I, причем АВ =^ ВС.

По­стройте через А, В, С параллельные прямые, которые отсекают на

данной прямой отрезки с разностью длин Ь.

48. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Постройте через эти

точки параллельные прямые, которые отсекают на данной прямой I

отрезки с разностью длин Ь.

49. АО — медиана треугольника АВС. Прямая СЕ пере­секает

сторону АВ в точке М и делит названную медиану по­полам.

Определите СЕ '. ЕМ и АМ : МВ.

50. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты такие

точки М и ^, что ВМ : АВ = ВН : ВС = 1 : 3. Точки Т) v Е

делят сторону А С на три равные части. Докажите, что МО = МЕ.

51. Медиана ВМ делит высоту АВ треугольника АВС в

отно­шении 3:1, считая от вершины. В каком отношении эта высота делит медиану

ВМ?

52. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведенной

к боковой стороне.

53. Из вершин В и D параллелограмма АВСD проведены тра высоты.

Как по серединам этих высот построить паралле­лограмм АВСD7

54. Постройте параллелограмм по середине стороны АВ и серединам высот,

проведенных из вершины В.

55. Постройте параллелограмм АВСD по серединам сторон ВС и

СВ и основанию высоты, проведенной из В к АВ.

56. Постройте параллелограмм АВСВ, если известна сере­дина стороны

АВ и основание высоты, проведенной из вершины В к АВ.

57. Постройте ромб АВСВ, если известны середина стороны АВ и

точки, в которых вписанная в ромб окружность касается сторон АВ и

ВС.

Средняя линия треугольника

58. Периметр параллелограмма АВСВ 80 см. Биссектрисы углов А и

В пересекаются в такой точке М, что сторона ВС делит отрезок АМ

пополам. Найдите длины сторон параллелограмма.

59. В параллелограмме АВСВ из вершин В и О проведены по две высоты.

Докажите, что середины этих высот являются вершинами некоторого

параллелограмма.

60. Дан треугольник АВС. Какая фигура образуется центра­ми всех таких

параллелограммов, у каждого из которых две стороны лежат на лучах АВ и

АС, а одна из вершин находится на стороне ВС?

61. В выпуклом четырехугольнике АВСD сумма углов при стороне АВ

90°, АВ == СВ. Докажите, что середины диагоналей и середины

сторон ВС и АВ являются вершинами квадрата.

62. Стороны параллелограмма 17 и 23 см. Биссектрисы всех его углов ограничивают

четырехугольник КЬМН. Найдите его диагонали.

63. АВ — диаметр полуокружности с центром О, в точках А и В

построены перпендикуляры к АВ. Касательная к полу­окружности в точке С

пересекает эти перпендикуляры в точках В и Т; АС и ВО

пересекаются в точке Е, ВС и ОТ пересекаются в точке М.

Параллельны ли АВ я ЕМ?

64. АВСВ — выпуклый четырехугольник, середины его сто­рон — А\, В\,

С\, В[. Середины сторон четырехугольника А\В\С\В\ — Л.2, В-г,

Сч, Вч. Середины сторон четырехугольника АчВчСчВч — Аз, Вз, Сз, Оз

и т. д. Укажите точку, которая нахо­дится внутри всех таких четырехугольников.

65. Средняя линия треугольника АВС образует со стороной АВ углы,

вдвое большие углов треугольника при этой стороне. Найдите величины углов

треугольника АВС.

66. Постройте треугольник АВС по положению точек А и В и точке,

в которой продолжение медианы АВ пересекает описан­ную окружность.

67. АВ — высота прямоугольного треугольника АВС. Бис­сектрисы

углов В и САВ пересекаются в точке М, а биссектрисы углов С и

ВАВ — в точке N. Параллельны ли прямые МП и ВС?

Трапеция

68. Из какого наименьшего числа прямоугольных треуголь­ников можно сложить

трапецию?

69. Докажите, что треугольную пластинку можно разрезать на три части, имеющие

форму трапеции.

70. Докажите, что четырехугольную пластинку можно раз­резать на три части,

имеющие форму трапеции.

71. Пластинка имеет форму равнобокой трапеции. Как раз­резать ее на три

равные трапеции, если: а) одно основание вдвое больше другого, б) длины

оснований 6 и 10 см?

72. Два противоположных угла трапеции относятся, как 2:3, а два других — как

3:5. Найдите углы трапеции,

73. Биссектрисы углов при большем основании трапеций перпендикулярны боковым

сторонам. Найдите углы трапеции

74. Постройте трапецию, если даны прямые, на которых лежат ее боковые стороны

АВ и СВ, середина диагонали АС и точка на прямой АВ.

75» Пластинка имеет форму трапеции, ее основания 6 .» 24 см, углы при большем

основании по 60°. Как разрезать трапецию на пять равных равнобоких трапеций?

76. Пластинку в форме трапеции можно разрезать на четыре равных равнобоких

трапеции. Определите величины углов этих трапеций.

77. Прямая отсекает от равностороннего треугольника тра­пецию, которая

делится диагоналями на 4 равнобедренных треугольника. Найдите угол между

диагоналями трапеции.

78. Три стороны трапеции равны. Окружность, построенная на большем основании,

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15