как на диаметре, делит боковую сторону пополам. Найдите градусные меры углов

трапеции.

79. АВСО — трапеция. Окружность, диаметром которой является меньшее

основание трапеции, касается ее большего основания и делит диагонали трапеции

пополам. Найдите величины углов трапеции.

80. Как разрезать квадратную пластинку на 8 частей, каж­дая из которых имеет

форму непрямоугольной трапеции?

81. Впишите в данную окружность трапецию, у которой одно из оснований

проходит через данную точку, а боковые сто­роны соответственно параллельны

двум данным прямым.

Средняя линия трапеции

82. Докажите, что если диагонали трапеции взаимно пер­пендикулярны и равны,

то ее высота равна средней линии.

83. Докажите теорему о средней линии трапеции, используя каждый раз один из

рисунков 25—31.

84. Постройте трапецию по средней линии, расстоянию между основаниями и углам

при одном из оснований.

85. На окружности даны точки А и В. Постройте две парал­лельные

хорды АС и ВО, у -которых: а) сумма длин о; б) разность длин

Ь.

86. Расстояние между основаниями трапеции равно средней линии. Найдите угол

между диагоналями трапеции.

87. Основания трапеции ВС и АО. На СВ взята такая точка М,

что АМ = АВ. Через В проведена прямая, параллельная

СВ, она пересекает АМ в точке Р. Докажите, что ВМ == РС.

88. Длина одного из оснований равнобокой трапеции втрое больше длины другого

основания. Из середины большего осно­вания меньшее видно под углом, вдвое

меньшим угла, под кото­рым большее основание видно из середины меньшего.

Найдите эти углы.

89. Если боковая сторона прямоугольной трапеции равна сумме оснований, то

окружность, построенная на этой стороне, как на диаметре, касается другой

боковой стороны. Докажите.

90. Основания трапеции 10 и 18 см, углы при меньшем основании по 120°. Как

относятся периметры фигур, на которые трапеция делится своей средней линией?

91. Докажите, что средняя линия трапеции меньше хоть одной из диагоналей

трапеции.

92. „Две окружности пересекаются в точке М. Как провести через эту точку

прямую, на которой названные окружности отсекают равные отрезки?

93. Окружность, построенная на большем основании тра­пеции, как на диаметре,

касается меньшего основания и про­ходит через концы средней линии. Найдите

градусные меры углов трапеции.

Четырехугольник и окружность

94. В окружность вписан четырехугольник АВСО. Бис­сектрисы углов А

и С пересекают окружность в точках Е и Р. Окажите, что

прямая ЕР проходит через центр окружности.

95. Один из углов четырехугольника АВСО равен 56°, АВ === =

ВС, АО == СО. Зная, что около четырехугольника можно опи­сать окружность,

найдите величину наибольшего угла четырех­угольника.

96. Докажите, что около равнобокой трапеции можно опи­сать окружность.

97. Докажите, что в трапецию можно вписать окружность только в том случае,

когда окружности, построенные на боко­вых сторонах, как на диаметрах,

касаются.

98. Диагонали выпуклого четырехугольника взаимно пер­пендикулярны. Из точки

их пересечения опущены перпен­дикуляры на все стороны четырехугольника.

Докажите, что основания этих перпендикуляров лежат на одной окруж­ности.

99. В окружность вписан прямоугольник АВСО. Из точки М

окружности опущены перпендикуляры МЕ и МР на диаго­нали

прямоугольника. Докажите, что расстояние между осно­ваниями перпендикуляров не

зависит от выбора точки М.

100. АА\, ВВ\, СС\ — высоты остроугольного треугольника АВС

пересекаются в точке Н. Докажите, что лучи А\Н, В\Н, С\Н делят

пополам углы треугольника А\В\С\.

101. Внутри треугольника АВС взята такая точка М, что ^- МАС =

/I МВА = /. МСВ == к. На стороны треугольника

АВС опущены перпендикуляры МА\, МВ\, МС\. Докажите, что ? эти

перпендикуляры образуют с соответствующими сторонами треугольника А\В\С\

углы по ос.

192. Две окружности пересекаются в точках атл.в. Прямая, проходящая

через А, пересекает окружности в точках С и О;

прямая, проходящая через В, пересекает окружности в точках Е и Р.

Докажите, что СЕ || ВР. Верно ли это утверждение, если хорды.

АС и ВЕ пересекаются?

103. Три окружности проходят через точку М и попарно пересекаются в точках

А, В, С. Прямая, проходящая через точку А, пересекает две окружности

в точках О и Е. Докажите, что прямые ВВ и ЕС пересекаются на третьей

окружности (рис. 32).

104. Из всех параллелограммов около окружности можно описать только ромб.

Докажите.

105. Около окружности с центром О описан четырехугольник АВСВ. Докажите,

что ^ 'АОВ + ^- СОВ = ^ ВОС + ^ АОВ.

106. Около окружности описан четырехугольник АВСВ, его стороны касаются

окружности в точках К, Ь, М, N. Мож­но ли по углам А, В, С

определить углы четырехугольни­ка кьмт

107. Три стороны описанного четырехугольника 23, 26 и 53 см. Определите длину

четвертой стороны.

108. Точки касания делят стороны АВ, ВС, СО описанного четырехугольника

в отношениях 1:2, 3:4, 3:5. В каком отно­шении делится точкой касания сторона

АО'1

Прямоугольные координаты

109. Радиус окружности 3. Сколько точек с целочислен­ными координатами может

оказаться внутри окружности?

110. Шахматная доска расчерчена на равные квадраты. Считая сторону квадрата

равной 1 и приняв две из начерченных линий за координатные оси, определите,

сколько на доске точек с целочисленными координатами.

111. Решите задачу 110 для стоклеточной доски (для между­народных шашек).

112. Тетрадный лист разграфлен на квадраты со стороной 0,5 см. Размеры листа

164 X 203 мм. Две из построенных пря­мых приняты за оси координат, в качестве

единицы взят 1 см. Сколько на этом листе точек с целочисленными координатами?

113. Найдите координаты вершин треугольника, если коор­динаты середин его

сторон (4; 5), (6; 4), (8; 8).

114. Если у четырехугольника АВСВ х^ + Хс == Хд + Хц

и Ул 4- Ус ==' Ув + Ув > то этот

четырехугольник — параллело­грамм. Докажите.

115. Если у трапеции суммы абсцисс концов боковых сторон одинаковы, то

средняя линия трапеции перпендикулярна оси абсцисс. Докажите.

116. Даны графики у = х2 + 5 и у = х

2 — 5. Докажите, что можно построить отрезок, параллельный оси

абсцисс, у ко­торого концы находятся на данных графиках, а длина менее 0,01.

Параллельный перенос

117. Вершины треугольника находятся в точках (—1; 1), (11; 1), (11; 6). В

результате параллельного переноса центр описанной окружности переместился в

точку (8; 7). В какие точки переместились вершины треугольника?

118. Какой параллельный перенос нужно выполнить, чтобы

, 4ж + 2 - , 10, вместо графика у = ————

получить график у == — —'

119. Постройте четырехугольник по длинам всех его сторон и расстоянию между

серединами двух противоположных сторон.

120. Постройте четырехугольник по трем сторонам и углам при четвертой стороне.

121. Постройте равносторонний треугольник периметра Р, имеющий две вершины на

двух данных параллельных прямых, а третью — на данной окружности.

122. Постройте квадрат со стороной а, у которого концы одной стороны

находятся на двух данных параллельных пря­мых, а центр — на данной окружности.

123. Постройте квадрат, у которого три вершины лежат на трех данных

параллельных прямых, а четвертая — на данной окружности.

124. Даны две окружности и прямая I. Постройте прямую, параллельную

I, на которой данные окружности отсекают рав­ные отрезки.

125. АВ — диаметр полуокружности, СО — хорда, не па­раллельная

АВ. Найдите на полуокружности такую точку М, чтобы прямые М.А

и МВ пересекали СО в точках, расстояние между которыми равно а.

Сложение векторов

126. Векторы ОМ и МТ равной длины взаимно перпенди­кулярны.

Зная, что Т (7; 17), найдите координаты векторов.

127. Длины векторов АВ и АС равны. Докажите, что вектор АВ

+ АС лежит на биссектрисе угла ВАС или параллелен ей.

128. МА, МВ, МС — радиусы окружности. Известно, что МА + МВ

+ МС = 0. Найдите углы между радиусами.

129. Четырехугольник АВСВ вписан в окружность с цент­ром М.

Зная, что МА + МВ + МС + МВ == 0, определите вид

четырехугольника.

130. Докажите, что вектор а (8; 8) коллинеарен Ь -\- с,

если Ъ (5; 12), с (12; 5).

131. В окружность радиуса 6 см вписан прямоугольник АВСВ, М — точка этой

окружности. Найдите длину вектора

МА + МВ + МС + МВ.

132. В окружность с центром О вписан равносторонний треугольник АВС.

Зная, что. ОМ == 18 см, найдите длину век­тора МА + МВ + МС.

133. Докажите, что можно построить треугольник, стороны которого равны медианам

треугольника АВС.

134. На плоскости даны точки А, В, С, В, Е, никакие три из которых не

лежат на одной прямой. Докажите, что можно по­строить пятиугольник, стороны

которого равны АС, ВО, СЕ, АВ, ВЕ.

135. АВСВ — параллелограмм. Точка М не принадлежит ни одной

прямой, содержащей сторону параллелограмма. Дока­жите, что можно построить

четырехугольник, длины сторон которого МА, МВ, МС, МВ.

Умножение вектора на число

136. Шесть точек соединены последовательно отрезками АВ, ВС, СО, ВЕ, ЕР, РА.

Середины этих отрезков — Ао, Во, Со, Во, Ео, ро. Докажите, что

для любой точки Г: ТАо + ТСо + +ТЕо=~ТВо+~ТВо+ТР~о.

137. АВСВ — четырехугольник, у которого сумма рас­стояний между

серединами противолежащих сторон равна ^по­ловине периметра четырехугольника.

Докажите, что АВСВ — параллелограмм.

138. Докажите, что, если М — точка пересечения медиан

треугольника АВС, то СМ == ^-(са + СВ}.

139. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите, что для

любой точки Т: ТМ = -^-(ТА + ТВ + ГС").

о

140. Точка С лежит между А и В, причем АС'.СВ = пг:п.

Докажите, что для любой точки Т:

ТС = —"-— ТА + —"——ТВ.

т + п т + п

141. На сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС соответ­ственно

взяты такие точки С\, А\, В\, что АС\ '. С\В = = ВА\ '. А\С

== СВ\ '. В\А. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника

АВС и точка пересечения медиан треуголь­ника Д^С! совпадают.

142. АВСВ и А\В\С\В\ — параллелограммы. Верно ли, что середины

отрезков АА\, ВВ\., СС\, ВВ\ являются вершинами параллелограмма?

Косинус угла

143. Докажите, что если а ф Ъ и аЪ ~> О, то существует ост-

2аЬ рыи угол, косинус которого равен —з . ^ •

144. Докажите, что при любом действительном п =И= 1 суще­ствует острый

угол, косинус которого равен "

2я2 — 2п + 3

Теорема Пифагора

+ 145. Докажите, что сумма кубов катетов прямоугольного треугольника меньше куба

его гипотенузы. ^ 146. Докажите, что если Ь2 + с2

== 2о2, то существует прямо-

„ & Ч- с Ь — с угольный

треугольник, длины сторон которого а, —-—, —„—

&» ^

147. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с кате-

, „ л 1 _- а2 , б2 „ 2

тами а, Ь и гипотенузой с: а) —^ —а——г + -тт-—г ^ т-!

А (I -{- С О -\- С О

2 ^ о2 , Ь2 ^, ,. _<, в3 | Ь3 , 5

Й\ " ^- " 1 и ,-- 1 . ^. " 1 " ^- "

б) Т ^ Т^ТТ- -г- ^ч~7 < - ' В; ^Т^ + ^Т^ < I»

148. Докажите, что сумма катетов прямоугольного треугольника меньше гипотенузы.

149. Сумма углов при стороне АВ выпуклого четырехуголь­ника АВСВ

равна 90°. Докажите, что ВС2 + АВ2 == АС2

+ ВВ2. ^ 150. Докажите, что сумма квадратов медиан

прямоуголь­ного треугольника в полтора раза больше квадрата его гипо­тенузы.

151. Докажите, что квадрат наименьшей медианы прямо-

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15