одной какой-либо точке этого промежутка.

3.2.2.Достаточное условие. Второй признак.

Нередко более удобным на практике оказывается другой признак существования

экстремума, основанный на выяснении знака второй производной в стационарной

точке.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1:Если х0 есть стационарная точка функции f(x) и

f’’(x)<0, то в точке х0 функция иммет максимум,а если f’’(x)>0

, то функция имеет в точке х0 минимум.

Доказательство: По определению второй производной

(f’(x)-f’(x0)

f’’(x0)=lim-------------

x-x0

По условию теоремы f’(x)=0. Поэтому

f’(x)

f’’=lim----------

x-x0

Допустим , что f’’(x)<0. Тогда по теореме о пределах функции найдётся такой

интервал (x0-,x0+), в котором переменная величина

f’(x)/(x-x0) сохраняет знак своего предела, т. е. выполняется

неравенство

f’(x)

----------<0 (x0- <x<x0+ )

x-x0

Отсюда следует,что f’(x)>0 , если х-х0<0, или х>х0

, и f’(x)<0, если х-х0>0, или х>х0. На оснавании

первого достаточного признака существования экстремума заключаем, что в точке х

0 функция f(x) имеет максимум. Аналогично показывается, что условие

f’’(x)>0 обеспечивает минимум функции f(x).

ч.т.д.

Таким образом получаем правило нахождения экстремумов (для дважды

дифференцируемых функций):

1.Вычисляем первую производную f’(x) и из уравнения f’(x)=0 находим

стационарные точки функции f(x).

2.Вычсляем вторую производную, и каждую стационарную точку х0

подвергаем испытанию:

- если f’’(x)>0, то х0 – точка минимума функции;

- если f’’(x)<0, то х0 – точка максимума функции.

Замечание 1 : если f’’(x)=0 ,то это правило теряет силу и нужно воспользоваться

первым признаком нахождения экстремумов. При этом экстремум может существовать

, а может и не существовать.(Например, как для функции y=x3,так и

для функции y=x4,вторая производная обращается в нуль в точке х=0,

но первая из них не имеет экстремумов в точке х=0, а вторая имеет в ней минимум

(рис.4)).

Однако в случае своей применимости второй признак окаывается весьма удобным :

вместо рассмотрения знака функции f’(x) в точках, отличных от предполагаемой

точки экстремума, он позволяет дать ответ по знаку функции f’’(x) в той же

точке.

3.3.Использование высших производных.

В случае, когда f’’(x)=0 (f’(x)=0) экстремум может быть, а может и не быть.

Рассмотрим общий случай.

Теорема 3.2:Пусть функция f:U(x0) R, определенная в окрестности U(x

0) точки х0, имеем в х0 производные до порядка n

включительно (n>1).

Если f’(x0)=.=f (n-1)(x0)=0 и f(n)

(x0)=0 , то при n нечетном в х0 экстремума нет, а при n

четном экстремум есть, причем это строгий локальный минимум, если f(n)

(x0)>0 , и строгий локальный максимум, если f (n)(x

0).

Доказательство:Используя локальную фурмулу Тейлора

f(x)-f(x0)=f(n)(x0)(x-x0)n+ (x)(x-x0)n (3.2)

где (x) 0 при x x0,будем рассуждать так же, как при доказательстве

леммы Ферма. Перепишем (2) в виде

f(x)-f(x0)=(f(n)(x0)+ (x))(x-x0)n (3.3)

Поскольку f(n)(x0)=0,а (x) 0 при x x0,

сумма имеет знак fn(x0),когда х достаточно близок к х

0. Если n нечетно, то при переходе через х0 скобка (х-х0

)n меняет знак и тогда изменяется знак всей правой , а следовательно,

и левой части равенства (3.3). Значит, при n=2k+1 экстремума нет.

Если n четно, то (x-x0)n>0 при x=x0

и,следовательно, а малой окрестности точки х0 знак разности f(x)-f(x

0), как видно из равенства (3.3), совпадает со знаком f(n)(x

0) :

- пусть f(n)(x0),тогда в окрестности точки х0

f(x)>f(x0), т. е. в точке х0 – локальный минимум;

- пусть f(n)(x0)>0,тогда f(x)>f(x0

) ,т. е. в точке х0 локальный минимум.

ч.т.д.

4.Экстремумы функций трех переменных.

4.1.Необходимые условия экстремума.

Пусть функция v=f(x,y,z) определена в области D и (x0,y0,z

0) будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция v=f(x,y,z) в точке (x0,y0,z0

) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

(x0- ,x0+ , y0- ,y0+ ,z0- ,z0+ )

что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство

f(x,y,z)<f(x0,y0,z0)

(>)

Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён,

т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x0,y0

,z0) выполнялось строгое неравенство

f(x,y,z)<f(x0,y0,z0)

(>)

то говорят, что в точке (x0,y0,z0) имеет место

собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют

несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной)

употребляется общий термин – экстремум.

Предположим, что наша функция в некоторой точке (x0,y0,z0) имеет экстремум,

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные

fx’(x0,y0,z0), fy’(x0,y0,z0) ,fz’(x0,y0,z0)

то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных

производныхпервого порядка является необходимым условием существования

экстремума.

С этой целью положим y= y0,z= z0 сохраняя х переменным ;

тогда у нас получится функция от одной переменной х :

v=f(x, y0,z0)

Так как мы предположили, что в точке (x0,y0,z0)

существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в

частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности (x0- ,x

0+ ) точки x=x0, необходимо должно выполняться неравенство

f(x, y0,z0)<f(x0,y0,z0)

так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь

максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что

fx’(x0,y0,z0)=0

Таким образом можно показать, что в точке и остальные частные производные

равны нулю.

Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых частные

производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти,

решив систему уравнений

fx’(x,y,z)=0

fy’(x,y,z)=0 (4.2)

fz’(x,y,z)=0

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются

стационарными.

4.2.Достаточное условие экстремума.

Как и в случае функции одной переменной, в стационарной точке вовсе не

обеспечено наличие экстремума.Таким образом, встает вопрос об достаточных для

существования (или отсутствия) экстремума в стационарной точке, то есть о том

исследоовании, которому эта точка должна быть дополнительно подвергнута.

Предположим, что функция v=f(x,y,z) определена, непрерывна и имеет непрерывные

частные производные первого и второго порядков в окрестности некоторой точки (x

0,y0,z0), которая является стационарной, т.е.

удовлетворяет условиям

fx’(x0,y0,z0)=0,fy’(x0,y0,z0)=0 ,fz’(x0,y0,z0)=0

Чтобы установить, действительно ли наша функция имеет в точке (x0,y

0,z0) экстремум или нет, естественно обратимся к рассмотрению

разности

= f(x,y,z)- f(x0,y0,z0)

Разложим ее по формуле Тейлора,

= { fx ’’ x12+fx ’’ x2

2+.+fx ’’ xn2+2fx1x2 ’’ x

1 x2+ +2fx1x3 ’’ x1 x3+.+2f

xn-1xn ’’ xn-1 xn}= fxixj ’’ xi

xj

где x= xi-xi0 ; производные все вычеслены в некоторой точке

(x10+0 x1, x20+0 x2,., xn0+0 xn) (0<0<1)

Введём и здесь значения

fxixj ’’ (x10,x20,.,xn0)=aik (i,k=1,2,.,n) (4.2)

так что

fxixj ’’ (x10+0 x1, x20+0 x2,., xn0+0 xn)= aik+ ik

и

ik 0 при x1 0,., xn 0 (4.3)

Теперь интеесующее нас выражение можно написать в виде:

= { aik xi xk+ ik xi xk} (4.4)

На первом месте в скобках здесь стоит второй дифференциал функции f в

рассматриваемой точке : он представляет собой однородный одночлен второй

степени или, как говорят, квадратичную форму от переменных x1,., x

n. От свойств этой квадратичной формы, как мы увидим, и зависит решение

интересующего нас вопроса.

В высшей алгебре квадратичную форму

aik yi yk (aik = aki) (4.5)

от переменных y1,.,yn называют определенной положительно

(отрицательно), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех

значениях аргументов, не равных одновременно нулю.

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы форма (4.5) была

определенной и положительной принадлежит Сильвестеру (J.J.Sylvester). Оно

выражается цепью неравенств:

a11 a12 a11 a12 a13

a11>0, a21 a22 , a21 a22 a23 >0,

a31 a32 a33

Так как определенная отрицательная форма с изменением знака всех её членов

переходит в определенню положительную, и обратно, то отсюда легко найти и

характеристику отицательной формы : она дается цепью неравенств, которая

получается из написанной выше изменением смысла неравенств через одно

(начиная с первого).

a11 a12 a11 a12 a13

a11>0, a21 a22 a21 a22 a23 >0

a31 a32 a33

Следовательно, чтобы исследовать точку М(x0,y0,z0

) на экстремум , надо исследовать квадратичную форму ( 4.5).

Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема : Пусть в некоторой области, содержащей точку М(x0,y0

,z0), функция f(x,y,z) имеет непрерывные частные производные до

второго порядка включительно; пусть кроме того, точка М(x0,y0

,z0) является критической точкой функции f(x,y,z), т.е.

f(x0,y0,z0) f(x0,y0,z0) f(x0,y0,z0)

--------------- =0, ---------------=0, ---------------=0

x y z

Тогда при x=x0,y=y0,z=z0 :

1) f(x,y,z) имеет максимум , если

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2

---------------<0 , -------------------------------- - --------------- >0

x2 x2 y2

x y

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2

--------------- -------------------------------- - --------------- --

x2 x2 z2

y z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- --------------- -------------------------------- --

x y x y z2

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- --------------------------------- +

x z y z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

+ --------------- -------------------------------- --

x z x y y z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- ------------------------------- >0

x z y2

2) f(x,y,z) имеет минимум, если

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2

--------------->0 , -------------------------------- - --------------- >0

x2 x2 y2

x y

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2

--------------- -------------------------------- - --------------- --

x2 x2 z2

y z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- --------------- -------------------------------- --

x y x y z2

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- --------------------------------- +

x z y z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

+ --------------- -------------------------------- --

x z x y y z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- ------------------------------- >0

x z y2

3)если

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7