2,.,x``m+1), отображающиеся при отображении Ф в указанные точки

окрестностиV`.

Ф(x`*)=(f0(x(0))+n,0,.,0)

Ф(x``*)=(f0(x(0))-n,0,.,0)

Если положим для краткости x`=(x`1,x`2,.,x`m+1

,x(0)m+2,.,xn(0)) и x``=(x``1

,x``2,.,x``m+1,x(0)m+2,.,xn

(0)), то в координатной записи (6.15) получим

f0(x`)= f0(x(0))+n> f(x(0)) , fk(x`)=0, k=1,2,.,n , x` Q n

и

f0(x``)= f0(x(0))-n> f(x(0)) , fk(x``)=0, k=1,2,.,n , x`` Q n

В силу произвольности 0>0,0<0<0 , это и означает , что x(0)

не является точкой условного экстремума.

ч.т.д.

Доказательство следствея. Если векторы f1, f2,., f

m линейно независимы , то в равенстве (6.8) имеем 0

=0 так как в случае 0=0 указанные векторы в силу (6.8)

оказались бы линейно зависимыми .Разделив обе части на 0 получим

равенство вида (6.9).

ч.т.д.

Пример №5.

Пусть требуется найти экстремум функции u=xyzt при условии x+y+z+t=4c; область

изменения переменных определяетссся неравенствовами x>0, y>0, t>0,

z>0.

Применяя к этой задаче метод Лагранжа, введем вспомогательную функцию

Ф=xyzt+ (x+y+z+t)

И составим условия

Фx =yzt+ =0

Фy =xzt+ =0

Фz =yxt+ =0

Фt =yzx+ =0

откуда

yzt=xzt=xyt=xyz

так что

x=y=z=t=c.

6.4.Стационарные точки функции Лагранжа.

В этом пункте будет дано описаие стационарных точек функции Лагранжа (6.10)

посредством фукции 0(xm+1,xm+2,.,xn),

введенной в пункте 6.2 (см.(6.8)).Предварительно докажем одну простую лемму из

линейной алгебры.

Пусть задана система линейных однородных уравнений

ai1x1+.+ ainxn=0 i=1,2,.,m (6.16)

и еще одно линейное однродное уравнение

b1x1+.+ bnxn=0 (6.17)

Cистему уравнений , полученную присоединением к системе (6.16) уравнения

(6.17), будем называть расширенной системой (6.16)-(6.17).

Лемма: Для того чтобы расширенная система (6.16)-(6.17) была равносильна

основной системе (6.16) необходимо и достаточно , чтобы уравнение (6.17)

являлось линейной комбинацией уравнений системы (6.16).

Следствие:Для того чтобы уравнение (6.17) было линейной комбинацией уранений

(6.16) или , что то же самое , чтобы вектор

b==(b1,.,bn) (6.18)

был линейной комбинацией векторов

ai ==(ai1,.,ain) i=1,2,.,m (6.19)

необходимо и достаточно , чтобы каждое решение системы (6.16) являлось

решением уравнения (6.17).

Доказательство леммы . Пусть ранг матрицы (aij) коэффициентов системы

(6.16) равен m0 . Очевидно , что m0<m . Если m0

<m, то уравнений системы (6.16) являются линейными комбинациями остальных.

Отбросив те m-m0 линейных уравнений , которые являются линейными

комбинациями оставшихся , получили систему из m0 линейно независимых

уравнений . равносильную системе (6.16), причем уравнение (6.17) является

линейной комбинацией уравнений системы (6.16) тогда и только тогда , когда оно

является линейной комбинацией указанной системы из оставшихся m0

уравнений. Поэтому будем с самого начала считать , что , m0=m т.е.

что ранг матрицы (aij) коэффициентов системы (6.16) равен m– числу

уравнений этой системы.

Пусть система (6.16) и (6.16)-(6.17) равносильны. Это означает, что

пространства их решений совпадают.Поскольку все уравнения основной системы

(6.16) входят в расширенную систему (6.16)-(6.17), то каждое решение

расширенной системы является и решением основной системы , т.е. пространство

решений расширенной системы содержится в пространстве решений основной

системы. Следовательно , слвпадение этих пространств равносильно равенству их

размерностей.

Размерность s пространства решений системы линейных днородных уравнений равны

, как известно , числу неизвестных n этой системы , из которого вычтем ранг r

матрицы коэффициентов системы : s=n-r.Отсюда следует , что равносильность

систем (6.16) и (6.16)-(6.17) означает равенство рангов их матриц.Ранг

матрицы коэффициентов системы (6.16) по условию равен m , т.е. векторы (6.19)

линейно независимы.

Ранг матрицы коэффициентов расширенной системы (6.16)-(6.17) согласно

сказанному в наших условиях также равен m.Поэтому векторы (см.(6.18) и

(6.19))

b, a1,., am (6.20)

линейно зависимы.А это означает , что b является линейной комбинацией векторов a

1,., am.

В самом деле , линейная зависимость векторов (6.20) означает , что существуют

такие числа 0, 1,., m, не все равные

нулю . что

0b+ 1a1+.+ mam=0 (6.21)

Здесь заведамо 0=0, так как в противном случае векторы a1

,., am оказались бы линейно зависимыми. Поделив равенство (6.21) на

0, получим , что b является линейной комбинацией векторов a1,.,

am .

Обратно, если b является линейной комбинацией векторов (6.19), то в системах

векторов (6.19) и (6.20) имеется в точности по m линейно независимых векторов

, т.е. ранги матриц коэффициентов систем уравнений (6.16) и (6.16)-(6.17)

равны.

Итак, условие , что вектор b является линейной комбинацией векторов (6.19) :

1a1+.+ mam=b

эквивалентно равенству рангов матриц коэффициентов рассматриваемых основной и

расширенной системв уравнений, следовательно, эквивалентно их равносильности.

ч.т.д.

Доказательство следствия сразу следует из леммы, поскольку системы (6.16) и

(6.16)-(6.17) очевидно равносильны тогда и только тогда , когда каждое

решение системы (6.16) является и решением уравнения (6.17) – остальные

уравнения систем просто совпадают.

ч.т.д.

Замечание 1 : доказанная лемма и ее следствие имеют простую геометрическую

интерпритацию в n–мерном евклидовом векторном пространстве Rn, т.е.

в n–мерном пространстве со скалярным произведением.Используя обозначение

скалярного произведения, систему (6.16) можно записать в виде

(ai,x)=0 i=1,2,.,m (6.22)

а уравнение (6.17) в виде

(b,x)=0

(6.23)

где векторы a1,., am и определены в (6.18) и (6.19) , а x=(x1,x2,.,xm+1)

Множество всевозможных линейных комбинаций векторов a1,., am

образуют подпространство пространства Rn и называется

подпространством, натянутым на эти векторы.Обозначим его через Z=( a1

,., am).

Множество решений системы (6.22) состоит из всех векторов х, ортоганальных

подпространству Z=( a1,., am) Обозначим это множество

решений через Т.Оно также является подпространством пространства Rn.

Подпространства L==Z(a1,., am) и Т называются

ортоганальными дополнениями друг друга в пространстве Rn.

Поскольку L=Z( a1,., am), то представимость вектора b в

виде линейной комбинации векторов a1,., am равносильна

его принадлежности подпространству L пространства Rn:b L.Это условие

в свою очередь, равносильно ортоганальности вектора b подпространству Т:b _Т,

которая означает, что для всех x Т имеет место равенство (b,x)=0,т.е.что любое

реение х системы (6.22) является решением уравнения (6.23).Это и является

утверждением следствия леммы.

Замечание 2 : напомним метод, которым можно получить все решения однородной

системы линейных уравнений.Пусть система (6.16) состоит из линейно

независимых уравнений.Тогда ранг матрицы его коэффициентов равен m.Это

означает , что существует минор этой матрицы порядка m, не равный нулю.Пусть

для определенности

a11. a1m

am1. amm (6.24)

В этом случае все решения системы (6.16) можно получить , задавая произвольно

последние n-m координаты вектора (x1,x2,.,xn).

Остальные координаты однозначно находятся из системы уравнений (6.16).В самом

деле, возьмем произвольное решение (x1(0),x2

(0),.,xn(0)) системы (6.16).После подстановки x

m+1= x(0) m+1,., xn= xn

(0) в (6.16) получится система из m линейных уравнений (с m неизвестными x

1,x2,.,xn), матрицы коэффициентов которой в силу

условия (6.24) невырожденная.Поэтому существуют единственные значения x1

,x2,.,xn, удовлетворяющие получившейся системе.Поскольку

(x(0)1,x(0)2,.,x(0)

n). также было решением системы (6.16), то x1=x(0)

1, x2=x(0)2,., xm=x(0)

m .

Перейдем теперь к анализу стационарных точек функции Лагранжа.

Теорема 6.2: Пусть функции f0, f1, f2,., f

m непрерывно дифференцируема в области G Rn, x(0)

G

fi(x)=0, i=1,2,3,.,n

а ранг матрицы Якоби функций f1, f2,., fm в

точке x(0) равен m.Для того чтобы в точке x(0)=(x

(0)1,x(0)2,.,x(0)n)

градиент f0 являлся линейной комбинацией градиентов f1,

f2,., fm необходимо и достаточно, чтобы точка x(0)

=(x(0)1,x(0)2,.,x(0)

n) была стационарной точкой для функции.

g(x)=g(xm+1,.,xn)

Напомним,что если в точке x(0) градиент f0 является линейной комбинацией

f0= 1f1+ 2f2+.+ mfm (6.25)

градиентов f1, f2,., fm, то это равносильно

тому, что существует функция Лагранжа

F= f0- 1f1- 2f2-.- mfm (6.26)

для которой точка x(0) является стационарной :

F(x(0))

xi i=1,2,.,n (6.27)

Это просто координатная запись (6.25) ,ибо в силу (6.26)

F(x(0)) f0 f1 f2 fm

xi xi xi xi xi i=1,2,.,m

Доказательство: По условию ранг матрицы Якоби системы функций f1, f

2,., fm в точке x(0) равен m .Будем считать для

определенности , как и в пункте 6.2 ,что

(f1, f2,., fm)

(x1,x2,.,xm) x(0) (6.28)

Подставим в уравнение связи (6.3) функции (6.5) , являющиеся решением этих

уравнений , и продеффиренцируем получившееся относительно переменных xm+1

,.,xn тождества.Получим для точки x(0) равенства dfi

(x(0))=0, i=1,2,.,m, справедливые для любых приращений dx

m+1,.,dxn независимых переменных xm+1,.,xn

(напомним, что дифференциал являетсся линейной функцией , определенной на всем

пространстве)Использовав инвариантность формы первого дифференциала

относительно выбора переменных , получим , что в точке выполняется равенство

fi fi fi fi i=1,2,.,m

x1 xm xm+1 xn (6.29)

где xm+1,.,xn произвольные , а x1,.,xm

находятся изформул (6.5). Таким образом вектор dx=( dx1,.,dxm

,dxm+1,.,dxn) является решением линейной однородной

системы (6.29).

Отметим , что в силу условия (6.28) значения dx1,.,dxm при

заданных dxm+1,.,dxn однозначно находятся и из системы

(6.29). Из замечания 2 следует также , что указанным способом получаются все

решения системы (6.29).

Стационарность точки x(0) для функции g(x)=g(xm+1,.,xn)

означает , что dg(x(0)).Это равенство , в силу инвариантности формы

первого дифференциала, можно более подробно записать в виде

f0 f0 f0 f0

x1 xm xm+1 xn (6.31)

где dxm+1,.,dxn можно задавать произвольно, а dx1

,.,dxm следует находить из формул (6.5) или , что дает тотже

результат из формул (6.29). Инач говоря , любое решение системы уравнений

(6.29) является и решением уравнения (6.31). Согласно следствию из леммы это

возможно тогда и тoлько тогда , когда уравнение (6.31) является линейной

комбинацией уравнений системы (6.29) , т.е. когда существуют такие числа , что

f0= 1f1+ 2f2+.+ mfm

ч.т.д.

Замечание 3 : Согласно замечанию 2 совокупность всех решений систеиы уравнений

(6.29) образуют подпространство Т пространства Rn, являющееся

ортогональным дополнением к подпространству L=Z( f1, f2

,., fm) . Любой вектор y T ортогонален каждому градиенту fi

, а поэтому его естественно назвать касательным вектором в точке x(0)

к гиперповерхности fi(x)=0 , являющиеся множеством уровня функций f

i,i=1,2,.,m.

Таким образом , пространство решений Т системы (6.29) состоит из векторов ,

касательных одновременно ко всем гиперповерхностям fi(x)=0

,i=1,2,.,m, и потому его называют касательным пространством персечений всех

гиперповерхностей fi(x)=0 ,i=1,2,.,m . Напомним , что векторы

касательноо пространства Т ,т.е. решения системы (6.29), были обознаены через

dx (см.(6.30)).

Поскольку в точке условного экстремума согласно теореме 2 имеет место включение

f0 L=Z( f1, f2,., fm)

то

f0 T

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7