стационарных точек конечно), точки, в которых функция принимает наибольшее и

наименьшее значения из всех значений в стационарных точках. После этого

следует сравнивать эти значения со значениями, которые функция принимает на

границе открытого множества G, например, найдя, если это удается сделать,

наибольшее и наименьшее значения функции f на границе области G. Сравнив

наибольшее и наименьшее значения в стационарных точках с наибольшим и

наименьшим значениями на границе множества G, мы можем, очевидно, найти

искомый максимум и минимум f на G.

В случае, когда G – плоская область и ее граница является кривой, заданной

некоторым представлением x=x(t), y=y(t), <t<

вопрос о нахождении экстремальных значений функции f(x,y) на границе G

сводится к исследованию на экстремум функции одного переменного f(x(t),y(t)),

что делается уже известными нами методами.

Методы, которые можно применять в многомерном случае для отыскания

экстремальных точек на границе области будут рассмотрены позже (см. раздел,

посвященный условному экстремуму).

Полезно лишь иметь ввиду, что при отыскании максимумов и минимумов часто наряду

с формальной техникой, а иногда и вместо нее можно использовать некоторые

простые соображения, связанные с природой задачи. Например, если

рассматриваемая в Rn дифференцируемая функция по смыслу задачи

должна иметь минимум и вместе с тем она не ограничена сверху, то при условии,

что функция имеет единственную критическую точку, можно без дальнейшего

исследования утверждать, что в этой точке она принимает минимальное знычение.

6.Условный экстремум.

6.1.Постановка вопроса.

Одним из наиболее ярких популярных достижений дифференциального исчисления

являются предполагаемые им рецепты отыскания экстремумов функций. Необходимые

условия и достаточные дифференциальные признаки экстремума, которые мы

получили из формулы Тейлора, относятся, как уже отмечалось к внутренним

экстремумам.

Иными словами, эти результаты применимы только к исследованию поведения

функции Rn x f(x) R в окрестности точки тогда, когда

аргумент может принимать любое значение из некоторой окрестности Rn

в точки x0.

Часто возникает более сложная и с практической точки зрения даже более

интересная ситуация,когда ищется экстремум функции при некоторых условиях,

ограничивающих область измерения аргумента. Типичным примером может служить

изопериметрическая задача, когда ищется тело, имеющее максимальный объем при

условии, что ограничивающая его поверхность имеет заданную площадь. Чтобы

получить доступную нам математичкую запись такой задачи, упростим постановку

и будем считать, что задача состоит в том, чтобы среди прямоугольников,

имеющих заданный периметр 2р, найти тот, который имеет наибольшую площадь

. Обозначив через х и у длины сторон прымоугольника, запишем, что

(х,у)=х-у

х+у=р

Итак, надо найти экстремум функции (х,у) при условии, что переменные х,у

связаны соотношением х+у=р. Таким образом, экстремум функции ищется только на

множестве тех точек плоскости R2, которые удовлетворяют указанному

соотношению. Эта конкретная задача, конечно, решается без труда : достаточно,

записав, что у=р-х, подставить это выражение в формулу для (х,у) и найти

обычными методами максимум функции х(р-х). Она нам была нужна лишь для

постановки вопрса. В следующих пунктах мы рассмотрим общий случай решения

подобных задач.

6.2.Понятие условного экстремума.

Пусть на открытом множестве G Rn заданы функции.

yi=fi(x) i=1,2,3,.,m (6.1)

x=(x1,x2,.,xn).Обозначим через Е множество

точек x G , в которых все функции fi i=1,2,3,.,m обращаются в

нуль:

E={x: fi(x)=0, i=1,2,3,.,m, x G} (6.2)

Уравнения

fi(x)=0, i=1,2,3,.,n (6.3)

будем называть уравнениями связи.

Определение : пусть на множестве G задана функция y=f0(x) .Тогда x

(0) E называется точкой условного экстремума (принят также термин

«относительный экстремум») функции f0(x) относительно (или при

выполнении) уравнений связи (6.3) , если она является точкой обычного

экстремума этой функции , рассмотриваемой только на множестве Е.

Иначе говоря , здесь значения функции f0(x) в точке x(0)

сравниваются не со всеми ее значениями в достаточно малой окрестности этой точки

, а только со значениями в точках , принадлежащих одновременно указанной

достаточно малой окрестности и множеству Е. Как и в случае обычных экстремумов

, можно , естественно , рассматривать точки просто условного экстремума и точки

строго условного экстремума.

Будем предполагать , что

1) все функции f0,f1,f2,., fm

непрерывно дифференцируемы в открытом множестве G ;

2) в рассматриваемой точке x(0) векторы f1, f2

,., fm линейно независимы , т.е. ранг матрицы Якоби

fj j=1,2,.,m

xi i=1,2,.,n

равен m-числу ее строк (строки матрицы Якоби являются компонентами градиентов

f1, f2,., fm).

Это означает , что функции системы (6.1) независимы в некоторой окрестности

точки x(0).Поскольку в n-мерном пространстве не может быть больше

чем n линйено независимых векторов и ранг матрицы не может быть больше чиола

столбцов , то из условия 2) следует ,что m<n.

Согласно условию 2) в точке x(0) хотя бы один из определителей вида

(f1, f2,., fm)

(xi1,xi2,.,xim)

отличен от нуля.Пусть для определенности в точке x(0).

(f1, f2,., fm)

(xi1,xi2,.,xim) (6.4)

Тогда , в силу теоремы о неявных функциях , систему уравнений (6.3) в некоторой

окрестности точки x(0)=(x1(0),x2

(0),.,xn(0)) можно разрешить относительно

переменных x1,x2,.,xm :

x1= 1( x1,x2,.,xm)

x2= 2( x1,x2,.,xm)

........ (6.5)

xm= m( x1,x2,.,xm)

Поставив значения x1,x2,.,xm, даваемые

формулами (6.5) в y=f0(x), т.е. рассмотрев композицию функции f

0 и 1, получили функцию

y= f0( 1( xm+1,.,xn),.,

m( xm+1,.,xn), xm+1,.,xn)==

=0( xm+1,.,xn)

(6.6)

от n-m переменных xm+1,.,xn,определенную и непрерывно

дифференцируемую в некоторой окрестности точки x(0)=(x1

(0),x2(0),.,xn(0)) в

(n-m)–мерном пространстве Rn-m.

Поскольку , согласно теореме о неявных функциях , условия (6.3) и (6.5)

равносильны ,то справедливо следующее утверждение.

Точка x(0) является точкой (строгого) условного экстремума для

функции g относительно уравнений связи (6.3) в том и только том случае , когда

x(0) является точкой обычного (строгого) экстремума (6.6).

Если x(0)– точка обычного экстремума функции g, то она является

стационарной точкой этой функции:

dg (x(0))=0 (6.7)

Напомним , что дифференциал – линейная однородная функция и его равенство нулю

означает равенство нулю этой функции при любых значениях ее аргументов , в

данном случае – при любых dxm+1, dxm+2,., dxn

.Это возможно ,очевидно , в том и только том случае , когда все коэффициенты при

этих аргументах , т.е. производные g/ xm+k, k=1,2,.,n-m обращаются

в нуль в точке x(0).Условие (6.7) необходимо для условного

экстремума в точке x(0).

Таким образом , метод , основанный на решение системы уравнений (6.3) через

элементарные функции часто невозможно или весьма затруднительно; поэтому

желательно располагать методом , позволяющим найти условный экстремум не

решая системы (6.3).Такой способ ,так называемый метод множетелей Лагранжа ,

изложен в следующем пункте .

6.3.Метод множетелей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума.

В этом пункте будем предполагать , что все функции f0,f1,f

2,., fm непрерывно дифференцируемы в открытом множестве G.

Теорема 6.1 : пусть x(0)– точка условного экстремума функции f0

при выполнении уравнений связи (6.3).Тогда в этой точке градиенты f1

, f2,., fm линейно независимы , т.е. существуют такие не

все равные нулю , числа 0, 1, 2

,., m что

0 f0+ 1f1+ 2f2+.+ mfm=0 (6.8)

Следствие : если в точке x(0) условного экстремума функции f0

относительно уравнений связи (6.3) градиенты f1, f2

,., fm линейно независимы , то ранг матрицы Якоби

fj j=1,2,.,m

xi i=1,2,.,n

равен m, то существуют такие 1,., m , что в этой точке

f0+ i fj=0 (6.9)

т.е. f0 является линейной комбинацией градиентов f1, f2,., fm.

В координатной форме это условие имеет вид : для любого i=1,2,.,n в точке x(0)

f0 fi

xi xi (6.10)

функция

F(x)==f0(x)+ jfj(x) (6.11)

где числа 1,., m удовлетворяют условию(6.10),

называется функцией Лагранжа рассматриваемой задачи , а сами числа

1,., m – множителями Лагранжа.

Условие (6.10) означает , что если x(0) является точкой условного

экстремума функции f0 относительно уравнений связи (6.3) , то она

является стационарной точкой для функции Лагранжа , т.е.

F(x(0))

xi i=1,2,.,n (6.12)

Прежде , чем доказать теорему , разъясним ее смысл и покажем , как ее

использовать для нахождения точек условного экстремума. Прежде всего обратим

внимание на то , что у функции вида (6.11) при произвольных числах

1,., m, каждая точка ее условного экстремума является и

точкой условного экстремума исходной функции f0, и наоборот.Мы

выбираем такие значения 1,., m, чтобы

выполнялись условия (6.10) , т.е. чтобы данная точка условного экстремума

оказалась и стационарной точкой фуцнкции (6.9).

Для отыскания точек условного экстремума следует рассмотреть систему n+m

уравнений (6.3) и (6.8) относительно неизвестных x1(0),x

2(0),.,xn(0), 1,.,

m и решить ее (если это возможно) , найдя x1(0),x

2(0),.,xn(0) и по возможности исключив

1,., m.Сформулированная теорема утверждает , что все точки

условного экстремума будут находится среди найденных таким образом точек (x

1(0),x2(0),.,xn(0)

).Вопрос о том , какие же из них фактически будут точками условного экстремума ,

требует дополнительного исследования , об этом будет говориться в п.6.5

Доказательство теоремы . Докажем утверждение равносильное теореме : если в точке

x(0)=(x1(0),x2(0),.,x

n(0)), удовлетворяющей уравнениям связи

fk(x(0))=0 k=1,2,.,n (6.13)

градиенты f0, f1, f2,., fm

линейно независимы , то x(0) не является точкой условного экстремума.

Итак , пусть f0, f1, f2,., fm

линейно независимы и , следовательно , ранг матрицы Якоби fj/ x

i j=1,2,.,m,i=1,2,.,n равен m+1.Тогда в матрице существует минор порядка

m+1 не равный нулю.Для определенности будем считать , что он образован первыми

m+1 столбцами , т.е.

(f0, f1, f2,., fm)

(x1,x2,.,xm+1) x=x(0) (6.14)

Множество G–открыто , а поэтому существует такое 00>0, что при всех 0 0<0<00 , куб

Q n={x: xi-xi(0) <0,i=1,2,.,n}

лежит в G и , следовательно, на нем определены все функции f0, f1, f2,., fm.

Зафиксируем xm+2= x(0)m+2,., xn=xn(0) и введем обозначения

x*=(x1,x2,.,xm+1)

Q m+1={x*: xi-xi(0) <0,i=1,2,.,m+1}

Очевидно , функции fj(x1,x2,.,xm+1,x

(0)m+2,.,xn(0)) j=1,2,.,m определены и

непрерывно дифференцируемы всюду в Q m+1.Рассмотрим отображение Ф :

Q m+1 Rm+1, задаваемое формулами

y1= f0(x1,x2,.,xm+1,x(0)m+2,.,xn(0))

y2= f1(x1,x2,.,xm+1,x(0)m+2,.,xn(0))

.............. (6.15)

ym+1= fm(x1,x2,.,xm+1,x(0)m+2,.,xn(0))

В силу (6.15) для точки x*(0)=(x1(0),x2(0),.,xn(0)) имеем

(y1, y2,., ym+1) (f0, f1, f2,., fm)

(x1,x2,.,xm+1) x*= x*(0) (x1,x2,.,xm+1) x=x(0)

а в силу (6.13) Ф(x*(0))=(f0(x(0),0,.,0)

.Поэтому (в силу теремы о локальной обратимости непрерывно дифференцируемого

отображения в точке , в которой его якобиан не равен нулю , существует такое

число >0 , что на окрестности

V={y=(y1, y2,., ym+1) : y1- f0(x(0)) < , yj< ,j=2,3,.,m}

(рис.5) определено обратное к Ф отображение и , следовательно , в любую точку

этой окрестности отображается какая-то точка из Q m+1.

В частности , поскольку при любом n,0<n< ,имеет место включение (f0

(x(0))+n,0,.,0), то в кубе найдутся точки x`*=(x`1

,x`2,.,x`m+1) и x``*=(x``1,x``

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7