a11 a32- a12 a31 a11 a33- a13 a31 . a11 a13n- a1n a31

................... (5.12)

a11 an2- a12 an1 a11 an3- a13 an1 . a11 ann- a1n an1

Рассмотрим более внимательно элементы (5.12). Перепишем (5.12) в виде

a11 a12 . a1n-1

a21 a22 . a2n-1

....... (5.13)

an-11 an-12. an-1n-1

Из сравнения (5.12) и(5.13) видно, что

a11 – есть свертка определителя a11 a12

a21 a22

a12 – есть свертка определителя a11 a13

a21 a23

........................

a1n-1 – есть свертка определителя a11 a1n

a21 a2n

.

Таким образом, первая строка 1n-1 является сверткой элементов

первых двух строк определителя n. Более наглядно это можно

сфрмклировать так : последовательно каждый «прямоугольник» элементов первой и

второй строк заменяется его сверткой ; причем первые элементы двух строк

«участвуют» во всех прямоугольниках этих строк.

a11 a12 a13. a1n

a11 a12 a1n-1

a21 a22 a23. a2n

Аналогично вторая строка определителя n-1 является сверткой

элементов первой и третьей строк исходного определителя.

a11 a12 a13. a1n

a21 a22 a2n-1

a31 a32 a33. a3n

Наконец для последней строки n-1 имеем

a11 a12 a13. a1n

an-1 1 an-1 2 an-1n-1

an1 an2 an3. ann

Если теперь применить те же опервции к определителю

n-1, т. е. к (5.13), получим

1

a11n-3 (5.14)

где

a11 a12 . a1 n-2

a21 a22 . a2 n-2

.............

an-2 1 an-2 2. an-2 n-2

а элементы aik являются сверткой соответствующих определителей –

прямоугольников.

Очевидно, повторяя эту операцию n–1 раз, получим следующую формулу,

предварительно введя более простые обозначения :

a11 = a1– левый угловой верхний элемент

a11 = a2 – левый угловой верхний элемент

a11 = a3 – левый угловой верхний элемент

................

a11 = an – левый угловой верхний элемент.

С учетом этого

an

a1n-2 a2n-3. an-1 (5.15) n>2

Пример №1.

2 1 5 3

0 4 7 2 1 2*4-1*0 2*7-5*0 2*2-3*0 1 8 14 4

5 6 3 1 22 2*6-5*1 2*3-5*5 2*1-5*3 22 7 –19 -13

0 2 1 3 2*2-0*1 2*1-5*0 2*3-3*0 4 2 6

4 7 2

7 –19 –13 1 4*(-19)-7*7 4*(-13)-2*7 1 -72-49 -52-14

2 3 1 4 4*1-2*7 4*3-2*2 4 -10 8

1 -121 -66 1 -121 -66 1

4 -10 8 2 -5 4 2 (-121*4-66*5)= -121*2-33*5=

= -242 –165= -407

Пример №2.

3 0 2 1 5

0 4 1 3 6 1 3*4-0*0 3*1-2*0 3*3-0*1 3*6-5*0

1 2 3 5 1 33 3*2-5*0 3*3-5*2 3*5-5*1 3*1-5*5

0 3 4 0 6 3*3-2*0 3*4-2*2 3*0-2*1 3*6-2*5

1 2 3 4 5 3*2-1*0 3*3-1*2 3*4-1*1 3*5-1*5

12 3 9 18 -30 66 -264-108

1 6 –1 10 -22 1 69 -105 96-162

33 9 8 -2 8 33*122 66 78 120-108

6 7 11 10

-30 66 -372 30*105-66*69 30*66+69*372

1 69 -105 -66 1 -30*78-66*66 -30*12+66*372

33*122 66 78 12 33*122*(-30)

1 3150-4554 1980+25668 1 -1404

27648

33*122*(-30) -2340-4356 -360+24552 33*122*(-30) –6696 24192

-1404*24192+6696*27648 33965568-182476800-2654208

33*122*(-30) 33*122*30

31311360-182476800 15116544 15116544

33*122*30 33*122 3888

=3888

Вычесленные в порядке получения определителий

n, n-1, ., 2 их верхние левые угловые

элементы a1,a2,.,an являются критерием

Сильвестера в части знаков, т.е.

sign a11=sign a1

sign a11=sign a2=sign a11 a12

a21 a22

............

a11. a1n

sign a11=sign an=sign .....

an1. ann

По сути метод дает возможность вычисления определителей . Однако нас

интересуют лишь знаки определителей.Это существенно упрощает задачу.

Рассмотрим функцию f(x1,x2,.,xn). имеющую

экстремум,а именно максимум в точке М0(x10,x

20,.,xn0).Это значит,что все коэффициенты

a1, a2,., an должны быть положительными.

Поэтому процесс определения максимума функции в точке М0

заканчивается на любом этапе понижения определителя ,если после положительных

a1, a2,., ak коэффициент аk+1 стал

отрицательным или нулевым.

Если же в точке М0 – минимум, то коффициенты a1, a2

,., an образуют знакочередующуюся последоватнльность, а именно

a1<0, a2>0, a3<0,.

Аналогично процесс прекращается, если нарушается эта знакопеременность.

Итак, общая схема выглядит следующим образом :

1.Определяются стационарные точки функции, в которых

f

xi i=1,2,3,..,n

2.Определяются коэффициенты аik в этих точках

2f

xi xr

3.Выясняем знак первого диагонального элемента а11=а1

а) если а11>0, то все последующие элементы а2,а3

,.,аn должны быть положительными,если в точке М0

действительно максимум

б)если а11<0, то знаки последующих элементов а2,а3

,.,аn должны чередоваться, если в точке М0 действительно

минимум.

4.При нарушении какой-либо из закономерностей в п.3 процесс прекращается и

формулируется вывод о том,что в точке М0 экстремума нет.

Наконец отметим следующее важное обстоятельство. Так как коэффициенты аik

являются частными производными второго порядка и для дифференцируемой функции с

непрерывными 2f/ xi xr в

соответствии с теоремой Шварца эти частные производные не зависят от порядка

дифференцирования, то аik= аki. Это важное свойство

приводит к тому, что матрица (аik) является симметрической вместе со

своим определителем аik Покажем, что учет этого факта сокращант

объем вычислений по крайней мере вдвое .

Во-первых, покажем, что определитель n-1 также остается

симметрическим,т. е. применяется операция понижения порядка инварианта и

сохраняет это свойство при переходе от n-1 к n

и т.д.

Диагональные элементы любого определителя, очевидно, равны сами себе.

Рассмотрим произвольный элемент аik в определителе n-1, i=k, i,k=1,2,.,n-1.

аik= аik – а1 k а1i / а11 (*)

Если переставить индексы i,k ,то

aki= аki – а1 i а1k / а11 (**)

Сравнивая (*) и (**) видим, что из того, что аik= аki

следует, что аik= аki. Этим доказано, что из того, что

n- симметрический определитель, определитель n-1 также

симметрический.Что это дает для вычисления n-1 ?

Пусть вычислена первая строка коэффициентов а1k (k=1,2,.,n-1)

определителя n-1 , т.е.

а11, а12, а13,., а1n-1

Теперь вычислим первый столбец , он имеет вид

а11

а21

а31

...

аn-1 1

Но ввиду симметричности коэффициентов, этот столбец совпадает со строкой.

Другими словами, сосчитав элементы первой строки, первый столбец уже считать

нет необходимости, его нужно просто записать. Для наглядности запишем

a11 a12 . a1 n-1

a21 a22. a2 n-1

........

an1 an2. an-1 n-1

Вычислим теперь элементы второй строки, начиная с а22 ,т.е. а22

, а23, а24,., а2 n-1.Эта строка полностью

совпадает со вторым столбцом, начиная с а22,т.е.

а22

а31

...

аn-1 2

Итак, второй столбец автоматически заполняется элементами второй строки.Т.е.

иммем

a11 a12 а13 . a1 n-1

a21 a22 а23 . a2 n-1

n-1= a31 a32 а33 . a3 n-1

............

an-1 1 an-1 2 an-1 3 . an-1 n-1

И т.д.

Общий вывод : необходимо расчитать лишь правую треугольную часть элементов.

Нижняя же левая часть определителя заполняется автоматически. Формально ее

можно вообще не заполнять, т.е. оставлять в виде

a11 a12 а13 . a1 n-1

a22 а23 . a2 n-1

n-1= а33 . a3 n-1 (5.16)

......

an-1 n-1

Отсюда для получения следующегоопределителя можно применить правило,

условно назовем, треугольника.

a11= a11 a22- a122

a22= a11 a33- a132 и т.д.

Для недиагоналных элементов схема несколько сложнее

a12= a11 a23- a13 a12 a11 a12 а13

а23 и т.д.

Пример №3.

Исследовать на экстремум функцию z=x3+y3-3xy

1.Находим

z z

---- и ----

y x

z

---- = 3x2-3y

y

z

---- = 3y2-3x

x

2.Находим стационарные точки, решая систему

3x2-3y=0

3y2-3x=0

Получили две стационарные точкм (0;0) и (1;1).

3.Находим

2z 2z 2z

------- --------- --------

x2 y2 x y

2z 2z 2z

------- =6x --------- =6y -------- = -3

x2 y2 x y

4.Для точки (0;0) имеем

a11=0 a22=0 a12= a21= -3

Для точки (1;1) иммем

b11=6 b22=6 a12= a21= -3

5.Находим

a11 a12 0 -3

a21 a22 -3 0

b11 b12 6 -3

b21 b22 -3 6

Так как <0 , то в точке (0;0) экстремума нет.

Так как >0 и a11>0, то (1;1) – точка минимма функции, причем zmin = -1.

Пример №4.

Исследовать на экстремум функцию w=x2/3+y2/3+z2/3

Ищем критические точки

2 2 2

w`x= ------ w`y= --------- w`z= ----------

3 3 x 3 3 y 3 3 z

Эти частные производные не обращаются в нуль ни при каких значениях x, y, z; они

не сужествуют (обращаются в бесконечность) в точке P0(0;0;0). Точка

P0 лежит внутри области определения функции w, которая представляет

совокупность всех точек (x;y;z) пространства. Поэтому P0 критическая

точка.

Исследуя знак разности w(P)-w(P0)= x2/3+y2/3+z

2/3 вблизи точки P0, убеждаемся, что при любых отличных от нуля

значениях x,y,z она сохраняет положительный знак. Поэтому P0 есть

точка минимума, wmin=w(P0)=0

5.4.Экстремумы на множествах.

Следует обратить внимание на то, что мы указали необходимые и достаточные

условия экстремума функции лишь во внутренней точке области определения.

Таким образом, при отыскании абсолютного максимума или минимума функции

необходимо наряду с внутренними критическими точками функции исследовать

также точки границы области определения, поскрльку максимальное или

минимальное значение функция может принять в одной из таких граничных точек.

Пусть функция f дифференцируема на открытом ограниченом G и непрерывна на

его замыкании G. Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значения

функции на множестве G. Для этого можно, например, найти все стационарные

точки функции f в G, вычислить в них значения функции и выбрать, если,

конечно это возможно (а теоретически возможно это, например, когда число

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7