~ 0 l3+1 0 l3

+1 ~

0 l3+1 l+1 l3+l+2

0 0 -l-1 -l-1

(из III и IV столбцов вычитаем I, умноженный соответственно на l-1 и -1)

1 0 0 0

0 l3+1 0 l3+1

~ 0 l3+1 l+1 l3

+l+2 ~

0 0 -l-1 -l-1

(II и III столбцы вычитаем из IV)

1 0 0 0

0 l3+1 0 0

~ 0 l3+1 l+1 0

~

0 0 -l-1 0

(из III строки вычитаем II и полученную строку прибавляем к IV)

1 0 0 0

0 l3+1 0 0

~ 0 0 l+1 0

~

0 0 0 0

(переставляем II и III строки, а также второй и третий столбцы)

1 0 0 0

0 l+1 0 0

~ 0 0 l3+1 0

.

0 0 0 0

Это каноническая матрица; значит матрица А(l) имеет инвариантные множители: Е

1(l)=1, Е2(l)=l+1, Е3(l)=l3+1, Е4

(l)=0.

§3. Наибольшие общие делители миноров

Пусть F - какая-нибудь λ-матрица порядка n. Составим ее всевозможные

миноры порядка к (к = 1, 2, ., n). Эти миноры являются многочленами от

λ. Обозначим их наибольший общий делитель через Dк(λ) (наибольшим

общим делителем мы условимся называть общий делитель наивысшей степени со

старшим коэффициентом 1. Поэтому все не равные нулю многочлены Dк(λ)

имеют старший коэффициент 1). Если окажется, что все миноры к-го порядка

равны нулю, то по определению будем считать Dк(λ)=0. В частности,

D1(λ) есть наибольший общий делитель элементов матрицы F, а Dn(λ)

равен определителю F, деленному на свой старший коэффициент.

Т е о р е м а 2. Эквивалентные λ-матрицы имеют один и тот же

наибольший общий делитель миноров к-го порядка (к = 1, 2, ., n).

Доказательство. Пусть F1, F2 - две эквивалентные λ-матрицы. Обозначим

наибольшие общие делители их миноров к-го порядка соответственно через

Dк1(λ) и Dк2(λ). Требуется показать, что

Dк1(λ) = Dк2(λ). Нам известно, что F2 можно получить из F1 цепочкой

элементарных преобразований. Предположим сначала, что эта цепочка состоит

только из одного элементарного преобразования. Пусть, например, F2 получается

из F1 умножением всех элементов i-й строки матрицы F1 на число

α≠0. Соответственные миноры F1 и F2 тогда либо совсем не

отличаются друг от друга, либо отличаются лишь постоянным множителем α.

Однако постоянный множитель не влияет на вычисление наибольшего общего

делителя многочленов, поэтому Dк1 = Dк2. То же самое будет и в случае, когда

F2 получается из F1 умножением на α элементов какого-либо столбца

матрицы F1. Пусть теперь F2 получается из F1 одним из элементарных

преобразований; например, пусть F2 возникает в результате прибавления к i-й

строке матрицы F1 элементов j-й строки, умноженных на f(λ). Покажем,

что Dк2 делится на Dк1.

В самом деле, миноры к-го порядка матриц F1, F2 можно разбить на три

класса. К первому мы отнесем те из них, которые не содержат элементов i-й

строки. Соответственные миноры матриц F1, F2 в этом случае, очевидно,

равны друг другу. Ко второму классу отнесем те миноры, которые содержат

элементы и i-й и j-й строк. Эти миноры у матриц F1, F2 будут снова равными,

так как величина определителя не меняется, если к элементам одной из его

строк прибавляются величины пропорциональные элементам какой-либо другой

строки. Наконец, к третьему классу мы отнесем миноры, содержащие элементы i-

й строки и не содержащие элементов j-й строки. Соответственные миноры этого

класса имеют вид:

..... .............

м1 = f iυ1 . f iυk , м2 = f iυ1 + f

jυ1 ∙ f(λ) ... f iυk + f jυk ∙ f(λ)

,

..... .............

где невыписанные строки у обоих миноров одинаковы. На основании теоремы

сложения определителей

..... ......

м2 = f iυ1 . f iυk + f(λ) f jυ1

... f jυk = м1 ± f(λ)N1 ,

..... .......

где N1 - некоторый минор матрицы F1. Все миноры к-го порядка матрицы F1

делятся и на Dк1. Из наших рассуждений видно, что на Dк1 делятся и все

миноры к-го порядка матрицы F2, так как они либо совпадают с

соответственными минорами матрицы F1, либо выражаются через них линейно. Но

в таком случае Dк1 войдет множителем в наибольший общий делитель миноров к-

го порядка матрицы F2, т.е. войдет множителем в Dк2. Итак, если F2

получается из F1 одним элементарным преобразованием, то Dк2 делится на Dк1.

Совершая над F2 обратное элементарное преобразование, мы получим F1.

Поэтому, Dк1 также должен делиться на Dк2. Но если старшие коэффициенты двух

многочленов равны и эти многочлены делятся без остатка друг на друга, то они

совпадают. Таким образом, Dк1 = Dк2. Пока доказано равенство наибольших общих

делителей в предположении, что F2 получается из F1 одним элементарным

преобразованием. Однако если Dк(λ) не меняется при каждом отдельном

элементарном преобразовании, то, очевидно, Dк(λ) не изменится и при

нескольких последовательных преобразованиях. Потому теорема доказана в общем

виде.

Вычислим многочлены D1(λ), ., Dn(λ) для матрицы, имеющей

канонический диагональный вид .

d1(λ)

d2(λ)

.

D = . .

.

dn(λ)

Чтобы получить какой-нибудь минор к-го порядка, мы должны из D вычеркнуть n-

k строк и n-k столбцов. Если из D вычеркнуть i-ю строку, то в i-м столбце

останутся только нули. Поэтому, чтобы получить минор, отличный от нуля, мы

должны вычеркнуть все столбцы матрицы D, номера которых равны номерам

вычеркнутых строк. Таким образом, отличные от нуля миноры к-й степени должны

иметь вид

dυ1(λ)

dυ2 (λ)

. = dυ1 (λ) dυ2 (λ) . dυk(λ).

(1)

.

.

dυk(λ)

Наибольшим общим делителем этих миноров будет Dк(λ). Из неравенств

1 ≤ υ1 ≤ υ2 ≤ . ≤ υk ≤ n

следует, что 1 ≤ υ1, 2 ≤ υ2, . , k ≤ υk.

Поэтому dυi(λ) делится на di(λ), а значит, dυ1(λ) .

dυk(λ) делится на d1(λ) . dk(λ). Мы видим, следовательно,

что все миноры к-го порядка матрицы D делятся на минор

d1(λ)

.

. = d1(λ) . d k(λ) (2)

.

dk(λ)

Если этот минор равен нулю, то и все миноры к-го порядка матрицы D также

равны нулю. Согласно определению в этом случае Dк(λ)=0. Если минор (2)

отличен от нуля, то многочлены d1(λ), ., d k(λ) отличны от нуля и

имеют старший коэффициент 1. Но тогда и минор (2) имеет старший коэффициент

1. Поскольку все миноры (1) делятся на (2), то Dк(λ) совпадает с (2).

Следовательно, в обоих случаях имеем

Dк(λ) = d1(λ)d2(λ). d k(λ) (к = 1, 2, ., n) (3)

Таковы многочлены Dк(λ) канонической диагональной матрицы с

диагональными элементами d1(λ), . , d n(λ).

Рассмотрим теперь произвольную λ-матрицу F. Обозначим через Dк(λ)

наибольший общий делитель миноров степени к этой матрицы. Согласно теореме

1. матрицу F элементарными преобразованиями можно привести к канонической

диагональной форме

d1(λ)

.

D = . .

.

dn(λ)

Согласно теореме 1. многочлены Dк(λ), вычисленные для матрицы D,

совпадают с соответственными многочленами Dк(λ), вычисленными для F.

Таким образом, многочлены Dк(λ) матрицы F и диагональные элементы

канонической диагональной матрицы D, к которой можно привести F связаны

соотношениями (3).

Пусть D1(λ), . , Dr(λ) отличны от нуля, а остальные многочлены

Dr+1(λ), . , Dn(λ), если они есть, равны нулю. Тогда из (3) имеем

D1(λ) = d1(λ),

d1(λ) = D1(λ),

D2(λ) = d1(λ)d2(λ),

d2(λ) = D2(λ) : D1(λ),

........ .........

Dr(λ) = d1(λ)d2(λ) . dr(λ),

dr(λ) = Dr(λ) : Dr-1(λ),

Dr+1(λ) = d1(λ)d2(λ) . dr(λ)dr+1(λ),

dr+1(λ) = Dr+1(λ) : Dr(λ).

Поскольку dr+1(λ)=0, то dr+2(λ), . , dn(λ) также должны быть

равны нулю, и мы имеем окончательно

d1(λ) = D1(λ), d2(λ) = D2(λ) : D1(λ), . , dr(λ)

= Dr(λ) : Dr-1(λ),

dr+1(λ) = . = dn(λ) = 0 (4)

Тем самым мы получили следующую теорему:

Т е о р е м а 3. Если наибольшие общие делители Dк(λ) миноров порядка

формулам (4) и определяются, таким образом, матрицей F однозначно.

Многочлены d1(λ), . , dn(λ) называются инвариантными множителями

матрицы F. Число r, в равенствах (4) это - ранг матрицы F. Действительно,

ранг матрицы F есть порядок наивысшего минора F,отличного от нуля. Если этот

порядок равен r, то, следовательно, Dr(λ)≠0, а Dr+1(λ)=0.

Обратно, условия Dr(λ)≠0, Dr+1(λ)=0 означают, что некоторый

минор порядка r отличен от нуля, а все миноры порядка r+1 равны нулю.

Следовательно, ранг F равен r.

§4. Условия эквивалентности λ-матриц.

Первое условие эквивалентности. Для того чтобы многочленные матрицы порядка

n были эквивалентны , необходимо и достаточно, чтобы наибольшие общие

делители их миноров к-го порядка совпадали при к=1, 2, . , n.

Поскольку совпадение наибольших общих делителей миноров равносильно

совпадению соответствующих инвариантных множителей, то первое условие

эквивалентности можно сформулировать и в следующем виде: для эквивалентности

λ-матриц необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие инвариантные

множители были равны.

Доказательство очевидно. В самом деле, если две λ-матрицы F, G

эквивалентны, то их наибольшие общие делители Dк(λ) одинаковы (теорема

2). Обратно, если многочлены Dк(λ) у F и G равны, то F и G элементарными

преобразованиями приводятся к одной и той же канонической диагональной

матрице (теорема 3). Но две матрицы, эквивалентные третьей эквивалентны

между собой; следовательно, F эквивалентна G, что и требовалось.

Второе условие эквивалентности. Для того чтобы многочленные матрицы F и G

порядка n были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы они

удовлетворяли соотношению

G = PFQ,

где P, Q - некоторые многочленные матрицы с постоянными отличными от нуля

определителями.

Прежде чем перейти к доказательству этого утверждения, сделаем несколько

замечаний. Пусть

1

.

.

.

1

А = α i-я строка,

1

.

.

.

1

где α- некоторое число, отличное от нуля. Умножая произвольную матрицу

F на A слева, мы увидим, что все элементы матрицы F останутся без изменения,

кроме элементов i-й строки которые умножаются на α. Таким образом,

каждое элементарное преобразование типа II, совершаемое над матрицей F,

равносильно умножению F на подходящую матрицу А слева. Аналогично, если

умножить матрицу F слева на матрицу

1. 0 . 0 . 0

0 .1. f(λ).0 i-я строка

В =

0. 0 . 1 . 0 j-я строка,

0 . 0 . 0 . 1

где все диагональные элементы равны единице, элемент, стоящий в i-й строке

и j-м столбце, равен f(λ), а остальные элементы равны нулю, то в

результате к элементам i-й строки F прибавятся элементы ее j-й строки,

умноженные на f(λ). Следовательно, каждое элементарное преобразование

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7