(1)-р + . (7)

Докажем теперь однозначность правого деления. Пусть одновременно

А(λ) = Q(λ) В(λ) + R(λ)

(8)

и

А(λ) = Q*(λ) В(λ) + R*(λ),

(9)

где степени многочленов R(λ) и R*(λ) меньше степени

В(λ), т.е. меньше р. Вычитая почленно (8) из (9) получим:

[Q(λ) - Q*(λ)] В(λ) = R*(λ) - R(λ).

(10)

Если бы Q(λ) - Q*(λ) ≡ 0, то поскольку |Во|≠0,

степень левой части равенства (10) равнялось бы сумме степеней В(λ) и

Q(λ) - Q*(λ) и потому была бы ≥р. Это невозможно, так как

степень многочлена, стоящего в правой части равенства (10), меньше р. Таким

образом, Q(λ) - Q*(λ)≡0, а тогда из (10) R*(λ) -

R(λ)≡0, т.е.

Q(λ) = Q*(λ), R(λ) = R*(λ).

Совершенно аналогично устанавливаются существование и единственность левого

частного и левого остатка.

Т е о р е м а 1. (Обобщенная теорема Безу). При правом (левом) делении

F(А)(соответственно ^F(A)).

Доказательство. Рассмотрим произвольный матричный многочлен n-го порядка

F(λ) = Fо λm + F1 λm-

1 + . + Fm (Fо ≠0) (11)

Этот многочлен может быть записан и так:

F(λ) = λm Fо + λm-1 F1 + . + Fm (12)

Обе записи при скалярном λ дают один и тот же результат. Однако если

вместо скалярного аргумента λ подставить квадратную матрицу n-го

порядка А, то результаты подстановки в (11) и (12) будут различны, так как

степени матрицы А могут не быть перестановочными с матричными коэффициентами

Fо, F1, ., Fm.

Положим

F(А) = Fо Аm+ F1 Am-1 + . + Fm (13)

и

^F(А) = Аm Fо + Am-1 F1 + . + Fm (14)

и будем называть F(А) правым, а ^F(А) - левым значением многочлена

F(λ) при подстановке вместо λ матрицы А.

Разделим многочлен F(λ) на бином λЕ-А. В данном случае правый

остаток R и левый остаток ^R не будут зависеть от λ. Для определения

правого остатка рассмотрим обычную схему деления:

F(λ) = Fо λm + F1 λm-

1 + . + Fm = Fо λm-1

(λЕ-А) + (Fо А + F1) λm-1

+ F2 λm-2 + .=

= [Fо λm-1 + (Fо А + F1

) λm-2] (λЕ-А) + (Fо А2 +

F1А1+ F2) λm-2 + F3

λm-3 + . = .

. = [Fо λm-1 + (Fо А + F1

) λm-2 + . + (Fо Аm-1

+ F1Аm-2 + . + Fm-1)] (λЕ-А) +

+ Fо Аm + F1Аm-1 + . + Fm

Мы нашли, что

R = Fо Аm+ F1Аm-1 + . + Fm = F(А). (15)

Совершенно аналогично

^R =^F(А).

(16)

Из доказанной теоремы следует, что многочлен F(λ) делится без остатка

справа (слева) на бином λЕ-А тогда и только тогда, когда F(А)=0

(соответственно ^F(А)=0).

Пример

Проверить, что А(l)=Q(l)В(l) + R(l).

l3+l 2l3+l2

А(l)= -l3-2l2+1 3l3+l =

= 1 2 l3+ 0 1 l2+

1 0 l+ 0 0

-1 3 -2 0 0 1 1

0 .

2l2+3 -l2+1 2 -1 l2+ 3 1

В(l)= -l2-1 l2+2 = -1 1

-1 2 ,

1 1 3 5 l

2+4 2l2+13

|Bo| = 1, Bo-1 = 1 2 , А0

B0-1 = 2 5 , А0B0

-1В(l) = -l2+1 3l2+12 ,

l3+l 2l3+l2 l3

+4l 2l3+13l -3l l2

-13l

А(1)(l)= -l3-2l2+1 3l3+l

- -l3+l 3l3+12l = -2l

2-l+1 -11l ,

0 1 l2+ -3 -13 l+ 0 0

А(1)(l)= -2 0 -1 -11 1

0 ,

0 1 × 1 1 1 2

А0(1)В0-1(l)= -2 0

1 2 = -2 -2 ,

1 2 × 2l2+3 -l2+1 = 1 l2+5

А0(1)В0-1В(l)= -2 -2

-l2-1 l2+1 -2l

2-4 -6 ,

R(l)= А(1)(l) - А0(1)В0-1В(l)=

-3l l2-13l - 1 l2+5 = -3l-1 -13l -5

= -2l2-l+1 -11l -2l4-4 -6

-l+5 -11l+6 ,

3 5 l+ 1 2 3l+1 5l+2

Q(l) = А0В0-1l + А0(1)В

0-1 = 2 5 -2 -2 =

2l-2 5l-2 .

§2. Скалярная эквивалентность.

Как уже отмечалось две λ-матрицы А(λ), В(λ) эквивалентны тогда

и только тогда, если существуют λ-матрицы U(λ), V(λ) с не

зависящими от λ ненулевыми определителями, удовлетворяющие соотношению

А(λ) = U(λ) В(λ)V(λ). (17)

Условимся говорить, что матрица А(λ) скалярно эквивалентна матрице

В(λ), если существуют неособенные матрицы U,V с независящими от λ

элементами, удовлетворяющие соотношению (17). Матрицы с независящими от

λ элементами будем называть скалярными.

Т е о р е м а 2. Если λ-многочлены первой степени Аλ+В,

Сλ+D регулярны и эквивалентны , то они и скалярно эквивалентны.

По условию

Аλ+В = U(λ) (Сλ+D) V(λ),

(18)

где U(λ), V(λ) - матрицы с отличными от нуля постоянными

определителями. Обозначим через P, S левые частное и остаток от деления

U(λ) на Аλ+В, а через Q, R - правые частное и остаток от деления

V(λ) на Аλ+В. Следовательно,

U = (Аλ+В) P + S, V = Q(Аλ+В) + R. (19)

Матрицы S и R скалярны, так как их степень меньше единицы. Покажем, что

Аλ+В = S(Сλ+D) R.

(20)

Действительно, умножая обе стороны равенства (18) на U-1 и

подставляя вместо V его выражение из (19), получим, перенеся члены

[U-1 - (Сλ+D)Q] (Аλ+В) = (Сλ+D)R.

Сравнивая степени левой и правой частей, видим, что выражение внутри

квадратных скобок должно равняться некоторой скалярной матрице Т, и мы имеем

Т = U-1- (Сλ + D)Q, Т(Аλ+В) = (Сλ+D)R. (21)

Отсюда

Е = U(Сλ + D)Q + UТ = (Аλ+В)V-1Q + UТ = (Аλ+В)V-1

Q + [(Аλ+В)Р + S]Т,

т.е.

Е = (Аλ+В)[V-1Q + РТ] + SТ.

Но правая часть может иметь нулевую степень только в случае обращения в

нуль квадратной скобки, откуда

Е = SТ, Т = S-1.

Сравнивая с (21), получаем (20), где S, а значит и R - обратимые скалярные

матрицы.

§3. Характеристический многочлен матрицы

Рассмотрим квадратную матрицу А = ||аik||1n.

Характеристической матрицей для матрицы А называется матрица λЕ-А.

λ - а11 -а12 . -а1n

λЕ-А = -а21 λ - а22 . -а2n

.......... .

-аn1 -аn2 . λ - аnn

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7