Поскольку этот минор равен ±1, то Dn-1(λ)=1. Обозначим через

d1(λ), ., dn(λ)

инвариантные множители матрицы λЕ-А. Из соотношений

Dn-1(λ) = d1(λ) . dn-1(λ) = 1,

Dn (λ) = d1(λ) . dn-1(λ)dn(λ) = (λ - ρ)n

вытекает, что d1(λ) =. = dn-1(λ) =1, dn

(λ)=(λ - ρ)n . Следовательно, λЕ-А имеет только

один элементарный делитель и этот делитель равен (λ - ρ)n

.

Лемма 2. Система элементарных делителей характеристической матрицы

жордановой матрицы состоит из элементарных делителей ее клеток Жордана и

определяет вид жордановой матрицы однозначно с точностью до порядка

следования клеток по главной диагонали.

По определению жордановой матрицей называется клеточно-диагональная

матрица с клетками Жордана по главной диагонали. Поэтому характеристическая

матрица для матрицы Жордана распадается на характеристические матрицы для

отдельных клеток Жордана. Отсюда следует, что система элементарных делителей

характеристической матрицы для матрицы Жордана состоит из элементарных

делителей характеристических матриц отдельных клеток Жордана, по одному для

каждой клетки. Тем самым система элементарных делителей характеристической

матрицы для матрицы Жордана определяет вид этой матрицы однозначно с

точностью до порядка расположения клеток по главной диагонали.

Характеристические матрицы подобных матриц эквивалентны и потому имеют

одинаковые системы элементарных делителей. Отсюда следует, что подобные

матрицы Жордана должны состоять из одинаковых клеток Жордана, и для завершения

доказательства теоремы остается только для каждой заданной матрицы А уметь

построить подобную ей матрицу Жордана. Пусть (λ - ρ1)

n1, ., (λ - ρs)ns - полный

набор элементарных делителей характеристической матрицы λЕ-А. Обозначим

через В клеточно-диагональную матрицу, диагональными клетками которой

являются клетки Жордана с указанными элементарными делителями.

Следовательно, матрица λЕ-В имеет те же элементарные делители, что и

λЕ-А. Но тогда матрицы λЕ-А и λЕ-В эквивалентны, а отсюда

вытекает, что А подобна жордановой матрице В. Теорема доказана.

Изложенные рассуждения дают ответ и на вопрос о том, как по заданной

матрице А найти подобную ей матрицу Жордана. Для этого достаточно составить

характеристическую матрицу λЕ-А, привести ее элементарными

преобразованиями к канонической диагональной форме, разложить диагональные

многочлены на множители, найти элементарные делители и по ним составить

матрицу Жордана. Пусть, например,

3 1 -3

А = -7 -2 9 .

-2 -1 4

Составляем характеристическую матрицу

λ-3 -1 3

λЕ-А = 7 λ+2 -9

2 1 λ-4

и ищем ее инвариантные множители. Эти множители, как легко видеть, будут 1,

1, (λ-1)(λ-2)². Следовательно, элементарные делители равны

λ-1, (λ-2)² и жорданова матрица имеет вид

1 0 0

В = 0 2 1 .

0 0 2

В заключении сделаем еще одно замечание. Если элементарные делители матрицы

λЕ-А окажутся первой степени, то первого порядка будут и клетки Жордана

в соответствующей жордановой матрице В, т.е. матрица В будет диагональной.

Обратно, если соответствующая жорданова матрица диагональна, то

элементарные делители будут первой степени. Таким образом, для того чтобы

заданная матрица была подобна диагональной необходимо и достаточно, чтобы все

элементарные делители ее характеристической матрицы были первой степени.

Глава III. Функции от матриц.

§1. Многочлен от жордановой матрицы.

В качестве основного поля берется поле всех комплексных чисел.

Простейшими функциями от матриц являются многочлены. В дальнейшем будет дано

общее определение функций от матриц, а сейчас укажем явное выражение для

многочлена от матрицы, имеющей нормальную форму Жордана. Рассмотрим сначала

отдельную клетку Жордана порядка n.

ρ 1 0 . 0 0

ρ 1 . 0 0 (1)

А = ..... .

ρ 1

ρ

Покажем, что для всех натуральных m имеет место формула

ρm (m) ρm-1 . (n-1) ρm-n+1

Аm = ρm . (

n-2) ρm-n+2 (2)

.... ,

ρm

где положено

m m(m-1) . (m-k+1)

k 1· 2 . k .

Доказательство проще всего провести индукцией по m. Для m=1 формула (2)

совпадает с (1) и поэтому верна. С другой стороны, если равенство (2) верно

для какого-нибудь m, то умножая его на А, мы непосредственными вычислениями

получим, что для Аm+1 формула (2) также верна.

Пусть теперь f(λ) - некоторый многочлен от λ:

f(λ) = α0 + α1λ + α 2λ² + . + αkλk.

Согласно определению

f(А) = α 0Е + α1А + α2А² + . + αkАk.

Подставляем сюда вместо матриц Аm их значения из (2), мы увидим,

что в i-й строке и (i+s)-м столбце матрицы f(А) стоит выражение

k

∑ αm m(m-1) . (m-s) ρm-s 1 fs (ρ) .

m=0 1 ∙ 2 . s 1 ∙ 2 . s

Следовательно окончательно имеем

f(ρ) f΄(ρ) f"(ρ) . f

(n-1)(ρ)

f(ρ) f΄(ρ) . f(n-2)

(ρ) (3)

f(А) = .........

.

f(ρ)

Мы вычислили пока значение многочлена от клетки Жордана. Однако общая

жорданова матрица А есть прямая сумма отдельных клеток Жордана:

А = А1 + А2 + . + Аs,

и отсюда имеем

f(А) = f(А1) + f(А2) + . + f(Аs). (4)

Здесь f(А1), ., f(Аs) - многочлены от отдельных клеток

Жордана, выражения которых даны формулой (3). Этот результат можно применить

и к вычислению многочленов от матриц А, не имеющих формы Жордана. В самом

деле, сначала ищем такое Т, чтобы матрица Т-1АТ = В имела

нормальную форму Жордана; затем вычисляем f(В) согласно формулам (3) и (4) и,

наконец, в силу отношения

f(А) = f(ТВТ-1) = Тf(В) Т-1

получаем значение f(А).

§2. Скалярные функции

Общее понятие матричных функций определяется совершенно аналогично понятию

обыкновенных числовых функций. Именно рассмотрим некоторое множество

матриц m. Если каждой матрице А из m поставлена в соответствие некоторая

матрица В, то говорят, что В есть функция от А, определенная на m. Мы хотим

теперь каждой обыкновенной числовой функции ρ= f(λ) , заданной на

некотором множестве комплексных чисел и удовлетворяющей сформулированным

ниже требованиям, поставить в соответствие определенную матричную функцию

f(А). Соответствие это строится следующим образом. Пусть даны некоторая

числовая функция ρ= f(λ) и произвольная матрица А. Обозначим через

ρ1, ρ2, ., ρs различные

собственные значения матрицы А. Приведем А к нормальной форме Жордана:

Т-1АТ = В =В1 + В2 + . + Вt ,

где В1, ., Вt - клетки Жордана, и рассмотрим

какую-нибудь из них, например

ρi 1 0 .. 0

Вi = ρi 1 .. 0 (5)

.... ,

ρi

отвечающую элементарному делителю (λ-ρi)ni

. Если функция f(λ) определна в окрестности точки ρi

и имеет конечные производные f´(ρ), ., f(ni-1) (ρ

i), то мы полагаем по определению,

f(ρi) f´(ρi) . f(ni-1)(ρi)

f (Вi) = f(ρi) .

f(ni-2)(ρi)

.......... . (6)

f(ρi)

Далее, если f(λ) определена в окрестности каждой точки ρ1

, ., ρs и имеет в них конечные производные надлежащих

порядков, то мы полагаем также

f(В) = f(В1) + f(В2) + . + f(Вt),

(7)

f(А) = Тf(В)Т-1 = Т(f(В1) + . + f(Вt)) Т-1. (8)

Матрица f(А) называется значением функции f(λ) при λ=А. Ниже будет

показано, что f(А) не зависит от способа приведения матрицы А к нормальной

форме и, таким образом, является некоторой матричной функцией от А. Эта

функция называется соответствующей числовой функции f(λ). Ясно, что

далеко не все матричные функции имеют соответствующие числовые. Те из них,

для которых соответствующие числовые функции существуют, называются

скалярными функциями.

Отметим несколько простейших свойств скалярных функций:

1°. Если f(λ) есть многочлен от λ, то значение скалярной функции

f(А) совпадает со значением многочлена f(λ) при λ=А.

Действительно, само определение скалярных функций выбрано таким образом,

чтобы для многочленов оно совпадало со старым.

2°. Пусть А-матрица и f1(λ), f2(λ) - числовые

функции, для которых выражения f1(A) и f2(А) имеют

смысл. Если f(λ)= f1(λ) + f2(λ), то f(А)

также имеет смысл и f(А)= f1(А) + f2(А).

3°. Если А-матрица, f1(λ) и f2(λ) - числовые

функции для которых f1(А) и f2(А) имеют смысл, и

f(λ)= f1(λ)f2(λ), то f(А) имеет смысл и

f(А)= f1(А)f2(А).

Доказательства свойств 2° и 3° аналогичны, поэтому мы ограничимся рассмотрением

свойства 3°. Чтобы вычислить f1(А), f2(А), f(А), мы

согласно определению, должны привести А к нормальной форме Жордана В и

воспользоваться формулами (7) и (8). Если удастся показать, что

f(В)= f1(В)f2(В), то из (8) непосредственно

получится f(А)= f1(А) f2(А). С другой стороны,

f(В)= f(В1) + f(В2) + . + f(Вt),

f1(В)f2(В) = f1(В1) f2(В2) + . + f1(Вt) f2(Вt) ,

поэтому все дело сводится к доказательству равенств

f(Вi) = f1(Вi) f2(Вi) (i=1, 2, ., t),

где Вi - клетки Жордана. Беря значения f1(Вi),

f2(Вi) из формулы (6) и перемножая, мы обнаружим, что в

к-й строке и (k+j)-м столбце матрицы f1(Вi) f2

(Вi) будет стоять элемент, равный

f1(ρ) · f2(j)(ρ) +

f´1(ρ) · f2(j-1)

(ρ) + . + f1(j)(ρ) · f2

(ρ).

Это выражение можно переписать в виде

[f1(ρ) f2 (j)(ρ) +

f´1(ρ) f2 (i-1)

(ρ) + . + f1(j)(ρ) · f2(ρ)],

что согласно правилу дифференцирования произведения функций совпадает с

f (j)(ρ). Таким образом,

f1(Вi) f2(Вi) = f(Вi),

и утверждение 3° доказано.

Аналогичным образом, используя правило дифференцирования функции от функции,

можно было бы показать, что если числовые функции φ(λ) и

f(φ(λ)) удовлетворяют требованиям, при которых выражение

f(φ(λ)) определено, и если ψ(λ)= f(φ(λ)), то

ψ(А)= f(φ(А)).

4˚. Пусть А-матрица, имеющая собственные значения ρ1,

ρ2, ., ρn, причем каждое собственное значение

выписано здесь столько раз, какова его кратность. Если f(λ) - числовая

функция и f(А) имеет смысл, то собственные значения матрицы f(А) равны f(ρ

1), f(ρ2), ., f(ρn).

В самом деле, собственные значения матриц f(А) и

Т-1f(А)Т=f(Т-1АТ)

соответственно равны, поэтому мы можем предполагать, что А имеет нормальную

форму Жордана. Формулы (5) и (6) показывают, что в этом случае f(А) имеет

треугольную форму, причем по главной диагонали f(А) стоят числа f(ρ

1), f(ρ2), ., f(ρn). Поскольку

диагональные элементы треугольной матрицы являются ее собственными

значениями, то утверждение 4˚ доказано.

Рассмотрим два примера. 1) Пусть f(λ)= λ-1. Эта функция

определена всюду, кроме λ=0, и при всех значениях λ, отличных от

нуля, имеет производные любых порядков. Следовательно, если матрица А не имеет

нулевых собственных значений, т.е. если А неособенная, то f(А) имеет смысл. Но

λ · f(λ)=1, поэтому А · f(А)=Е, откуда f(А)= А-1. Таким

образом, функции λ-1 отвечает обратная матрица.

2) Пусть f(λ)=√λ. Эта функция при λ≠0 имеет

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7