конечные производные любых порядков. Таким образом, выражения √А

имеет смысл для всех неособенных матриц А. Полагая в соотношении

f(λ)f(λ) =λ

λ=А, мы получим

f(А)f(А) =А.

Мы доказали, следовательно, что из всякой неособенной матрицы можно извлечь

квадратный корень.

Пример.

Найти Аn, если

1 4 2

А = 0 -3 -2

0 4 3 .

Найдем А2

1 4 2 × 1 4 2 = 1 0 0 = Е

А2 = А × А = 0 -3 -2 0 -3 -2

0 1 0

0 4 3 0 4 3 0 0 1

Итак, Аn = Е, если n=2к и Аn = А, если n=2к+1.

§3. Представление значений функций многочленами

Во всех курсах высшей алгебры рассматривается задача, как по заданной системе

различных чисел ρ1, ρ2, ., ρs и

произвольной системе чисел a1, a2, ., as

построить многочлен f(λ), который в точках ρ1, ρ

2, ., ρs принимает соответственные значения α1

, α2,.,αs . Решение дается в виде известного

интерполяционного многочлена Лагранжа.

Для дальнейшего важно уметь строить многочлены, которые не только сами, но и

их производные до некоторого порядка принимают заданные значения в точках

ρ1, ρ2, ., ρs. Эта задача

является, таким образом, непосредственным обобщением предшествующей.

Утверждение о ее разрешимости сформулируем в виде отдельной леммы.

Лемма. Пусть заданы различные числа ρ1, ρ2,

., ρs и таблица из (к+1) s произвольных чисел αij

. Найдется многочлен р(λ), который в каждой точке ρi имеет

значение αi0, а его j-я производная - значение αij

(=1, , ., s; j= 1, ., к).

Сначала удобнее построить вспомогательный многочлен рi(λ)

такой, что он и его производные до к-го порядка имеют требуемые значения

лишь в точке ρi, а в остальных заданных точках обращаются в

нуль. Положим

φi(λ)= βi0 + βi1 (λ -

ρi) + .+ βik(λ - ρi)

k,

Φi(λ) = (λ - ρ1)k+1.

(λ - ρi-1)k+1(λ - ρi+1)

k+1. (λ - ρs)k+1 ,

рi(λ) = φi(λ) Φi(λ),

где βi0, βi1, . , βik - некоторые пока не определенные числа.

Очевидно, при любых βi0 , ., βik имеем

рi(ρj) = рi(ρj) = . = рi (k)(ρj) = 0 (j≠i).

Согласно правилу дифференцирования произведения

рi(j) = φi(j)(ρi

) Фi(ρi) + jφ i(j-1)

(ρi) Фi (ρi) + . + φi

(ρi)Фi (j)(ρi)

или

aij = j ! βij Фi(ρi) + j !

βij-1Фi(ρi) + . + βi 0

Фi(j)(ρi). (9)

Так как Фi(ρi)≠0, то из соотношений (9) при

j=0, 1, ., k можно последовательно определить числа βi0,

βi1, . , βiк и тем самым найти рi

(λ). Многочлен

р(λ) = р1(λ) + р2(λ) + . + рs(λ)

будет, очевидно, удовелтворять всем требованиям леммы.

Рассмотрим некоторую числовую функцию f(λ) и матрицу А, для которой

значение f(А) определено. Покажем, что тогда найдется многочлен р(λ), для

которого р(А), будет равно f(А). Обозначим через ρ1, ρ

2, ., ρs различные собственные значения матрицы А. Пусть

ее порядок есть n. Согласно только что доказанной лемме мы можем построить

многочлен р(λ), удовлетворяющий требованиям

р(ρi) = f(ρi), р΄(ρi) =

f΄(ρi), ., р (n-1)(ρi) = f

(n-1)(ρi) (10)

(i= 1, ., s).

Для определения смысла выражения f(А) нам нужны были только значения функции

f(λ) и ее производных самое большее до (n-1)-й в точках ρ

1, ρ2, ., ρs . Поскольку эти

значения у f(λ) и р(λ) совпадают, то f(А)=р(А). Итак:

Т е о р е м а 1. Значения всех cкалярных функций от матрицы А можно

представить многочленами от А.

В частности, рассматривая функцию f(λ)=√λ, мы видим, что для

каждой неособенной матрицы А существует такой многочлен р(λ), для

которого

р(А)р(А) = А.

С помощью теоремы 1 легко решается вопрос об однозначиности определения значения

f(А). В самом деле, зная функцию f(λ) и ее производные в точках ρ

1, ., ρs, мы можем построить многочлен р(λ),

значение которого р(А) не зависит от приведения матрицы А к нормальной форме

Жордана и в то же время совпадает с f(А). Следовательно, значение f(А),

определенное с помощью приведения матрицы А к нормальной форме, от способа

этого приведения не зависит.

Сделаем еще одно замечание. Пусть f(λ) - некоторая числовая функция, А

- матрица, для которой f(А) имеет смысл. Согласно теореме 1 мы можем найти

многочлен р(λ), для которого р(А)=f(А). При заданной функции f(λ)

многочлен р(λ) зависит лишь от элементарных делителей матрицы А. Но

элементарные делители матрицы А и транспонированной матрицы А΄

совпадают, поэтому р(А΄)=f(А΄). Легко усмотреть, что

р(А΄)=р(А)΄. Таким образом, для всех скалярных функций f(А) имеем

f(А)=f(А)΄.

§4. Элементарные делители функций

Рассмотрим вопрос, как по элементарным делителям матрицы А найти элементарные

делители какой-нибудь ее скалярной функции f(А). Приведем А к нормальной

форме

Т-1АТ = В = В1 + В2 + . Вt, (11)

где В1, . ,Вt, - клетки Жордана. Согласно определению

f(А) = Т f(В) Т-1,

и, следовательно, элементарные делители матриц f(А) и f(В) совпадают. Из

(11) вытекает, что

f(В) = f(В1) + f(В2) + . + f(Вt);

поэтому система элементарных делителей матрицы f(В) есть объединение систем

элементарных делителей клеток f(В1), ., f(Вt). Таким

образом, наш первоначальный вопрос сводится к следующему: дана клетка Жордана В

i с элементарным делителем (λ-ρi)ni

требуется найти элементарные делители для f(Вi).

На основании формул (5), (6) имеем

λ - f(ρi) - f΄(ρi) . -

f(ni-1) (ρi)

λЕi-f(Bi) = λ-f(ρ

i) . - f(ni-2) (ρi)

............ . (12)

λ - f(ρi)

Ищем наибольшие общие делители D1(l), D2(l), ..., D

ni(l) миноров 1-го, 2-го, ..., ni-го порядков этой матрицы.

Старший из них Dni(l) равен определителю матрицы, следовательно,

Dni(l) = (l-f(ri))ni .

Все остальные являются делителями Dni(l) и поэтому имеют вид (l-f(r

i))α. Рассмотрим Dni-1(l). Этот

многочлен должен быть делителем всех миноров порядка ni-1

матрицы (12), в том числе и минора D(l), получающегося вычеркиванием первого

столбца и последней строки. Однако если в этот минор подставить вместо l число

f(ri), то получится матрица треугольной формы с элементами -

f¢(rj) на главной диагонали и, значит,

D(ri) = (-f¢(ri))ni-1 . (13)

Мы предположим теперь, что f¢(ri)¹0. Равенство (13)

показывает тогда, что D(l) не делится на l- f(ri). Но многочлен D

ni-1(l) должен быть общим делителем многочленов D(l) и D

ni(l), следовательно, Dni-1(l)=1. Остальные

многочлены Dni-2(l), ..., D2(l),D1

(l) являются делителями Dni-1(l) и поэтому также равны

единице. Составляя отношения Dк+1 : Dк, мы видим, что

инвариантными множителями матрицы (12) будут 1, ... , 1, (l-f(ri))

ni , вследствие чего матрица (12) будет иметь только один элементарный

делитель (l-f(ri))ni. Отсюда следует

Т е о р е м а 2. Пусть матрица А имеет собственные значения r1

.

Например, если А - неособенная матрица, f(l)=l-1 , то f(А)= А-1

и f¢(ri)=-ri-2¹0. Поэтому, если

каждый элементарный делитель (l-ri)ni матрицы А

заменить выражением (l-ri-1)ni, то получится

система элементарных делителей обратной матрицы.

§5. Степенные ряды

Последовательность квадратных матриц

А1, А2, ..., Аm, Аm+1, ... . (14)

одного и того же порядка называется сходящейся к матрице А, если элементы

матриц (14), стоящие на пересечении заданного столбца и заданной строки,

стремятся к соответствующему элементу матрицы А. Из этого определения

непосредственно ясно, что если матрицы Аm и Bm при

возрастании m стремятся соответственно к А и В, то Аm+Bm

и АmBm стремятся к А+В и АВ. В частности, если Т -

постоянная матрица, а матрица Аm стремится к А, то Т-1

АmТ будет иметь своим пределом Т-1АТ. Далее, если

Аm = Аm(1) + Аm(2) + ... + Аm(s) (m=1, 2, ...),

где порядки клеток от m не зависят, то Аm при возрастании m

стремится к некоторому пределу тогда и только тогда, если к пределу стремится

каждая клетка Аm(i) отдельно.

Последнее замечание позволяет весьма просто решить вопрос о сходимости так

называемых степенных рядов от матрицы. Пусть

α0 + α1l + α2l2 + ... + αmlm + ... (15)

- формальный степенной ряд относительно переменной l. Выражение

α0Е +α1А + α2А2 + ... + αmАm + ... (16)

называется соответствующим степенным рядом от матрицы А, а многочлен

fn(А) = α0Е + α1А + ... + αnАn

- n-й начальной суммой этого ряда. Ряд (16) называется сходящимся, если

последовательность начальных сумм f1(А), ...., fm(А), ...

имеет предел; в случае существования этот предел называется суммой ряда (16).

Приведем матрицу А к нормальной форме

Т-1АТ = В = В1 + В2 + ... + Вt ,

где В1, ., Вt - клетки Жордана. Сходимость

последовательности fm(А) равносильна сходимости последовательности

Т-1fm(А)Т (m=1, 2, .). Но

Т-1fm(А)Т = fm (Т-1АТ) = fm(В) = fm(В1) + ... + fm(Вt),

поэтому вопрос о сходимости ряда (16) равносилен следующему; при каких условиях

этот ряд сходится для клеток Жордана В1, ..., Вt?

Рассмотрим одну из этих клеток, например Вi. Пусть ей отвечает

элементарный делитель (l-ri)ni . Согласно формуле (3)

fm(ri) f¢m(ri) ... fm(ni-1)(ri)

fm(ri) ... fm(ni-2)(ri) ,

fm(Вi) =

....................................

fm(ri)

cледовательно, fm(Вi) при возрастании m тогда и только

тогда стремится к некоторому пределу, когда к пределу стремится fm

(ri), f¢m(ri), ..., fm

(ni-1)(ri), т.е. когда в точке ri сходится ряд

(15), а также ряды получаемые из него почленным дифференцированием до (n

i-1)-го раза включительно. Из теории аналитических функций известно, что

все эти ряды заведомо сходятся, если либо ri лежит внутри круга

сходимости ряда (15), либо ri лежит на окружности круга

сходимости и (ni-1)-я производная от ряда (15) в точке ri

сходится. Следовательно, доказана

Т е о р е м а 3. Для того чтобы степенной ряд от матрицы А сходился,

элементарного делителя, принадлежащего ri .

Литература

1. Гантмахер Ф.Р., Теория матриц, Гостехиздат, М., 1954.

2. Куликов Л.Я., Алгебра и теория чисел, М., Высшая школа, 1989.

3. Курош А.Г., Курс высшей алгебры, Издание 6.

4. Мальцев А.И., Основы линейной алгебры, Гостехиздат, 1975.

5. Мишина А.П., Проскуряков И.В., Высшая алгебра, Издательство физико-

математической литературы, М., 1962.

Дагестанский Государственный Педагогический Университет

КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ

Допущена к защите

“___” _________ 2000 г.

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

на тему:

МНОГОЧЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ

И

ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ

Научный руководитель:

доцент Казибеков Т.Л.

Выполнила: ст-ка 5 курса

Османова Н.А.

Махачкала 2000 г.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7