|
множеств на факультативных занятиях в восьмых классах.
Если эта тема изучалась в 9 классе, то некоторые из входящих в нее вопросов
рассматриваются лишь в порядке повторения (полезнее - при решении
соответствующих задач); если же эта тема не ставилась ранее, то в целях
сокращения материала некоторые из более элементарных задач или упражнений
следует опустить. Рассмотрение универсального множества имеет важное
значение в развитии функционального мышления учащихся. Раскрытию содержания
этого понятия, его относительного характера должно быть уделено большое
внимание. В 9 классе для обоснования свойств отношений между множествами и
операций над множествами вполне достаточно применение кругов Эйлера. В 10
классе кругами. Эйлера целесообразно иллюстрировать результаты аналитических
обоснований.
Для особого факультативного изучения полезно отнести: а) решение
нестандартных математических задач; б) элементы программирования и принцип
работы электрон" новычислительных машин;
в) творческие индивидуальные работы учащихся над избранными ими самими
вопросами элементарной математики.
Приведем пример факультативного занятия по математике для учеников 8-х
классов отстающих от школьной программы . Для того , чтобы выяснить уровень
ученика , по теме : сложение и вычитание дробей с разными знаменателями .
Зададим ученикам несколько теоретических и практических заданий. Во время
опроса ученики не должны пользоваться учебниками , тетрадями и другой
литературой.
Теоретические вопросы.
1. Сформулируйте правило сложения дробей с
одинаковыми знаменателями.
2. Сформулируйте правило вычитание дробей с
одинаковыми знаменателями .
3. Как выполняют сложение и вычитание дробей с
разными знаменателями.
Практические задания.
Вариант 1.
а).
в)
с)
Вариант 2.
а)
в)
с)
Вариант 3.
а)
в)
с)
Теоретические вопросы у всех должны быть у всех одинаковые . Зачастую ученики
не могут ответить на теоретические вопросы , именно поэтому возникают
проблемы с практическим заданием. Именно поэтому важно на факультативных
занятиях более подробно рассматривать нужные правила. Ученик не должен
стеснятся задавать вопросы. Итак , в данном примере выписываем:
Где в,d = 0.
Далее подробно решить задание. Например:
Сложим дроби
Знаменатели дробей представляют собой собой одночлены . Наиболее простым
общим знаменателями являются одночлен 12ав . Коэффициент этого одночлена
равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей дробей , а
каждая переменная взята с наибольшим показателем , с которым она входит в
знаменатели дробей. Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих
дробей равны 3в и 2а . Имеем
На основании этого примера дать ученикам попробовать еще раз справиться с
заданием . Желающие могут выйти к доске .
На факультативных занятиях для отстающих учеников , главное дать понять
ученику ,что он сможет решить предложенные задания. Даже если поначалу
ученику помогают , то впоследствии ему будет важно добиться самостоятельных
успехов.
3.3 Общая характеристика школьных математических олимпиад. Примеры задач
математических олимпиад для 9, 10, 11 классов
Школьные математические олимпиады представляют собой более массовые
соревнования, поскольку они охватывают учеников не одного, а всех
параллельных классов школы.
Олимпиады в школе проводятся несколько раз в год с целью повышения интереса
учеников к математике, расширения их мировоззрения, выявления наиболее
способных учеников, подведения итогов работы математических кружков или клуба
юных математиков, повышение общего уровня преподавания математики в средних и
старших классах.
Примеры олимпиадных задач Новосибирска 1998 года , решение и комментарии к
этим задачам.
9 класс
1. На острове Чунга-Чанга 80% мужчин женаты, а 40% женщин -
замужем. Какая доля населения этого острова состоит в браке?
2. Можно ли треугольник с тремя различными сторонами разрезать на два
равных треугольника?
3. В таблице 3 *3 расставлены положительные числа. Произведение чисел в
каждой строке и в каждом столбце равно 1, а произведение чисел в любом
квадрате 2*2 равно 4. Какое число стоит в центре квадрата?
4. Доказать, что число 2001*20033 - 2002*20023
является кубом натурального числа.
5. В пробирке находится 2001 красная амёба, 2002 синие амёбы и 2003
зелёные амёбы. Две амёбы двух разных цветов могут сливаться в одну амёбу
третьего цвета (красная и зелёная - в синюю, красная и синяя - в зелёную,
зелёная и синяя - в красную). После нескольких таких слияний в пробирке
осталась ровно одна амёба. Каков её цвет?
10 класс
1. Бизнесмен Вася купил 2 автомобиля, заплатив в сумме 36000$, и
перепродал их, получив 25% прибыли. При перепродаже первого автомобиля
прибыль составила 50%, а при перепродаже второго - 12,5%. Но о второй сделке
Вася не сообщил в налоговую инспекцию, и в конце года с него взяли штраф,
равный половине первоначальной стоимости второго автомобиля. Сколько долларов
потерял Вася в результате данной сделки?
2. В таблице расставлены числа. В каждой строке и в каждом столбце
произведение чисел равно 1. В каждом квадрате произведение чисел равно 2.
Найти произведение чисел, стоящих в двух верхних клетках третьего столбца.
3. Докажите, что число 516 + 214 - составное число.
4. Дана окружность с центром в точке О1. Окружность с центром О
2 проходит через точку О1. А и В - точки пересечения этих
окружностей. Касательная к окружности с центром О2, проходящая через
точку В пересекает первую окружность в точке С. Докажите, что AB=BC.
5. По кругу сидят 2002 хамелеона, которые могут менять цвет в следующем
порядке: синий, оранжевый, фиолетовый, зелёный. Если прикоснуться к одному из
них, то он меняет цвет на следующий по порядку, и одновременно с ним меняют
свой цвет трое следующих за ним по часовой стрелке. В начальный момент
времени все хамелеоны - синие. Можно ли добиться того, чтобы все хамелеоны
стали зелёными?
11 класс
1. Доказать, что для всех положительных чисел a, b, c, d выполняется
неравенство
.
2. Вычислить:
3. В некоторой компании мальчиков больше, чем девочек. Если каждый
мальчик купит батончик "Snickers", а каждая девочка - батончик "Mars", то они
истратят на 1 рубль меньше, чем если бы каждый мальчик купил "Mars", а
девочка "Snickers". На сколько мальчиков больше чем девочек?
4. В параллелограмме ABCD AD+BC=BD. На стороне AB взята точка K, а на
стороне CD - точка M так, что AKCM - ромб. Найти отношение AK:KB.
5. В каждой вершине тетраэдра находится лампочка, которая может гореть
поочерёдно красным, желтым, зелёным цветом. На каждой грани тетраэдра
находится кнопка, при нажатии на которую все лампочки в вершинах,
принадлежащих этой грани, меняют своё состояние на следующее. Можно ли путём
нескольких нажатий добиться того, чтобы все лампочки горели жёлтым цветом,
если изначально все они горели красным цветом.
РЕШЕНИЯ. 9 КЛАСС.
1. Количество мужчин и женщин, состоящих в браке, - одно и то же. Обозначим
его  . Тогда мужчин на острове
-  , женщин - 
. Общее число жителей -  .
Состоящих в браке -  . Тогда искомая величина:  .
2. Пусть  разрезан на два равных
треугольника (см. рис). Тогда 
в  должен быть равен одному из
углов  . Но 
не может равняться  или 
, так как внешний угол треугольника всегда больше внутреннего угла, не смежного
с ним. Если же  , то 
, значит  является высотой. Так
как в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, то 
, что противоречит тому, что  -
разносторонний. Следовательно, разносторонний треугольник нельзя разрезать на
два равных треугольника.
3. (ABDE)(BCEF)=(ABC)(DEF)(BE). Учитывая, что ABDE=BCEF=4, ABC=DEF=1,
получаем равенство: 16=BE. Аналогично получим, что EH=16. Перемножаем
полученные равенства: (BE)(EH)=(BEH)E. 1616=E.
Ответ: E=256.
4. Обозначим 2001= . Тогда данное нам числовое выражение запишется в виде:
.
Тогда  .
5. Пусть Nk, Ns и Nz
- количество красных, синих и зелёных амёб, соответственно. В начальный момент
времени  , 
- нечётны,  - чётно. Нетрудно
проверить, что при любом слиянии эти чётности сохраняются. Поэтому в конце
концов  , 
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5
| 
