. Тогда , откуда

можно заключить что

. Отсюда после сокращений

. Cтало быть потому

что НОД()=1. Из

этого можно заключить что

. Очевидное противоречие.

Из теоремы легко выводятся два следствия.

Следствие1. Простые корни полинома не являются корнями его производной.

Cледствие2. Пусть K – поле,

- неприводимый полином в K[x], который делит

. Тогда если и

только если .

Пусть - примитивный

полином, определённый на области с однозначным разложением на множители K,

. Пусть . Для

положим ,

. Тогда называется

разложением полинома

на свободные от квадратов множители.

Замечание. Некоторые из полиномов

могут быть единицей,

- произведение всех линейных множителей, cоответствующим простым корням,

- произведение всех линейных множителей, cоответствующим двойным корням и т.д.

Так как r(x)= НОД(,)=(здесь без ).

Наибольший свободный от квадратов делитель полинома равен .

Cледовательно,

НОД(,)=.

Поэтому . Повторяя

процесс с вместо

мы можем вычислить

как первый свободный от квадратов сомножитель

, и в конце можно получить все свободные от квадратов сомножители

. Таким образом получен алгоритм, известный под названием PSQFF(P

olynomial Square Free Factorization).

Вход: - примитивный

полином, определённый на области с однозначным разложением на множители K,

, char(K)=0.

Выход: полиномы и

вышеопределённое число e, определяющие разложение

на свободные от квадратов множители.

На условном языке программирования алгоритм выглядит примерно так:

BEGIN // первоначальная инициализация

j:=1

label:

IF THEN // выход?

BEGIN

e:=j

EXIT

END

v(x):= // вычисляем

// обновляем

INCR(j)

GOTO label

END

Основные факты о конечных полях. Из определения поля видно, что каждое

поле – область целостности, обратное утверждение в общем случае неверно. Но

имеет место следующее утверждение:

Каждая конечная область целостности – поле.

Если взять два неравных элемента a,b из конечной области целостности K ,

то для всех ненулевых элементов

по правилу сокращения

. Поэтому сК=К и найдется такой

, что , что и

означает наличие у каждого ненулевого элемента конечной области целостности

мультипликативного обратного элемента, что и подтверждает что K- поле.

Так как ненулевые элементы любого конечного поля из q элементов образуют

абелеву группу порядка q-1 относительно умножения, то справедлива

Теорема1. Если F - поле, |F|=q, , , то .

Cледствие. При условиях теоремы любой удовлетворяет уравнению

Теорема2. Пусть F - поле, |F|=q, , . Если n – порядок элемента a, то n|(q-1).

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9