, значение ArgZ не определено, а при

оно определено с точностью до кратного

. Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде

(показательная форма комплексного числа).

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие

понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их

применения.

Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с

величинами, которые изображаются векторами

на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании

“гиперкомплексных” чисел - чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такую

систему вида , где

, построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их

“кватернионами”.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли

русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к

упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н. Н.

Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.

Поняття комплексного числа.

“Подобно тому, как всю область действительных величин можно представить с

величину a+ib”.

Гаусс

Рассмотрим множество чисел, каждое из которых определяется упорядоченной парой

дей­ствительных чисел. Действительные числа будем обозначать буквами а, b, с,

..., а упорядоченные пары действительных чисел — буквами α, β,

γ, ... и соот­ветственно записывать α=(a, b), β =(c, d) и т. д.

Такую упорядоченную пару действительных чисел (a,b) назовем комплексным

числом.

Определим действия над упорядоченными парами действительных чисел. Суммой

двух упорядоченных пар α= (а, b) и β = (с, d) назовем упорядоченную

пару γ = (a+c, b+d):

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

(1)

а произведением указанных пар — упорядоченную пару δ = (ас – bd, ad + bc):

(a, b)(c, d) = (ac – bd, ad + bc). (2)

Действия сложения и умножения упорядоченных пар действительных чисел

определены аксиома­тически.

Для этих действий существуют обратные дей­ствия — вычитание и деление (кроме

деления на нуль). Разностью α — β двух упорядоченных пар

α = (a, b) и β = (с, d) назовем такую упорядочен­ную пару (х, y), для

которой (с, d) + (x, y) = (a, b). Принимая во внимание равенство (1), получаем

с + х = a, d + y = b, откуда x = а – c, y = b – d. Разностью α — β

упорядоченных пар α = (а, b) и β = (с, d) является упорядоченная

пара (а – c, b – d):

(a, b) – (c, d) = (a – c, b – d). (3)

Нулем служит пара 0 = (0, 0). Упорядоченной парой, противоположной для

упорядоченной пары α = (а, b) будет, пара - α = ( -а, -b), так как

α + (-α) = (а, b) + (-а, -b) = (0,0) = 0.

Частным от деления упорядоченной пары α = (а, b) на упорядоченную

пару β = (с, d), где β

0 или с + d

0 (т. е. хотя бы одно из чисел с, d отлично от нуля) должна быть упорядоченная

пара (x, y) такая, что (с, d) (x, y) = (а, b). Отсюда на основании равенства

(2) получаем cx – dy = a, cy – dx = b. Из этой системы уравнений находим x и y:

x = , y = .

Итак, если β0,

то частное α/β двух упорядоченных пар α = (а, b), β = (с,

d) существует и определя­ется формулой:

= . (4)

Положив в этой формуле β = α (т. е. c = a, d = b), найдем, что

единицей при умножении упорядоченных пар служит упорядоченная пара (1, 0).

Полагая α = 1 = (1, 0), из формулы (4) получаем, что при β

0 упорядоченной парой, обратной для β, будет упорядоченная пара

.

Таким образом, построено множество чисел, дей­ствия над которыми определяются по

формулам (1) - (4). Это множество чисел называют множест­вом комплексных

чисел.

Докажем, что множество комплексных чисел в качестве своего подмножества

содержит все дейст­вительные числа. Рассмотрим упорядоченные пары вида (a,

0). Каждой паре (a, 0) поставим в соот­ветствие действительное число а, в

результате полу­чим взаимно однозначное соответствие между мно­жеством

рассматриваемых упорядоченных пар и множеством всех действительных чисел.

Применяя к указанным упорядоченным парам формулы (1) и (2), находим;

(а, 0) + (b, 0) = (а + b, 0); (а, 0) (b, 0) = (ab, 0).

Эти равенства означают, что упорядоченные пары вида (а, 0) складываются и

умножаются так же, как действительные числа. Следовательно, множест­во

указанных упорядоченных пар действительных чисел, рассматриваемое как

подмножество множест­ва комплексных чисел, по своим алгебраическим свойствам

не отличается от множества действитель­ных чисел. Это позволяет положить

(а, 0) = а, (5)

т. е. не различать упорядоченную пару (a, 0) дейст­вительных чисел и

действительное число a. В част­ности, нуль (0, 0) и единица (1, 0) множества

комп­лексных чисел оказываются обычными действитель­ными числами 0 и 1.

Покажем, что среди комплексных чисел содер­жится корень уравнения х

+ 1 = 0. Корнем уравне­ния х

+ 1 = 0 является такое число, квадрат кото­рого равен действительному числу —1.

Это число определяется упорядоченной парой (0, 1). В самом деле, применив

формулу (2), получим

(0, 1) (0, 1) = (-1, 0) = -1.

Обозначим эту упорядоченную пару через i, т. е. i = (0, 1), тогда

i = - 1, i = , (6)

число ί называют мнимой единицей.

Найдем произведение действительного числа b на упорядоченную пару (0, 1) =

ί — мнимую еди­ницу:

bi = (b, 0)(0, 1) = (0, b), ib = (0, 1)(b,

0) = (0, b). (7)

Если (а, b) - произвольная упорядоченная пара, то из очевидного равенства (а,

b) = (a, 0) + (0, b) и формул (5), (7) получаем

(a, b) = a + bi. (8)

Следовательно, комплексное число α = (a, b) мо­жет быть записано в виде a +

bi = a + ib, где a и b — действительные числа, ί —

мнимая единица, определяемая соотношением (6). Выражение a + bi называют

алгебраической формой комплексного числа. Число a называют

действительной, число b — мнимой частью комплексного числа a + bi.

Обозначая комплексное число a + bi одной буквой α, пишут:

a = Reα, b = Imα,

где Re — начальные буквы латинского слова realis (действительный), Im -

начальные буквы латинского слова imaginarius (воображаемый). Кроме

указанных обозначений, употребляются также и такие: a = R(α), b =

I(α), где (a, b) = a + bi. Числа вида bi называют чисто

мнимыми числами или просто мнимыми.

85

Комплексное число a + bi считают равным нулю тогда и только тогда, когда

а = 0, b = 0:

. (9)

Два комплексных числа a + bi и c + di считают равными

тогда и только тогда, когда равны между собой соответственно их действительные и

мнимые части, т. е. a = с, b = d:

. (10)

Комплексное число a - bi называют сопряжен­ным комплексному числу

a + bi. Обозначим число a - bi буквой

= a + bi. Числу

будет сопряжено число a – (-bi) = a + bi = α. Вследствие

этого числа α = a + bi и

= a - bi называют комп­лексно сопряженными числами.

Действительные числа и только они сопряжены сами себе. В самом деле, если

α = a, где a - действительное число, то из формул (5) и (8) имеем: α

= a + 0i = a,

= a – 0i = a, т. е. α =

.

Например: комплексному числу 3 + 5i сопряжённым будет 3 – 5i ;

комплексному числу 4 - 7i сопряжённым будет 4 + 7i .

Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

Рассмотрим правила, по которым производятся арифметические действия над

комплекс­ными числами.

Если даны два комплексных числа α = a + bi и β = c + di, то

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6