p> Пример: 
Рекомендации: В интегралах с подынтегральным выражением вида:  (Pn –многочлен степени n )
Pn принимается за u В интегралах с подынтегральным выражением вида: 
за u ®  Интегрирование с подстановкой выражений вида  после двукратного интегрирования по частям приводится к линейному уравнению относительно вычисляемого интеграла. 20.Основные типы интегралов, берущихся по частям.+++21.Интегрирование рациональный алгебраических функций. (см. дополн шпору) 22.Метод неопределенных коэффициентов. 1. Разложим знаменатель на множители: 
2. Правильная дробь разлагается в сумму простейших и каждому множителю вида  соотв. сумма из n простейших дробей вида:  с неопределенным коэф. A1 .n
Каждому множителю вида соот. сумма из m простейших дробей вида: с неопределенным коэф.B1 C1. 3. Неизвестный коэф. находится методом неопределенных коэф., основанном на: определении, что 2 многочлена тождественно совпадают, если у них равные коэффициенты при одинаковых степенях. 4. Приравнивая коэф. при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений относительно неизвестного уравнения. 23.Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл. Определение. Пусть непрерывная функция от одной переменной задана на отрезке [a, b]. 1) Тогда разбиением отрезка [a, b] называется конечное множество точек х0 , х1 ... хn , где а = х0 < х1< х2 < .... < хn-1 < хn = b 2) обозначим через D хi = хi – хi-1, i=1, 2, ., n Диаметром разбиения называется D =   - длина максимального из отрезков разбиения. На каждом отрезке  , i = 1, 2, ., n, произвольно выберем  и составим сумму  (13)
которая называется интегральной суммой Римана функции f(х), соответствующей данному разбиению отрезка [а, b] и выбору точек  . Теперь выясним геометрический смысл интегральных сумм Римана. Пусть f (х) непрерывная на отрезке [а, b] функция, причем f (х) 0,  . Произведение f( )Dхi равно заштрихованной площади прямоугольника с основанием D х= хi - хi-1 и высотой f ( ). Тогда сумма 
представляет собой сумму площадей n прямоугольников, с основаниями D хi и высотами f ( ), i = 1, 2., n. Здесь х0=а, хn = b. Если при стремлении к нулю диаметра разбиения отрезка [а, b] существует предел (14), то определенный интеграл представляет собой площадь криволинейный трапеции. 24.Свойства определенного интеграла. Df. Промежуток с гранич. т. A и B ориентированным, если указано направление перехода от т. A к т. B. 1. Пусть сущ. определенный интеграл  сущ. определенный интеграл и справедливо равенство 
2.  Док-во: 
3. Свойство линейности определенного интеграла: 1. Пустьф-ии интегрируемы на  *** 
2. Пусть  , то для любой произвольной постоянной   - справедлива формула  4. Аддитивность определенного интеграла: Пусть ф-ия  интегрируема на большем их трех помежутков  , тогда она интегрируема на обоих меньших промежутках и справедлива формула: | 
Свойство монотонности. 1. Пусть ф-ия  неотрицательна на  и интегрируема на нем,  Док-во: В силу н-ва для ф-ий любая интегрируема ф-ия неотрицательна Þ любая последовательность интегрируемых сумм будет иметь неотрицательный предел Þ интеграл будет неотрицательным. 
2. Пусть ф-ия  на  , искл. конечн. точек, и интегрируема на  , тогда  Док-во: Из интегрируемости следует, что предел не зависит от выбора разбиения на  . Достаточно строить инт. разбиения так, чтобы точки, в которых ф-ия равна нулю, являлись точками разбиения. А следовательно в силу аддитивности интеграл по всему прмежутку равен сумме интегралов по частичным промежуткам, т.к **** 
Df Две ф-ии  , заданные на  , значения которых различны на  лишь в конечном ч. точек называются эквивалентными на этом отрезке. 3. Инт. от эквивалентных ф-ий совп. Пусть  эквивалентны и интегрируемы на  , тогда  (они не совпадают а интегралы совпадают). Д-во:  на  лишь в конеч. ч. точек отр.  , следовательно по 2му
4. Пусть  на  , кроме конечного ч. точек,  инт. на  ,  , то  5. Пусть  инт-ма на  Þ модуль ф-ии тоже интегрируем на  и справедливо неравенство:
Страницы: 1, 2, 3, 4
|
