36.Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами.

Теорема 1. (Признак сравнения).

Пусть для членов рядов

и

имеет место неравенство

(8)

n=1,2,.

Тогда:

1. Если сходится ряд , то сходится и ряд

2. Если расходится ряд , то расходится и ряд .

Этот признак утверждает, что при выполнении условия (8) из сходимости ряда с большими членами вытекает сходимость ряда с меньшими членами, а из расходимости ряда с меньшими членами вытекает расходимость ряда с большими членами.

Теорема 2. (Предельный признак сравнения).

Пусть члены рядов и положительны и

Тогда ряды и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

37.Признак сравнения.

Пусть даны два ряда с полжительными членами. и Причем, каждый член ряда не превосходит соответствующего члена ряда , то есть для всех . Тогда

· если сходится ряд с большими членами, то сходится и ряд с меньшими членами;

· если расходится ряд с меньшими членами, то расходится и ряд с большими членами.

Теорема остается верна, если соотношения между членами рядов выполняются не для всех , а лишь начиная с некоторого номера .

При использовании признаков сравнений чаще всего исследуемый ряд сравнивают с бесконечной геметрической пргрессией , которая сходится при и расходится при , или с рядом , который сходится при и расходится при .

38.Признак Даламбера.

Пусть l - предел отношения последующего члена un+1 ряда (1) к предидущему un при n®¥ , т.е.

Тогда,

если l < 1, то ряд l сходится,

если l > 1, то ряд l расходится,

Если же l = 1, то вопрос о сходимости ряда (1) остается открытым.

Доказательство. Согласно определению предела переменной величины, равенство

означает, что, начиная с некоторого номера n, выполняются неравенства

где e - наперед заданное сколь угодно малое положительное число.

Рассмотрим три случая:

а) пусть l < 1 . Тогда всегда можно взять e настолько малым, чтобы выполнялось неравенство

l + e < 1

и, начиная с некоторого n , неравенство

где q = l + e , в силу чего (см. теорему 1) ряд (1) будет сходящимся;

б) пусть l > 1 . Выбираем e так, чтобы

e = l - 1 > 0

Тогда l - e = 1 и

т.е. ряд (1) расходится (см. теорему 1)

в) пусть l = 1 . Тогда ряд (1) может быть как сходящимся, так и расходящимся.

В самом деле, для гармонического ряда

который расходится, имеем,

С другой стороны, ряд

сходится, а для него также

потому что

Таким образом, доказано, что если

то ряд (1) сходится; если l > 1 , то ряд (1) расходится.

39.Интегральный признак Коши.

Пусть - непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при . Тогда ряд и интеграл либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство. Ввиду монотонности при всех выполняются неравенства . Интегрируя, получаем . Тогда , или . Поэтому если сходится, то . Тогда и , ряд сходится.

Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда . Взяв произвольное выберем так, чтобы . Тогда . Значит, сходится.

40.Знакопеременные ряды.

Числовой ряд, члены которого имеют различные знаки, называется знакопеременным рядом.

Пусть дан знакопеременный ряд

. (1)

Рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов:

. (2)

Определение 1. Ряд (1) называется условно сходящимся, если сам ряд (1) сходится, а ряд (2), составленный из абсолютных величин, расходится.

Определение 2. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сам ряд (1) сходится и ряд из абсолютных величин тоже сходится.

Теорема. Если ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда, сходится, то и сам ряд сходится (из абсолютной сходимости следует условная).

41.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Признак Лейбница.

Пусть дан знакочередующийся ряд

(монотонно стремится к 0), тогда А сходится.

Доказательство.

Т.к.

.

, , то есть последовательность частичных сумм убывает, а возрастает.

Каждая из последовательностей ограничена и .

Следовательно, .

Заметим, что:

.

42.Степенные ряды. Признак Абеля.

Признак Абеля.

Пусть дан ряд:

:

Доказательство.

Доказано.

43.Теорема об интервале сходимости степенного ряда.

44.Теорема о радиусе сходимости степенного ряда.