алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели

решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к

уравнениям второй степени. Таким образом, был создан метод решения

текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения

алгебраического компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими

математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия,

посредством которых уравнения приводились к стандартному виду (приведение

подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с

переменой знака), а затем европейскими математиками Возрождения, в итоге

длительного поиска создавшими язык современной алгебры (использование букв,

введение символов арифметических операций, скобок и т. д.). На рубеже

XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим

предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее

ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании

методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с

понятиями других разделов математики. В этом процессе все яснее становилась

важность роли, которую играло понятие уравнения в системе алгебраических

понятий.

Открытие координатного метода (Декарт, XVII в.) и последовавшее за ним

развитие аналитической геометрии позволили применить алгебру не только к

задачам, связанным с числовой системой, но и к изучению различных

геометрических фигур. Эта линия развития алгебры упрочила положение

уравнения как ведущего алгебраического понятия, которое связывалось теперь

уже с тремя главными областями своего возникновения и функционирования:

a) уравнение как средство решения текстовых задач;

b) уравнение как особого рода формула, служащая в алгебре объектом

изучения;

c) уравнение как формула, которой косвенно определяются числа или

координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.

Каждое кз этих представлений оказалось в том или ином отношении полезным.

Таким образом, уравнение как общематематическое понятие многоаспектно,

причем ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если

речь идет о проблемах школьного математического образования.

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения,

его изучение в современной методике математики организовано в содержательно

- методическую линию — линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются

вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных

методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой,

функциональной и другими линиями школьного курса математики.

Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в

алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии

уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

а) Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом

при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод

широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением

приемам, используемым в приложениях математики.

В настоящее время ведущее положение в приложениях математики занимает

математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что

прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются

основной частью математических средств, используемых в математическом

моделировании.

б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений раскрывается в

двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, и

их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов,

относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной

математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими и одновременно

наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий

и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку

они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения,

относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою

очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические

понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование,

которые также должны быть раскрыты в линии уравнений

в) Для линии уравнений характерна направленность на установление связей с

остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой

линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих

линий,— это идея последовательного расширения числовой системы. Все

числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за

исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением

каких-либо уравнений и их систем. Области иррациональных и логарифмических

выражений связаны соответственно с уравнениями хk = b (k - натуральное

число, большее 1) и ax=b.

Связь линии уравнений с числовой линией двусторонняя. Приведенный пример

показывает влияние уравнений на развертывание числовой системы. Обратное

влияние проявляется в том, что каждая вновь введенная числовая область

расширяет возможности составления и решения различных уравнений. Например,

введение арифметического квадратного корня из рациональных чисел позволяет

записывать корни не только уравнений вида х2 = b, где b—неотрицательное

рациональное число, но и любых квадратных уравнений с рациональными

коэффициентами и неотрицательным дискриминантом.

Линия уравнений тесно связана также и с функциональной линией. Одна из

важнейших таких связей — приложения методов, разрабатываемых в линии

уравнений, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение

области определения некоторых функций, их корней, промежутков

знакопостоянства и т. д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает

существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и

на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат

основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию

уравнений, неравенств и их систем.

С функциональной линией непосредственно связан также и небольшой круг

вопросов школьного курса математики, относящихся к дифференциальным и

функциональным уравнениям. Сама возможность возникновения дифференциального

уравнения кроется в наличии операции дифференцирования (может быть

поставлен вопрос о нахождении для заданной функции ( другой функции F,

такой, что F' (x)=f (х)).

Однако сама по себе возможность выделения дифференциальных уравнений в

школьном курсе математики еще не следует из того факта, что имеются

формальные основания для их рассмотрения. Как известно, теория

дифференциальных уравнений обладает большой сложностью. В школьном обучении

эта теория представлена лишь своими начальными частями, которые не образуют

связного целого, а относятся к различным конкретным, по большей части

прикладным вопросам.

По-видимому, понятие дифференциального уравнения допускает более

широкое представление в школьном курсе. В настоящее время этот вопрос

является открытой методической проблемой.

В отличие от дифференциальных функциональные уравнения (неизвестным в

которых, так же как и в дифференциальных, является функция) почти не

представлены в школьном курсе математики. Единичные задания, связанные с

этим классом уравнений, могут быть использованы при рассмотрении

показательной функции, в связи с понятием обратной функции и др.

В качестве последнего примера отметим взаимосвязь линии уравнений с

алгоритмической линией. Влияние же алгоритмической линии на линию уравнений

заключается прежде всего в возможности использования ее понятий для

описания алгоритмов решения уравнений и систем различных классов.

§ 3. Основные понятия линии уравнений

1. О трактовке понятия уравнения.

Понятие уравнения относится к важнейшим общематематическим понятиям.

Именно поэтому затруднительно предложить его определение, одновременно и

строгое с формальной точки зрения, и доступное для учащихся, приступающих к

овладению школьным курсом алгебры.

Логико-математическое определение уравнения можно привести в такой форме:

пусть на множестве М зафиксирован набор алгебраических операций, х —

переменная на М; тогда уравнением на множестве М относительно х называется

предикат вида а(х)=b (х), где а(х) и b(х)—термы относительно заданных

операций, в запись которых входит символ х. Аналогично определяется

уравнение от двух переменных и т. д.

Принятым в логике терминам «терм» и «предикат» соответствуют термины

школьной математики «выражение» и «предложение с переменной». Поэтому

наиболее близко к приведенному формальному определению следующее

определение: «Предложение с переменной, имеющее вид равенства между двумя

выражениями с этой переменной, называется уравнением»

Анализируя приведенное математическое определение уравнения, можно

выделить в нем два компонента. Первый состоит в том, что уравнение — это

особого рода предикат. Второй уточняет, какого именно рода: это равенство,

соединяющее два терма, причем термы также имеют определенный специальный

вид. При изучении материала, относящегося к линии уравнений и неравенств,

оба компонента играют значительную роль.

Первый — смысловой компонент, важен прежде всего для уяснения понятия

корня уравнения. Кроме того, смысловой компонент почти всегда используется

при обоснованbи корректности того или иного преобразования уравнения.

Второй компонент относится к формальным особенностям записи, изображающей

уравнение. Назовем этот компонент знаковым. Он важен в случаях, когда

запись уравнения подвергается различным преобразованиям: зачастую такие

преобразования производятся чисто механически, без обращения к их смыслу.

Возможность использования в школьном обучении подхода к понятию

уравнения, включающего явно упоминание о предложении с переменной, зависит

от присутствия этого термина и терминов «истина», «ложь» в обязательном

материале курса математики. Если их нет, то привести подобное определение

невозможно. В этом случае смысловой компонент понятия уравнения переходит в

определение другого понятия, тесно связанного с понятием уравнения,— корня

уравнения. Получается система из двух терминов: термин «уравнение» несет в

себе признаки знакового компонента, а термин «корень уравнения» учитывает

смысловой компонент. Такое определение приведено, например, в учебнике

Колмогорова А. Н. "Алгебра и начала анализа"[с. 330]: «Равенство с

переменной называется уравнением. Значение переменной, при котором

равенство с переменной обращается в верное числовое равенство, называется

корнем уравнения»..

Часто, особенно в начале систематического курса алгебры, понятие

уравнения вводится посредством выделения его из алгебраического метода

решения задач. В этом случае независимо от того, каков текст определения,

существенным оказывается подход к понятию уравнения, при котором оно

представляет косвенную форму задания некоторого неизвестного числа,

имеющего в соответствии с сюжетом задачи конкретную интерпретацию.

Например, понятие уравнения вводится на материале текстовой задачи:

«Конверт с новогодней открыткой стоит 17 к. Конверт дешевле открытки на 5

к. Найти стоимость открытки». Переход к определению уравнения

осуществляется на основе анализа некоторых формальных особенностей записи

.х+(х-—5)= 17, выражающей содержание данной задачи в алгебраической форме.

С помощью этого же сюжета вводится и понятие корня уравнения. Вот эти

определения: «Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой,

называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение

неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство».

Указанный способ введения понятия уравнения соответствует еще одному

компоненту понятия уравнения — прикладному.

Помимо выделенных компонентов понятия уравнения (смыслового, знакового,

прикладного), в школьной математике большую роль играет компонент, при

котором уравнение трактуется как равенство двух функций. Его роль

проявляется в изучении графического метода решения уравнений. Однако в

известных нам учебниках алгебры этот компонент не кладется в основу

определения уравнения.

Еще один подход к определению понятия уравнения получается при

сопоставлении области определения уравнения и множества его корней. Обычно

множество корней уравнения — собственное подмножество его области

определения. С другой стороны, при решении уравнений приходится

использовать преобразования, которые опираются на тождества, т. е. на

равенства, истинные на всей области определения. Выделенное здесь

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10