В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида (х3+px+q=0) появились кубические корни и квадратные корни: 3Ц(-q/2+Ц(q2/4+p3/27))+ 3Ц(-q/2-Ц(q2/4-p3/27))

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (х3+3х-4=0), а если оно имеет три действительных корня (х3-7х+6=0), то под знаком квадратного корня оказываются отрицательные числа. Получилось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Вслед за тем, как были решены уравнений четвертой степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения пятой степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени (х5+ax4+bx3+cx2+dx+e=0) нельзя решить алгебраически, точнее его корень нельзя выразить через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в степень, извлечение корня).

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше, чем четыре, нельзя решить алгебраически. Тем не менее всякое уравнение n-ой степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней, среди которых могут быть и равные.

В этом математически были убеждены ещё в XVII (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Джон Кардане в 1545 году предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений

    х+y=10
    xy=40

не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решение вида (х=5±Ц-15, y=5±Ц-15), нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что

Ц-аЧЦ-а=-а. Кардане называл такие величины “чисто отрицательные”, считая их бесполезными и старался не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века– Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа Ц-1 (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу.

Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. , образующих единое целое. В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ой степени сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707 год): (cosj+isinj)n= cos(nЧj)+isin(nЧj)

С помощью этой формулы можно было вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг.

Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу: eiЧp= cosx+isinx, которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что eiЧp=-1. Можно находить синус и косинус от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного. В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняет мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Ещё раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для вычисления интегралов. В течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д. Однако ещё не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

“Никто ведь не сомневался в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств” - Л. Харна.

В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число (z=a+bi) точкой М(a, b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что ещё удобней изображать число не самой точкой М(a, b), а ОМ–вектором, идущим в эту точку от начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствует эти же операции над векторами. Вектор ОМ можно задавать не только его координатами a и b, но также длиной r и угломj, который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом a=rcosj, b=rsinj и число z принимает вид z=r(cosj+isinj), который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного z и обозначаютЅzЅ. Число j называют аргументом z и обозначают Arg z. Заметим, что если z=0, значение Arg z не определено, а при z№0 оно определено с точностью до кратного 2p. Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде z=rЧeiЧj (показательная форма комплексного числа).

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются на векторной плоскости. Например:

    при изучении течения жидкости;
    задачи теории упругости.

Мы не будем уделять время на изучение всех приложений комплексных чисел, рассмотрим более подробно арифметику целых комплексных чисел, с которыми мы уже знакомы. Их еще будем называть целыми гауссовыми.

Принято считать, что арифметика предшествует алгебре, что это более элементарная часть математики. Между тем, арифметика, если ее понимать как учение о свойствах целых чисел и о действиях над ними, трудный и далеко не элементарный раздел математики. Рассмотрим, например, основную теорему арифметики. Эту теорему все хорошо знают и часто пользуются ею при арифметических вычислениях(например, при нахождении общего знаменателя дробей). Первую часть основной теоремы арифметики составляет утверждение о том, что каждое целое число может быть представимо в виде произведения простых чисел. Доказательство этого утверждения довольно просто. Труднее доказывается второе утверждение теоремы, которое в школьных учебниках считают очевидным. Его можно сформулировать так: если некоторое число n разложимо двумя способами в произведение простых сомножителей

n=p1ЧЧp2Ч…...Чpк=q1Ч q2Ч…Ч. Чqt, то эти разложения совпадают с точностью до порядка сомножителей, т. е оба они обладают одним и тем же числом сомножителей, k=t, и каждый сомножитель, встречающийся в первом разложении, встречается столько же раз во втором разложении.

Трудность с доказательством этого утверждения не случайна, а связана с глубокими свойствами арифметики целых чисел. Оказывается, что наряду с привычной арифметикой существуют многочисленные другие

“ арифметики”. В одних арифметиках утверждения основной теоремы справедливы, в других нет, причем не выполняется как раз утверждение об однозначности разложения.

Рассмотрим, например, множество четных чисел 2Z и покажем на простом примере, что в нем не выполняется утверждение об однозначности разложения. Очевидно, что в нем числа 10, 50 и 2 являются простыми, но для них выполняются следующие равенства: 100=10Ч10=50Ч2. Таким образом, число 100 из множества 2Z имеет два различных разложения в произведение простых множителей. Мы же рассмотрим еще одну арифметику, в которой основная теорема выполняется- арифметику целых комплексных чисел.

    Занятие №6.

ТЕМА: Целые гауссовы числа. Расположение целых гауссовых чисел на комплексной плоскости.

Определение 1: целым гауссовым числом называется комплексное число, действительная и мнимая части которого являются целыми рациональными числами, т. е. это комплексные z вида z = a+bi, где a и b– целые рациональные числа.

Определение 2: нормой целого гауссого числа z = a+bi называется неотрицательное целое рациональное число N (z) = a2+b2.

Теперь рассмотрим как расположены целые гауссовы числа на комплексной плоскости (т. е. где определены действительная и мнимая оси).

Т. о. видим все точки с целочисленными координатами, лежащие в вершинах квадратов со стороной, равной 1 и будут являться изображением целых гауссовых чисел. Т. е. в отличие от целых рациональных чисел, которые располагаются на одной прямой, целые гауссовы числа создают решетку при нанесении их на комплексную плоскость.

    Задания.

1) Среди комплексных чисел найдите целые и вычислите их нормы: 147, 3+(3/2)i

    2, 5+7i
    3i
    5i+2
    147. 3+(3/2)i

2)Доказать теорему 1: норма комплексных чисел мультипликативна, т. е. N (бв) = N (б)ЧN(в) Задача 2:

Норма целого комплексного числа 1+ i равна 2, а целого комплексного числа 2+ i равна 5. Будет ли норма произведения этих чисел равна 10?

3)Доказать теорему 2: положительное целое рациональное число C является нормой некоторого целого гауссова числа тогда и только тогда, когда число С представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел.

    Задача 3:

Будет ли 9 являться нормой некоторого целого гауссова числа? Решение: рассмотрим алгоритм, позволяющий представить целое рациональное число в виде суммы двух квадратов.

Ц9=3, рассмотрим натуральные числа nЈ3. В данном примере такие числа 1, 2, 3. Возводим каждое такое число в квадрат и вычитаем этот результат из 9. Если находится такая разность, которая есть квадрат какого-либо натурального числа, то мы подобрали ту пару чисел, сумма квадратов которых и будет являться исходным числом.

    9-1=8- не квадрат, 9-2=5- не квадрат.

Вывод- следуя алгоритму мы выяснили, что 9 не является нормой некоторого целого гауссова числа.

4)Выберите те положительные целые рациональные числа, которые являются нормой некоторых целых гауссовых чисел: 26; 16; 10; 13; 18; 7; 17; 61; 24; 29; 50

Замечание: норма целого гауссова числа всегда является натуральным числом.

    Занятие №7

ТЕМА: Отношение делимости на множестве целых гауссовых чисел. Простые гауссовы числа.

Определение 1: будем говорить, что целое гауссово число б? 0 делит целое гауссово число в и записывать этот факт через б¦в – если найдется целое гауссово число г такое, что имеет место равенство: в=бЧг

Замечание: так как норма мультипликативна, то N(в)=N(б)Ч N(г), и так как б? 0, то N(б) ? 0, то необходимым условием для б¦в является делимость N(б)¦N(в), где N(б), N(в) - целые рациональные числа. Известно, что в случае целых рациональных чисел имеются только два числа, которые делят все целые числа: +1 и–1.

    В случае целых гауссовых чисел таких числа четыре.
    Опр: числа +1, -1, +i, -i называются делителями единицы.
    Действительно: б=бЧ1 б=(-iб)ЧI
    б=(-б)Ч(-1) б=(iб)Ч(-i)

Определение 2: целое гауссово число р не являющееся делителем единицы называется простым, если в любом его разложении р=фг в произведение двух целых гауссовых чисел один из сомножителей является делителем единицы.

Теорема 1: Если р- норма целого гауссова числа г является простым рациональным числом, то г будет простым гауссовым числом. Доказательство: пусть г=a+bi – целое гауссово число и N(г)=p – простое рациональное число. Тогда если г=бв, то N(г)=p=N(б)ЧN(в). Следовательно возможны два случая: N(б)=p, N(в)=1, а значит в – делитель единицы

    N(б)=1, N(в)=p, а значит б – делитель единицы

Таким образом, по определению 2, г – простое гауссово число. Теорема доказана.

    Задания.
    Выяснить, является ли б делителем в :
    б=5-7i; в=5+7i
    б=1+i; в=3i+1
    б=2+i; в=3i+1
    б=3+7i; в=19+25i
    б=4-i; в=19+25i
    б=-5+i; в=11i-3

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6