Среди указанных ниже гауссовых чисел выписать порстые гауссовы числа:

    3i+2, 4i+1, -2i+3, -4i-1, 5+5i;
    -5i+6, 7i+1, 1+5i, -4+i, 3+2i;
    -7-i, 13+i, 4-i, i-1, 2+3i;
    Занятие №8
    ТЕМА: НОД целых гауссовых чисел.

Определение 1: два целых гауссовых числа называются ассоциированными, если они отличаются друг от друга на сомножитель, равный делителю единицы.

Пример: в, -в, iв, -iв – ассоциированные целые гауссовы числа, если в – целое гауссово число.

Определение 2: общим делителем целых гауссовых чисел б1, …, бn называется целое гауссово число г, такое что г¦б1, …, г¦бn.

Определение 3: наибольшим общим делителем целых гауссовых чисел б1, …, бn называется целое гауссово число г, такое что г¦б1, …, г¦бn

    Для любого другого о общего делителя б1, …, бn верно о¦г.

Утверждение: примем без доказательства факт существования НОД у целых гауссовых чисел б и в, хотя бы одно из которых не равно 0, и его представление в виде линейной комбинации этих чисел.

    Т. е. г=бо+вз, г=НОД (б, в); о, з – целые гауссовы числа.

Определение 4: целые гауссовы числа б, в называются взаимно простыми, если их НОД ассоциирован с 1.

Воспользовавшись утверждением, получаем (б, в)=1 тогда и только тогда, когда существуют о, з– целые гауссовы числа, что верно бо+вз=1.

Лемма: если б взаимно просто с в1 и б взаимно просто с в2, то б взаимно просто с в1Чв2.

Доказательство: так как НОД (б, в1) ассоциирован с 1, то по критерию взаимной простоты найдутся такие числа о и з, что 1=об+зв.

т. к. НОД (б, в2) ассоциирован с 1, то найдутся с и ф, что 1= сб+фв Перемножая равенства имеем:

    1=(об+зв1)(сб+фв2)=б(осб+зсв1+офв2)+(зф)(в1в2),

положим г=осб+зсв1+офв2 и д=зф, тогда г и д – целые гауссовы числа и 1=гб+д(в1в2), а это и показывает, что б и в1в2 взаимно простые числа. Лемма доказана.

Следствие: если б взаимно просто с числами в1, в2, …, вk, то б взаимно просто с их произведением. Доказательство: проведем методом математической индукции по числу сомножителей. Если k=2, то утверждение совпадает с леммой

Допустим, утверждение доказано для числа сомножителей < k. Пусть теперь б взаимно просто с в1, в2, …, вk, значит и с в1, в2, …, вk-1. Тогда по предположению индукции б взаимно просто с в1Чв2Ч…Чвk-1 и по условию б взаимно просто с вk, тогда по лемме б взаимно просто с произведением в1Чв2Ч…Чвk, что и требовалось доказать.

Теорема о делении с оcтатком: пусть б, в (в? 0) –два целых гауссовых числа, тогда существуют такие целые гауссовы числа г и с, причем N(с)
    Занятие №9.

ТЕМА: Основная теорема арифметики в кольце гауссовых чисел. Основное свойство простого гауссого числа.

Основная теорема: всякое целое гауссово число б, норма которого больше единицы, разложимо в произведение простых гауссовых чисел б=р1Чp2Ч…Чрk (рi –простые гауссовы числа, не обязательно все различные), причем это разложение единственно с точностью до ассоциированности и порядка следования сомножителей.

    Доказательство:
    Существование разложения: индукция по норме числа б
    а) Если N(б)=2, то б=1+i, где 1+i – простое гауссово число

б) Пусть N(б)=n, а для всех целых гауссовых чисел с меньшей нормой утверждение уже доказано. Тогда или б– простое число и всё доказано, или б=сф, где N(с)

а) Если N(б)=2, то б=1+i, так как если б=x+iy, то N(б)=x2+y2, а это уравнение в целых числах х2+у2=2 имеет ровно 4 решения: х=1, у=1; х=-1, у=-1; х=1, у=-1; х=-1, у=-1;

Эти решения соответствуют гауссовым числам 1+i, -1+i, 1-i, -1-i, которые являются ассоциированными.

б) Предположим, что доказанное свойство уже установлено для всех чисел в, таких что N(в)
    в=б¦рs=р1*…*рs-1=г1*…*гt-1.

Но N(в)

Основное свойство простого гауссова числа: если простое гауссово число р делит произведение гауссовых чисел б и в, то р делит б или р делит в.

Доказательство: р¦бв, следовательно N(р)¦N(бв), а значит N(бв)>N(р)>2. Тогда по основной теореме, бв обладает каноническим разложением. Делимость р¦бв означает, что р входит в каноническое разложение бв, а каноническое разложение произведения есть произведение канонических разложений. Следовательно, р входит в каноническое разложение б или в, т. е. р¦б или р¦в, что и требовалось доказать.

    Занятие №10.
    ТЕМА: Алгоритм факторизации целого гауссова числа.

Лемма 1: всякое простое гауссово число является делителем простого рационального числа.

Доказательство: так как N(б)=бЧб, то при каждом б? 0 верно б¦N(б). Пусть теперь р – простое гауссово число. Тогда р¦N(р). N(р) –рациональное целое число, значит его можно представить как произведение простых рациональных чисел p1*…*ps. Тогда р¦p1*…*ps, по основному свойству простого числа имеем: р¦рi для некоторого i (i=1, 2, …, s). Следовательно, р делит некоторое простое рациональное число.

Лемма 2: норма N(р) простого гауссова числа р является или простым рациональным числом, или квадратом простого рационального числа.

Доказательство: по лемме 1 найдется простое рациональное р, такое, что р¦р, т. е. р=рг. р2=N(p)=N(рг)=N(р)*N(г)

    N(р)*N(г)=p2
    N(р)? 1, т. к. р – простое гауссово число.
    Тогда возможны случаи:
    N(р)=N(г)=p
    N(р)=p2, N(г)=1, что и требовалось доказать.

Утверждение: простое рациональное число р, отличное от 2, не является простым гауссовым числом тогда и только тогда, когда р имеет вид 4k+1.

Алгоритм для выяснения: является ли данное целое гауссово число б простым.

    1. Вычислить N(б)

а) если N(б) – простое рациональное число, то б – простое гауссово число б) если N(б)=p2, где р – простое рационального вида 4k+3, то б – простое гауссово в) во всех остальных случаях б не является простым гауссовым числом.

    Алгоритм факторизации гауссова числа:
    вычислить N(б)

разложить N(б) в произведение простых рациональных чисел р1Ч…Чрs все рi (i=1, 2, …, s) вида 4k+3 оставляем без изменений, а все pj вида 4k+1 раскладываем в сумму двух квадратов: pj=x2+y2 и в ассоциировано с x+yi

    в ассоциировано с y+xi

считаем все возможные произведения полученных в каждом из случаев гауссовых чисел до тех пор, пока не получим число, ассоциированное со сходным числом б.

    Задания
    факторизовать б=7+4i.
    N(б)=72+42=49+16=65=5Ч13
    б=вг, N(в)=5, N(г)=13

5 и 13 – числа вида 4k+1, разложимы в сумму двух квадратов: 5=22+12 и 13=22+32 Возможны случаи: в ассоциировано с 2+i или с 1+2i; г ассоциировано с 3+2i или 3i+2.

    а) в'=1+2i, г'=3+2i

Тогда в'г'=(1+2i)(3+2i)=-1+8i – это число не ассоциировано с 7+4i б) в'=1+2i, г'=2+3i

    Тогда в'г'=(1+2i)(2+3i)=-4+7i=i(7+4i)>в'г'(-i)=7+4i
    Возьмем в=в'(-i)=2-i
    Ответ: 7+4i=(2-i)(2+3i)
    Разложить на простые множители б=-12+6i.
    N(б)=144+36=180=22Ч32Ч5

5 – число вида 4k+1> оно разложимо в сумму двух квадратов: 5=22+12. 3 – число вида 4k+3>оно остается без изменений б=вгдф, где N(в)=N(г)=2, д=3, N(ф)=5 Возможны случаи: в и г ассоциированы с 1-i; ф ассоциировано с 2+i или 1+2i. а) в'=г'=1-i, ф'=2+i

    Тогда в'г'д'ф'=-24-12i – не ассоциировано с –12+6i
    б) в'=1+i, г'=1-i, ф'=1+2i
    Тогда в'г'д'ф'=6+12i=(-i)(-12+6i) > в'г'д'ф'i=-12+6i
    Пусть ф= ф'i=(1+2i)i=-2+i
    -12+6i=(1+i)(1-i)3(-2+i)

§3. Методические рекомендации по проведению факультативного курса “Арифметика комплексных чисел”.

Данный факультативный курс предназначен для изучения в старших классах средней школы, где уже существует определенная база знаний и сформулированы прочные навыки выполнения арифметических операций. Школьники знакомы с различными видами чисел, правилами выполнения возможных операций над ними, изучена теория делимости кольца целых рациональных чисел. Наличие же в данном возрасте более полного, глубокого, разностороннего мышления и возможности самостоятельно выделять общее и частное, благоприятствует восприятию этого факультативного курса.

Первые четыре занятия посвящены знакомству с самими комплексными числами, правилами выполнения действий над ними. Рассматривается тригонометрическая и алгебраическая форма записи комплексных чисел. Целесообразно при объяснении нового материала пользоваться слайдами или плакатами. (см. Приложения). Если класс с углубленным изучением естественно-математических дисциплин, то материал первых четырех занятий можно только повторить, а потом задать вопросы, чтобы проверить уровень усвоения материала.

    Так, например ответы на вопросы:
    Можно ли назвать число –7i противоположным числу 7i?

Какое множество образует пересечение множества всех действительных чисел с множеством всех мнимых?

Как изображается комплексное число на координатной плоскости? покажут уровень усвоения материала и помогут выбрать учителю оптимальный темп каждого урока.

Возможность по-разному формулировать задания способствует сообразительности и находчивости учащихся.

Опираясь на знания полученные при изучении математики и учитывая возраст учащихся, многие вычислительные задания можно предложить школьникам попробовать выполнить самостоятельно, в случае неудачи, учитель дает подсказку. Изучение “традиционной части ” позволяет повторить и закрепить материал программного содержания.

Так например, при рассмотрении тригонометрической формы записи комплексного числа учитель имеет возможность вспомнить с учащимися определения тригонометрических функций, их основные свойства, связь с геометрией, а также повторить тригонометрические формулы, которые вызывают затруднения при запоминании.

Основные понятия этого блока : комплексные числа и действия над ними, число i, мнимые числа, действительные числа, как часть множества комплексных чисел. Главная методическая особенность состоит в том, что комплексные числа определяются как формальные выражения a+bi, где a и b действительные числа. Говорим о формальных выражениях, не приписывая никакого смысла знакам + и i, при помощи которых они составляются.

Эти выражения являются совершенно новыми объектами, и с самого начала надо договориться о том, какие из них считать равными и определять действия над ними. Завершая рассказ о действиях над комплексными числами следует подчеркнуть, что четыре основных действия(сложение, вычитание, умножение и деление) обладают теми же свойствами, что и действия над действительными числами.

Рассматривая выражение вида a+0i, можно убедиться, что их арифметика совпадает с арифметикой действительных чисел. В самом деле, вычисляя сумму и произведение чисел z1= a+0i и z2=с+0i, получим (a+0i)+(с+0i)=(a+c)+0i и (a+0i)( с+0i)=ас+0i, откуда видно, что сумме чисел z1+ z2 соответствует сумма действительных чисел а+с, произведению z1* z2 произведение ас. Поскольку соответствие между комплексными числами вида a+0i и действительными числами взаимно-однозначно, то можно число a+0i считать раным соответствующему ему действительному числу а.

В результате такого отождествления множество действительных чисел становиться частью множества комплексных чисел.

Обозначив комплексное число 0+1i через i и , убедившись в том, что число 0+bi можно истолковать как произведение действительного числа b и числа i, получаем возможность рассматривать любое комплексное число как сумму комплексного числа а= a+0i и произведения комплексных чисел b=b+0i и i=0+1i.

А так как i2=(0+1i)( 0+1i)= -1+0i = -1, то полезно подчеркнуть, что при выполнении действий над комплексными числами нет надобности помнить формальные определения, а можно действовать как в случае с обычными выражениями с переменными, заменяя i2 на –1. При изучении геометрического изображения комплексного числа с помощью точки плоскости важно подчеркнуть, что не только комплексному числу z=a+bi ставится в соответствие точка(a, b) координатной плоскости, но и всякая точка плоскости является образом некоторого комплексного числа, т. е. соответствие между точками плоскости и комплексными числами является взаимно-однозначным. Принято термином “комплексная плоскость” обозначать координатную плоскость, каждой точке которой поставлено в соответствие комплексное число.

Геометрическое изображение комплексных чисел в виде векторов позволяет сразу же дать геометрическую интерпретацию сложения и вычитания комплексных чисел. Модуль комплексного числа есть расстояние от точки Z до точки О, или длина вектора ОZ. Таким образом для z=a+bi , фzф=Цa2+b2 .

Здесь полезно заметить, что для действительных чисел а= a+0i модуль равен фаф=Цa2+02 , т. е совпадает с привычным понятием модуля действительного числа и является расстоянием от точки числовой прямой до начала отсчета.

Главным аргументом argZ комплексного числа z называется угол между положительным направлением оси абсцисс и направлением на точку, изображающую данное число, отсчитываемый против часовой стрелки. Таким образом, в силу этого определения 0ЈargZЈ2p.

Встречается и другое определение главного аргумента, при котором оказывается -p

Произвольный аргумент комплексного числа z- это любое из целых чисел вида argZ+2pk, где k принадлежит множеству целых. Введение общего понятия аргумента связано с тем, что в целом ряде случаев понятие главного аргумента оказывается неудобным(например при перемножении комплексных чисел, сумма главных аргументов которых больше 2p).

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6