пространством

Замечание 1.

В математике называют пространством

= (a

, b) совокупность функций ƒ(x), интегрируемых в

лебеговом смысле на [a, b] вместе со своими квадратами,

для которых введено скалярное произведение по формуле (11). Рассматриваемое

пространство есть часть

. Пространство обладает

многими свойствами пространства

, но не всеми.

Из свойств 1), 2), 3) следует важное неравенство Буняковского |

(ƒ , φ ) | ≤ (ƒ , ƒ )½ (φ , φ )

½, которое на языке интегралов выглядит так:

Величина

называется нормой функции f.

Норма обладает следующими свойствами:

1) || f

|| ≥ 0, при этом равенство может быть только для нулевой функции

f = 0, т. е. функции, равной нулю, за исключением, быть может,

конечного числа точек;

2) || ƒ + φ ||

≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = |

α | · || ƒ ||,

где α – действительное число.

Второе свойство на языке интегралов выглядит так:

и называется неравенством Минковского.

Говорят, что последовательность функций { f

n }, принадлежит к

,сходится к функции принадлежит

в смысле среднего квадратического на [a, b]

(или ещё по норме ), если

Отметим, что если последовательность функций ƒn

(x) сходится равномерно к функции ƒ(x) на отрезке [a,

b], то для достаточно больших n разность

ƒ(x) - ƒn (x) по абсолютной величине должна

быть мала для всех х из отрезка [a, b].

В случае же, если ƒn (x) стремится к ƒ(x)в

смысле среднего квадратического на отрезке [a, b], то

указанная разность может и не быть малой для больших n

всюду на [a, b]. В отдельных местах отрезка [a,

b] эта разность может быть и велика, но важно только, чтобы интеграл

от её квадрата по отрезку [a, b] был мал для больших

n.

Пример. Пусть на [0, l ] заданна изображенная

на рисунке непрерывная кусочно-линейная функция ƒn

(x) (n = 1, 2,.), причем

(Бугров, стр. 281, рис. 120)

При любом натуральном n

и, следовательно, эта последовательность функций, хотя и сходится к нулю

при n → ∞, но неравномерно. Между тем

т. е. последовательность функций {fn (х)} стремится к

нулю в смысле среднего квадратического на [0, 1].

Из элементов некоторой последовательности функций ƒ1, ƒ2,

ƒ3,. (принадлежащих )

построим ряд

ƒ1 + ƒ2 + ƒ3 +. (12)

Сумма первых его n членов

σ n = ƒ1 + ƒ2 + . + ƒn

есть функция, принадлежащая к

. Если случится, что в

существует функция ƒ такая, что

|| ƒ- σn || → 0 (n → ∞),

то говорят, что ряд (12) сходится к функции ƒ в смысле среднего

квадратического и пишут

ƒ = ƒ1 + ƒ2 + ƒ3 +.

Замечание 2.

Можно рассматривать пространство

= (a,

b) комплекснозначных функций ƒ(x) = ƒ1(x) + i

ƒ2(x), где ƒ1(x) и ƒ2(x) – действительные кусочно – непрерывные

на [a, b] функции. В этом пространстве функции умножаются

на комплексные числа и скалярное произведение функций ƒ(x) = ƒ1(x) +

iƒ2(x) и φ(х) = φ1(х) +i

φ2(х) определяется следующим образом:

а норма ƒ определяется как величина

2.1. Интегралы от периодических функций.

Пусть ƒ(x) – периодическая функция, с периодом Т, интегрируемая на

любом сегменте вида [х0, х0+Т]. Тогда величина интеграла

остаётся при любом х0 одной и той же: для любых х0, х0'

.

2.2. Интегралы от некоторых тригонометрических функций.

Укажем значения некоторых интегралов:

(k = 1,2,.), (13)

(k =1,2,..; m =1,2,.), (14)

(15)

(k =1,2,.; m =1,2,.; k ≠ m),

(k =1,2,.) (16)

Теперь можем вычислить коэффициенты Фурье ak и

bk ряда (2). Для разыскания коэффициента an при каком-либо

определенном значении n≠0 умножим обе части

равенства (2) на cosnx и произведя математические операции

в пределах от –π до π, получим:

(17)

(18)

Коэффициенты,

определенные по формулам (4), (17), (18) называются

коэффициентами Фурье функции ƒ(x), а составленный тригонометрический

ряд (18) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции

ƒ(x).

В некоторых случаях, для более узких классов функций, формулы (17), (18)

были известны ещё Эйлеру. Таким образом, эти формулы ещё называют формулами

Эйлера-Фурье.

Обратим внимание, что постоянная

в (2) пишется в таком виде, чтобы придать единообразие формулам (17) и (18).

Вышеприведенные соображения показывают, что поиски тригонометрического

разложения данной функции целесообразно начать с изучения её ряда Фурье,

откладывая на потом строгое изучение вопроса о том, для каких функций ряд

сходится, и притом именно к данной функции. Пока же этого не сделано, функции

ƒ(x) сопоставляют её формальный ряд Фурье, что обычно записывают в виде:

ƒ(x) ~ , (19)

про который известно, что его коэффициенты вычислены по функции ƒ(x)

по формулам Эйлера – Фурье (4), (17) и (18), но ничего не утверждается о его

сходимости и тем более – о его сходимости к данной функции.

Из определения ряда Фурье не следует, что функция должна в него

разлагаться. Из сказанного выше следует только, что некоторая функция допускает

разложение в равномерно сходящийся ряд вида (19), то этот ряд будет её рядом

Фурье.

3. Признаки сходимости рядов Фурье. (стр. 331, Пискунов)

Зададим вопрос: какими свойствами должна обладать функция, чтобы

построенный, для неё ряд Фурье сходился и чтобы сумма построенного ряда Фурье

равнялась значениям данной функции в соответствующих точках?

Сформулируем теорему, которая даст достаточные условия представимости

функции ƒ(x) рядом Фурье. (из Пискунова)

Определение. Функция ƒ(x) называется кусочно-

монотонной на отрезке [a, b], если этот отрезок можно разбить

конечным числом точек х1, х2, .,хn-1 на интервалы (а,

х1), (х1, х2),., (хn-1, b) так, что на каждом

из интервалов функция монотонна, т. е. либо не возрастающая, либо неубывающая.

Теорема.

Если периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π – кусочно

монотонная и ограниченная на отрезке [-π, π], то ряд Фурье,

построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда

s(x) равна значению функции ƒ(x) в точках непрерывности функции.

В точках разрыва функции ƒ(x) сумма ряда равняется среднему

арифметическому пределов функции ƒ(x) справа и слева, т. е. если х = с –

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6