ƒ(x) в точках её непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье.

Для этого рассмотрим произвольную периодическую кусочно монотонную функцию

ƒ1(x) с периодом 2μ ≥ a - b, совпадающую с функцией ƒ(x)

на отрезке [a, b]. Таким образом,

дополнили определение функции ƒ(x).

Разложим функцию ƒ1(x) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках

отрезка [a, b] (кроме точек

разрыва) совпадает с заданной функцией ƒ(x), т. е. мы разложили функцию

ƒ(x) в ряд Фурье на отрезке [a, b

].

Рассмотрим следующий важный случай. Пусть функция ƒ(x) задана на

отрезке [0, l]. Дополняя определение этой функции

произвольным образом на отрезке [ l, 0 ] , мы

можем разложить эту функцию в ряд Фурье. В частности, если мы дополним

определение данной функции так, чтобы при - l

≤ х < 0 было ƒ(x) = ƒ(-x). В результате получится четная

функция. В этом случае говорят, что функция ƒ(x) «продолжена четным

образом». Эту функцию разлагают в ряд Фурье, которая содержит только косинусы.

Таким образом, заданную на отрезке [0, l] функцию

ƒ(x) мы разложили по косинусам.

Если мы продолжим определение функции ƒ(x) при - l

≤ х <0 так: ƒ(x) = -ƒ(-x), то получим нечетную функцию,

которая разлагается по синусам. Таким образом, если на отрезке [0,

l] задана некоторая кусочно монотонная функция ƒ(x), то её

можно разложить в ряд Фурье как по косинусам, таки по синусам.

Комплексная форма ряда Фурье для функций с периодом 2π.

Пусть ƒ(x) – функция, удовлетворяющая условиям определения:

Пусть функция ƒ(x) с периодом 2π, имеющая на сегменте [-π,

π] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом

сегменте (т. е. она интегрируема на любом сегменте).

Тогда пусть ряд (2) является рядом Фурье функции ƒ(x). Преобразуем

общий член этого ряда с помощью формул Эйлера, выражающих косинус и синус через

показательную функцию. Имеем:

,

где .

Полагая ещё получим для частичных сумм ряда Фурье выражение

Для новых коэффициентов cn получаем формулу (учитывая формулы an и bn).

Непосредственно видно, что эта формула верна для n =

0 и для n < 0 (последнее видно,

например, из того, что где

обозначает число, сопряженное с).

По доказанному имеем в точках дифферуемциемоcти:

Итак, в точках дифференцируемости

(26)

где

Правая часть формулы (26) представляет собой комплексную форму ряда

Фурье для функции с периодом 2π.

Комплексная форма ряда Фурье для функции с любым периодом. (Романовский стр.33)

Пусть ƒ(x) – функция с периодом 2l,

удовлетворяющая условиям , указанным в пункте 6. Тогда подстановка

x= lt/ π приводит нас к функции ƒ(l

t/ π) с периодом 2π. В силу предыдущего пункта в точках

дифференцируемости имеем:

Переходя как в ряде, так и формулах для коэффициентов к старому переменному

х и замечая, что t = π x / l

, dt=(π / l)dx, получим

в точках дифференцируемости:

(27)

где

Правая часть формулы (27), где коэффициенты определяются равенствами (28),

называется комплексной формой ряда Фурье для функции с периодом 2

l.

Основные типы уравнений математической физики.

Основными уравнениями математической физики называют (для случая функций

двух независимых переменных) следующие дифференциальные уравнения с частными

производными второго порядка.

1. Волновое уравнение:

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных

колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в

проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т. д. Это уравнение

является простейшим уравнением гиперболического типа.

2.

Уравнение теплопроводности или уравнение Фурье:

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов

распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде (например,

фильтрации нефти и газа с подземных песчаниках), некоторые вопросы теории

вероятностей и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением

параболического типа.

3. Уравнение Лапласа:

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение задач об электрических

и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики,

диффузии и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением

эллиптического типа.

В уравнениях (29), (30) и (31)

искомая функция u зависит от двух переменных.

Рассматриваются также соответствующие уравнения и для функций с большим числом

переменных. Так, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет

вид:

уравнение теплопроводности с тремя независимыми переменными имеет вид:

уравнение Лапласа с тремя неизвестными переменными имеет вид:

Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод

уравнений электрических колебаний в проводах.

В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить.

Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по

касательной к её профилю. Пусть струна длины l в

начальный момент напрвлена по отрезку оси Ох от 0 до

l. Предположим, что концы струны закреплены в точках х

= 0 и х = l. Если струну отклонить от

её первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя

струны, предать в начальный момент её точкам некоторую скорость, или отклонить

струну и придать её точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать

движения – говорят, что струны начнет колебаться. Задача заключается в

определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения.

В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит

перпендикулярно оси Ох и в одной плоскости. При этом предположении процесс

колебания струны описывается одной функцией u (x, t), которая дает

величину перемещения точки струны с абсциссой х в момент времени t.

(Н.С. Пискунов стр. 245, рис. 371)

Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости (x,

u ), то будем предполагать, что длина элемента струны М1М2

равняется её проекции на ось Ох, т. е. М1М2 = х2 – х1. Также будем

предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его

через Т.

Рассмотрим элемент струны ММ′. На концах этого элемента, по

касательным к струне, действуют силы Т.

(Н.С. Пискунов стр. 246, рис. 372)

Пусть касательные образуют с осью Ох углы φ и φ + ∆φ.

Тогда проекция на ось Ou сил, действующих на элемент

ММ′, будет равна T· sin (

φ + ∆φ) – sin φ . Так как угол φ

мал, то можно положить tg φ ≈ sin

φ, мы будем иметь:

T sin (φ + ∆φ) – T sin

φ ≈ T tg (φ + ∆φ) –

T tg φ =

(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящего в квадратных

скобках).

Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к

элементу, приравнять силе инерции. Пусть ρ – линейная плотность струны.

Тогда масса элемента струны будет ρ ∆х. Ускорение элемента равно

∂2u / ∂t2.

Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:

Сокращая на ∆х и обозначая a2 = T/ ρ, получаем уравнение движения

Это и есть волновое уравнение – уравнение колебаний струны. Для

полного определения движения струны одного уравнения (35)

недостаточно. Искомая функция u(x, t) должна удовлетворять ещё

граничным условиям, указывающих, что делается на концах струны (х

= 0 и х = ℓ), и начальным условиям, описывающим состояние струны

в начальный момент (t = 0). Совокупность граничных и начальных

условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при х = 0 и х =

ℓ неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться

равенства:

u (0, t) = 0, (36)

u (ℓ, t) = 0. (36,)

Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи.

В начальный момент t = 0 струна имеет определенную

форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией ƒ(x).

Таким образом, должно быть

u (x, 0) = u |t = 0 = ƒ(x). (37)

Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны,

которая определяется функцией φ(х):

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6